⚡ بنك الأسئلة: دوائر التيار المتردد (12A)
⚡ Question Bank: AC Circuits (12A)
مفاعلة الملف والمكثف، المعاوقة وفرق الطور، دوائر RLC والرنين، دوائر الاهتزاز LC، المحولات
Reactance of Coils and Capacitors, Impedance and Phase Difference, RLC Circuits and Resonance, LC Oscillation Circuits, Transformers
⏱️ 50 سؤال اختيار من متعدد بتصحيح فوري بمستويات متدرجة، و4 مسائل مقالية محلولة، مع حل مفصل لكل سؤال⏱️ 50 multiple-choice questions of graded difficulty with instant feedback, and 4 solved essay problems, with a detailed solution for each
\[1\,\star\]
دائرة ملف ومقاوم ومكثف \(RLC\) متصلة على التوالي بمصدر تيار متردد، فكانت مفاعلة الملف أكبر من مفاعلة المكثف \(X_L\gt X_C\). أي العبارات التالية صحيحة؟A series RLC circuit (resistor, coil and capacitor) is connected to an AC source, and the inductive reactance is greater than the capacitive reactance \(X_L\gt X_C\). Which statement is correct?
الجهد يسبق التيار بمقدار \(\theta\)the voltage leads the current by \(\theta\)
التيار يسبق الجهد بمقدار \(\theta\)the current leads the voltage by \(\theta\)
الجهد يسبق التيار بمقدار \(\pi/2\)the voltage leads the current by \(\pi/2\)
التيار والجهد متفقان في الطورthe current and the voltage are in phase
الحلSolution
📌 عندما \(X_L\gt X_C\) تكون الدائرة حثية: \(\tan\theta=\dfrac{X_L-X_C}{R}\gt 0\) فيسبق الجهد التيار بزاوية \(\theta\).
📌 الزاوية \(\pi/2\) لا تحدث إلا إذا كانت \(R=0\)، وهنا للمقاومة قيمة فتكون \(\theta\lt 90^{\circ}\).
✅ الجهد يسبق التيار بمقدار \(\theta\) (A)
📌 When \(X_L\gt X_C\) the circuit is inductive: \(\tan\theta=\dfrac{X_L-X_C}{R}\gt 0\) so the voltage leads the current by the angle \(\theta\).
📌 The angle \(\pi/2\) occurs only if \(R=0\); here the resistor has a value so \(\theta\lt 90^{\circ}\).
✅ the voltage leads the current by \(\theta\) (A)
\[2\,\star\]
في دائرة اهتزاز (ملف ومكثف) شُحن المكثف ببطارية ثم وُصل بملف نقي. عندما يكون التيار في الدائرة بأعظم قيمة فإن:In an LC oscillation circuit a capacitor is charged by a battery and then connected to a pure coil. When the current in the circuit is at its maximum value:
المكثف مكتمل الشحنthe capacitor is fully charged
الملف يختزن طاقة والمكثف يختزن طاقةboth the coil and the capacitor store energy
الطاقة المغناطيسية بأعظم قيمةthe magnetic energy is at its maximum
الطاقة الكهربائية بأعظم قيمةthe electrical energy is at its maximum
الحلSolution
📌 الطاقة المغناطيسية في الملف \(U_B=\tfrac{1}{2}Li^{2}\) فهي أعظم ما يمكن عندما يكون التيار \(i\) أعظم.
📌 في هذه اللحظة يكون المكثف مفرغًا والطاقة الكهربائية صفرًا، وكل الطاقة الكلية في الملف.
✅ الطاقة المغناطيسية بأعظم قيمة (C)
📌 The magnetic energy of the coil is \(U_B=\tfrac{1}{2}Li^{2}\), so it is greatest when the current \(i\) is greatest.
📌 At that moment the capacitor is discharged and the electrical energy is zero; all the total energy is in the coil.
✅ the magnetic energy is at its maximum (C)
\[3\,\star\star\]
مكثف سعته \(6\,nF\) وشحنته \(3\,\mu C\) وُصل بملف معامل حثه الذاتي \(0.2\,H\). أي القيم التالية لا يمكن أن تكون شدة التيار في الدائرة؟A capacitor of capacitance \(6\,nF\) and charge \(3\,\mu C\) is connected to a coil of self-inductance \(0.2\,H\). Which of the following values cannot be the current in the circuit?
\(i=0.082\,A\)\(i=0.082\,A\)
\(i=-0.042\,A\)\(i=-0.042\,A\)
\(i=-0.02\,A\)\(i=-0.02\,A\)
\(i=0.092\,A\)\(i=0.092\,A\)
الحلSolution
📌 أكبر تيار ممكن يُحسب من حفظ الطاقة: \(\dfrac{1}{2}Li_{max}^{2}=\dfrac{q^{2}}{2C}\) ومنه \(i_{max}=\dfrac{q}{\sqrt{LC}}\).
\(i_{max}=\dfrac{3\times10^{-6}}{\sqrt{0.2\times6\times10^{-9}}}=0.0866\,A\).
📌 أي قيمة مطلقتها أكبر من \(0.0866\,A\) مستحيلة، وهي \(0.092\,A\) فقط.
✅ \(i=0.092\,A\) (D)
📌 The greatest possible current follows from energy conservation: \(\dfrac{1}{2}Li_{max}^{2}=\dfrac{q^{2}}{2C}\) so \(i_{max}=\dfrac{q}{\sqrt{LC}}\).
\(i_{max}=\dfrac{3\times10^{-6}}{\sqrt{0.2\times6\times10^{-9}}}=0.0866\,A\).
📌 Any value whose magnitude exceeds \(0.0866\,A\) is impossible, and only \(0.092\,A\) does.
✅ \(i=0.092\,A\) (D)
\[4\,\star\]
في دائرة مكثف ومحث، تتساوى الطاقة الكهربائية والطاقة المغناطيسية \(\dfrac{1}{2}\dfrac{q^{2}}{C}=\dfrac{1}{2}Li^{2}\) خلال دورة واحدة:In an LC circuit the electrical energy equals the magnetic energy \(\dfrac{1}{2}\dfrac{q^{2}}{C}=\dfrac{1}{2}Li^{2}\) during one cycle:
أربع مراتfour times
مرة واحدةonce
مرتينtwice
ثلاث مراتthree times
الحلSolution
📌 \(q=Q\cos\omega t\) و\(i=-\omega Q\sin\omega t\): الطاقتان \(U_E\propto\cos^{2}\omega t\) و\(U_B\propto\sin^{2}\omega t\).
📌 تتساويان عندما \(|\tan\omega t|=1\) أي عند \(\omega t=45^{\circ},135^{\circ},225^{\circ},315^{\circ}\): أربع مرات في الدورة.
✅ أربع مرات (A)
📌 \(q=Q\cos\omega t\) and \(i=-\omega Q\sin\omega t\): the energies are \(U_E\propto\cos^{2}\omega t\) and \(U_B\propto\sin^{2}\omega t\).
📌 They are equal when \(|\tan\omega t|=1\), i.e. at \(\omega t=45^{\circ},135^{\circ},225^{\circ},315^{\circ}\): four times per cycle.
✅ four times (A)
\[5\,\star\]
دائرة تيار متردد فيها عنصر واحد (مكثف متوازي الصفائح، مكثف أسطواني، ملف حثي، مقاوم أومي). زِيد تردد المصدر فلُوحظ أن أعظم قيمة للتيار لم تتغير. إذن الدائرة تحتوي:An AC circuit contains a single element (parallel-plate capacitor, cylindrical capacitor, inductor, ohmic resistor). The source frequency was increased and the maximum current did not change. The circuit contains:
مكثفًا متوازي الصفائحa parallel-plate capacitor
مكثفًا أسطوانيًاa cylindrical capacitor
مقاومًا أوميًاan ohmic resistor
ملفًا حثيًاan inductor
الحلSolution
📌 \(X_C=\dfrac{1}{\omega C}\) تقل بزيادة التردد فيزداد التيار، و\(X_L=\omega L\) تزداد فيقل التيار.
📌 أما المقاومة الأومية \(R\) فلا تعتمد على التردد، فيبقى \(I_m=V_m/R\) ثابتًا.
✅ مقاومًا أوميًا (C)
📌 \(X_C=\dfrac{1}{\omega C}\) decreases with frequency so the current increases, and \(X_L=\omega L\) increases so the current decreases.
📌 The ohmic resistance \(R\) does not depend on frequency, so \(I_m=V_m/R\) stays constant.
✅ an ohmic resistor (C)
\[6\,\star\star\]
عند أي تردد تساوي مفاعلة ملف حثي معامل حثه الذاتي \(0.4\,H\) القيمة \(93\,\Omega\)؟At what frequency does the reactance of an inductor of self-inductance \(0.4\,H\) equal \(93\,\Omega\)?
\(f=35\,Hz\)\(f=35\,Hz\)
\(f=37\,Hz\)\(f=37\,Hz\)
\(f=36\,Hz\)\(f=36\,Hz\)
\(f=38\,Hz\)\(f=38\,Hz\)
الحلSolution
\(X_L=2\pi fL\) ومنه \(f=\dfrac{X_L}{2\pi L}\).
\(f=\dfrac{93}{2\pi\times0.4}=37\,Hz\).
✅ \(f=37\,Hz\) (B)
\(X_L=2\pi fL\) so \(f=\dfrac{X_L}{2\pi L}\).
\(f=\dfrac{93}{2\pi\times0.4}=37\,Hz\).
✅ \(f=37\,Hz\) (B)
\[7\,\star\star\]
مكثف سعته \(C=4.0\times10^{-4}\,F\) متصل بمصدر تيار متردد معادلة فرق جهده \(V(t)=110\sin(126t)\). أعظم شدة تيار تمر في المكثف:A capacitor of capacitance \(C=4.0\times10^{-4}\,F\) is connected to an AC source whose voltage is \(V(t)=110\sin(126t)\). The maximum current through the capacitor is:
\(i_{max}=5.54\,A\)\(i_{max}=5.54\,A\)
\(i_{max}=2.63\,A\)\(i_{max}=2.63\,A\)
\(i_{max}=1.42\,A\)\(i_{max}=1.42\,A\)
\(i_{max}=3.85\,A\)\(i_{max}=3.85\,A\)
الحلSolution
📌 من المعادلة \(V_m=110\,V\) و\(\omega=126\,rad/s\)، فمفاعلة المكثف \(X_C=\dfrac{1}{\omega C}=\dfrac{1}{126\times4\times10^{-4}}=19.8\,\Omega\).
\(i_{max}=\dfrac{V_m}{X_C}=\dfrac{110}{19.8}=5.54\,A\).
✅ \(i_{max}=5.54\,A\) (A)
📌 From the equation \(V_m=110\,V\) and \(\omega=126\,rad/s\), so the capacitive reactance is \(X_C=\dfrac{1}{\omega C}=\dfrac{1}{126\times4\times10^{-4}}=19.8\,\Omega\).
\(i_{max}=\dfrac{V_m}{X_C}=\dfrac{110}{19.8}=5.54\,A\).
✅ \(i_{max}=5.54\,A\) (A)
\[8\,\star\]
في دائرة تيار متردد قُرئ الأميتر والفولتميتر فوُجد أن التيار يتأخر عن فرق الجهد في الطور بمقدار \(\varphi=\dfrac{\pi}{2}=90^{\circ}\). تحتوي الدائرة:In an AC circuit the ammeter and voltmeter show that the current lags behind the voltage by \(\varphi=\dfrac{\pi}{2}=90^{\circ}\). The circuit contains:
مكثفًا سعويًا Ca capacitor C
مقاومًا أوميًا Ran ohmic resistor R
ليس أيًّا من العناصر السابقةnone of the above elements
ملفًا حثيًا نقيًا La pure inductor L
الحلSolution
📌 في المقاوم يتفق التيار والجهد في الطور، وفي المكثف يسبق التيارُ الجهدَ بـ \(90^{\circ}\).
📌 أما في الملف النقي فيتأخر التيار عن الجهد بـ \(90^{\circ}\) (ELI: الجهد قبل التيار في الملف).
✅ ملفًا حثيًا نقيًا L (D)
📌 In a resistor the current and voltage are in phase, and in a capacitor the current leads the voltage by \(90^{\circ}\).
📌 In a pure inductor the current lags the voltage by \(90^{\circ}\) (“ELI”: voltage leads current in an inductor).
✅ a pure inductor L (D)
\[9\,\star\star\star\]
دائرة \(RLC\) متصلة بمصدر معادلته \(V(t)=210\sin(300t)\)، ومعامل الحث الذاتي للملف \(L=0.5\,H\) وسعة المكثف \(C=5\,\mu F\) والمقاومة \(R=150\,\Omega\). المعاوقة الكلية للدائرة:An RLC circuit is connected to a source with \(V(t)=210\sin(300t)\), with \(L=0.5\,H\), \(C=5\,\mu F\) and \(R=150\,\Omega\). The total impedance of the circuit is:
\(Z=620\,\Omega\)\(Z=620\,\Omega\)
\(Z=538\,\Omega\)\(Z=538\,\Omega\)
\(Z=335\,\Omega\)\(Z=335\,\Omega\)
\(Z=427\,\Omega\)\(Z=427\,\Omega\)
الحلSolution
\(X_L=\omega L=300\times0.5=150\,\Omega\) و\(X_C=\dfrac{1}{\omega C}=\dfrac{1}{300\times5\times10^{-6}}=667\,\Omega\).
\(Z=\sqrt{R^{2}+(X_L-X_C)^{2}}=\sqrt{150^{2}+(150-667)^{2}}=538\,\Omega\).
✅ \(Z=538\,\Omega\) (B)
\(X_L=\omega L=300\times0.5=150\,\Omega\) and \(X_C=\dfrac{1}{\omega C}=\dfrac{1}{300\times5\times10^{-6}}=667\,\Omega\).
\(Z=\sqrt{R^{2}+(X_L-X_C)^{2}}=\sqrt{150^{2}+(150-667)^{2}}=538\,\Omega\).
✅ \(Z=538\,\Omega\) (B)
\[10\,\star\star\star\]
في دائرة \(RLC\) الجهد الأعظمي للمصدر \(V_m=200\,V\) والجهد الأعظمي للمقاوم \(V_{mR}=150\,V\) وللملف \(V_{mL}=180\,V\). الجهد الأعظمي بين طرفي المكثف:In an RLC circuit the maximum source voltage is \(V_m=200\,V\), the maximum resistor voltage \(V_{mR}=150\,V\) and the maximum coil voltage \(V_{mL}=180\,V\). The maximum voltage across the capacitor is:
\(V_C=47.7\,V\)\(V_C=47.7\,V\)
\(V_C=93.2\,V\)\(V_C=93.2\,V\)
\(V_C=120\,V\)\(V_C=120\,V\)
\(V_C=253.2\,V\)\(V_C=253.2\,V\)
الحلSolution
📌 جهود العناصر في التوالي تتجمع اتجاهيًا: \(V_m^{2}=V_{mR}^{2}+(V_{mL}-V_{mC})^{2}\).
\((V_{mL}-V_{mC})^{2}=200^{2}-150^{2}=17500\) فيكون \(V_{mL}-V_{mC}=132.3\,V\).
\(V_{mC}=180-132.3=47.7\,V\) (القيمة الأخرى \(312.3\,V\) ليست بين الخيارات).
✅ \(V_C=47.7\,V\) (A)
📌 The voltages of series elements add as phasors: \(V_m^{2}=V_{mR}^{2}+(V_{mL}-V_{mC})^{2}\).
\((V_{mL}-V_{mC})^{2}=200^{2}-150^{2}=17500\) so \(V_{mL}-V_{mC}=132.3\,V\).
\(V_{mC}=180-132.3=47.7\,V\) (the other root \(312.3\,V\) is not among the options).
✅ \(V_C=47.7\,V\) (A)
\[11\,\star\star\]
مصدر قوة دافعة متغيرة \(V(t)=210\sin(60\pi t)\) وُصل بملف معامل حثه الذاتي \(L=0.2\,H\). معادلة التيار في هذه الدائرة:A source with \(V(t)=210\sin(60\pi t)\) is connected to a coil of self-inductance \(L=0.2\,H\). The equation of the current in this circuit is:
\(I(t)=5.67\sin(60\pi t+\pi/2)\)\(I(t)=5.67\sin(60\pi t+\pi/2)\)
\(I(t)=17.5\sin(60\pi t+\pi/2)\)\(I(t)=17.5\sin(60\pi t+\pi/2)\)
\(I(t)=5.57\sin(60\pi t-\pi/2)\)\(I(t)=5.57\sin(60\pi t-\pi/2)\)
\(I(t)=17.5\sin(60\pi t-\pi/2)\)\(I(t)=17.5\sin(60\pi t-\pi/2)\)
الحلSolution
\(X_L=\omega L=60\pi\times0.2=37.7\,\Omega\) و\(I_m=\dfrac{V_m}{X_L}=\dfrac{210}{37.7}=5.57\,A\).
📌 في الملف النقي يتأخر التيار عن الجهد بـ \(\pi/2\): \(I(t)=5.57\sin(60\pi t-\pi/2)\).
✅ \(I(t)=5.57\sin(60\pi t-\pi/2)\) (C)
\(X_L=\omega L=60\pi\times0.2=37.7\,\Omega\) and \(I_m=\dfrac{V_m}{X_L}=\dfrac{210}{37.7}=5.57\,A\).
📌 In a pure coil the current lags the voltage by \(\pi/2\): \(I(t)=5.57\sin(60\pi t-\pi/2)\).
✅ \(I(t)=5.57\sin(60\pi t-\pi/2)\) (C)
\[12\,\star\star\]
مصدر \(V(t)=210\sin(60\pi t)\) وُصل بمقاوم أومي \(R=20\,\Omega\). معادلة التيار:A source with \(V(t)=210\sin(60\pi t)\) is connected to an ohmic resistor \(R=20\,\Omega\). The equation of the current is:
\(I(t)=10.5\sin(60\pi t+\pi/2)\)\(I(t)=10.5\sin(60\pi t+\pi/2)\)
\(I(t)=14.7\sin(60\pi t-\pi/2)\)\(I(t)=14.7\sin(60\pi t-\pi/2)\)
\(I(t)=10.5\sin(60\pi t)\)\(I(t)=10.5\sin(60\pi t)\)
\(I(t)=14.7\sin(60\pi t+\pi/2)\)\(I(t)=14.7\sin(60\pi t+\pi/2)\)
الحلSolution
\(I_m=\dfrac{V_m}{R}=\dfrac{210}{20}=10.5\,A\).
📌 في المقاوم يتفق التيار مع الجهد في الطور: \(I(t)=10.5\sin(60\pi t)\).
✅ \(I(t)=10.5\sin(60\pi t)\) (C)
\(I_m=\dfrac{V_m}{R}=\dfrac{210}{20}=10.5\,A\).
📌 In a resistor the current is in phase with the voltage: \(I(t)=10.5\sin(60\pi t)\).
✅ \(I(t)=10.5\sin(60\pi t)\) (C)
\[13\,\star\star\star\]
دائرة \(LC\) متصلة بمصدر \(V(t)=110\sin(300t)\) ومعامل الحث الذاتي \(L=0.4\,H\) وسعة المكثف \(C=9\,\mu F\). المعاوقة وفرق الطور بين الجهد والتيار:An LC circuit is connected to a source \(V(t)=110\sin(300t)\) with \(L=0.4\,H\) and \(C=9\,\mu F\). The impedance and the phase difference between voltage and current are:
\(Z=199.8\,\Omega\) والجهد والتيار متفقان في الطور\(Z=199.8\,\Omega\) and the voltage and current are in phase
\(Z=250.4\,\Omega\) والتيار يسبق الجهد بمقدار \(\pi/2\)\(Z=250.4\,\Omega\) and the current leads the voltage by \(\pi/2\)
\(Z=250.4\,\Omega\) والجهد يسبق التيار بمقدار \(\pi/2\)\(Z=250.4\,\Omega\) and the voltage leads the current by \(\pi/2\)
\(Z=153.7\,\Omega\) والتيار يسبق الجهد بمقدار \(\pi/3\)\(Z=153.7\,\Omega\) and the current leads the voltage by \(\pi/3\)
الحلSolution
\(X_L=300\times0.4=120\,\Omega\) و\(X_C=\dfrac{1}{300\times9\times10^{-6}}=370.4\,\Omega\).
📌 لا توجد مقاومة فتكون \(Z=|X_L-X_C|=250.4\,\Omega\).
📌 \(X_C\gt X_L\) فالدائرة سعوية: يسبق التيار الجهد بـ \(\pi/2\).
✅ \(Z=250.4\,\Omega\) والتيار يسبق الجهد بمقدار \(\pi/2\) (B)
\(X_L=300\times0.4=120\,\Omega\) and \(X_C=\dfrac{1}{300\times9\times10^{-6}}=370.4\,\Omega\).
📌 There is no resistor so \(Z=|X_L-X_C|=250.4\,\Omega\).
📌 \(X_C\gt X_L\) so the circuit is capacitive: the current leads the voltage by \(\pi/2\).
✅ \(Z=250.4\,\Omega\) and the current leads the voltage by \(\pi/2\) (B)
\[14\,\star\star\star\]
دائرة تيار متردد فيها ملف حثي نقي غُيّر تردد مصدرها ورُسمت العلاقة بين التردد ومفاعلة الملف (الشكل). معامل الحث الذاتي للملف:An AC circuit contains a pure inductor. The source frequency was changed and the graph of the coil reactance against frequency was drawn (figure). The self-inductance of the coil is:
\(L=0.8\,H\)\(L=0.8\,H\)
\(L=0.2\,H\)\(L=0.2\,H\)
\(L=0.4\,H\)\(L=0.4\,H\)
\(L=0.6\,H\)\(L=0.6\,H\)
الحلSolution
📌 من الرسم: عند \(f=80\,Hz\) تكون \(X_L=400\,\Omega\) والخط مستقيم يمر بنقطة الأصل.
\(L=\dfrac{X_L}{2\pi f}=\dfrac{400}{2\pi\times80}=0.8\,H\).
✅ \(L=0.8\,H\) (A)
📌 From the graph: at \(f=80\,Hz\) the reactance is \(X_L=400\,\Omega\) and the line is straight through the origin.
\(L=\dfrac{X_L}{2\pi f}=\dfrac{400}{2\pi\times80}=0.8\,H\).
✅ \(L=0.8\,H\) (A)
\[15\,\star\star\star\]
دائرة تيار متردد فيها مكثف غُيّر تردد مصدرها ورُسمت العلاقة بين مقلوب التردد ومفاعلة المكثف (الشكل). سعة المكثف:An AC circuit contains a capacitor. The source frequency was changed and the graph of the capacitor reactance against the reciprocal of frequency was drawn (figure). The capacitance is:
\(C=2\,\mu F\)\(C=2\,\mu F\)
\(C=5\,\mu F\)\(C=5\,\mu F\)
\(C=4\,\mu F\)\(C=4\,\mu F\)
\(C=3\,\mu F\)\(C=3\,\mu F\)
الحلSolution
📌 \(X_C=\dfrac{1}{2\pi C}\cdot\dfrac{1}{f}\) فالميل \(=\dfrac{1}{2\pi C}\).
📌 من الرسم: عند \(\dfrac{1}{f}=6\times10^{-4}\,s\) تكون \(X_C\approx19\,\Omega\) فالميل \(\approx3.2\times10^{4}\,\Omega\cdot s\).
\(C=\dfrac{1}{2\pi\times3.2\times10^{4}}\approx5\times10^{-6}\,F=5\,\mu F\).
✅ \(C=5\,\mu F\) (B)
📌 \(X_C=\dfrac{1}{2\pi C}\cdot\dfrac{1}{f}\) so the slope is \(\dfrac{1}{2\pi C}\).
📌 From the graph: at \(\dfrac{1}{f}=6\times10^{-4}\,s\) the reactance is \(X_C\approx19\,\Omega\) so the slope is \(\approx3.2\times10^{4}\,\Omega\cdot s\).
\(C=\dfrac{1}{2\pi\times3.2\times10^{4}}\approx5\times10^{-6}\,F=5\,\mu F\).
✅ \(C=5\,\mu F\) (B)
\[16\,\star\]
في دائرة اهتزاز من ملف ومكثف شُحن المكثف وتُرك التيار يهتز. عندما يصبح التيار معدومًا في الملف يكون:In an oscillation circuit made of a coil and a capacitor the capacitor is charged and the current is left to oscillate. When the current in the coil becomes zero:
المكثف غير مشحون والطاقة الكهربائية معدومة والطاقة المغناطيسية أعظم ما يمكنthe capacitor is discharged, the electrical energy is zero and the magnetic energy is maximum
المكثف مشحون والطاقتان الكهربائية والمغناطيسية معدومتانthe capacitor is charged and both energies are zero
المكثف مشحون والطاقة الكهربائية أعلى ما يمكن والطاقة المغناطيسية معدومةthe capacitor is charged, the electrical energy is maximum and the magnetic energy is zero
المكثف غير مشحون والطاقتان معدومتانthe capacitor is discharged and both energies are zero
الحلSolution
📌 \(i=0\) ⇒ \(U_B=\tfrac{1}{2}Li^{2}=0\)، وبحفظ الطاقة تكون كل الطاقة في المكثف: \(U_E=\dfrac{Q^{2}}{2C}\) أعظم ما يمكن.
✅ المكثف مشحون والطاقة الكهربائية أعلى ما يمكن والطاقة المغناطيسية معدومة (C)
📌 \(i=0\) ⇒ \(U_B=\tfrac{1}{2}Li^{2}=0\), and by energy conservation all the energy is in the capacitor: \(U_E=\dfrac{Q^{2}}{2C}\) is maximum.
✅ the capacitor is charged, the electrical energy is maximum and the magnetic energy is zero (C)
\[17\,\star\star\star\]
دائرة \(RLC\) متصلة بمصدر جهده الأعظمي \(V_m=240\,V\) وجهد المقاوم الأعظمي \(V_{mR}=120\,V\). غُيّر تردد المصدر حتى أصبح \(V_{mL}=V_{mC}\). أعظم تيار يمر في الدائرة علمًا أن \(R=160\,\Omega\):An RLC circuit is connected to a source of maximum voltage \(V_m=240\,V\) and the maximum resistor voltage is \(V_{mR}=120\,V\). The source frequency is changed until \(V_{mL}=V_{mC}\). The greatest current in the circuit, given \(R=160\,\Omega\), is:
\(I_m=3\,A\)\(I_m=3\,A\)
\(I_m=2\,A\)\(I_m=2\,A\)
\(I_m=0.5\,A\)\(I_m=0.5\,A\)
\(I_m=1.5\,A\)\(I_m=1.5\,A\)
الحلSolution
📌 \(V_{mL}=V_{mC}\) يعني \(X_L=X_C\): الدائرة في حالة رنين فتكون \(Z=R\) وجهد المقاوم يساوي جهد المصدر.
\(I_m=\dfrac{V_m}{R}=\dfrac{240}{160}=1.5\,A\) (قبل الرنين كان التيار \(120/160=0.75\,A\) فقط).
✅ \(I_m=1.5\,A\) (D)
📌 \(V_{mL}=V_{mC}\) means \(X_L=X_C\): the circuit is in resonance, so \(Z=R\) and the resistor voltage equals the source voltage.
\(I_m=\dfrac{V_m}{R}=\dfrac{240}{160}=1.5\,A\) (before resonance the current was only \(120/160=0.75\,A\)).
✅ \(I_m=1.5\,A\) (D)
\[18\,\star\star\]
دائرة رنين \(RLC\) متصلة بهوائي، ملفها \(L=0.03\,H\) ومكثفها \(C=2\,\mu F\). تردد الموجة التي تستقبلها:An RLC resonance circuit connected to an antenna has a coil \(L=0.03\,H\) and a capacitor \(C=2\,\mu F\). The frequency of the wave it can receive is:
\(f=320\,Hz\)\(f=320\,Hz\)
\(f=650\,Hz\)\(f=650\,Hz\)
\(f=425\,Hz\)\(f=425\,Hz\)
\(f=520\,Hz\)\(f=520\,Hz\)
الحلSolution
📌 تستقبل الدائرة موجة تردد الرنين \(f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\).
\(f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{0.03\times2\times10^{-6}}}=650\,Hz\).
✅ \(f=650\,Hz\) (B)
📌 The circuit receives the wave of the resonance frequency \(f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\).
\(f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{0.03\times2\times10^{-6}}}=650\,Hz\).
✅ \(f=650\,Hz\) (B)
\[19\,\star\star\star\]
لدائرة \(RLC\) رُسمت العلاقة بين الممانعة والتردد (الشكل) وسعة مكثفها \(C=5\,nF\). معامل الحث الذاتي للملف:For an RLC circuit the graph of impedance against frequency was drawn (figure) and its capacitor is \(C=5\,nF\). The self-inductance of the coil is:
\(L=0.56\,H\)\(L=0.56\,H\)
\(L=0.34\,H\)\(L=0.34\,H\)
\(L=0.73\,H\)\(L=0.73\,H\)
\(L=0.24\,H\)\(L=0.24\,H\)
الحلSolution
📌 أصغر ممانعة تحدث عند الرنين: من الرسم \(f_0=30\times10^{2}=3000\,Hz\).
\(f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\Rightarrow L=\dfrac{1}{4\pi^{2}f_0^{2}C}=\dfrac{1}{4\pi^{2}(3000)^{2}(5\times10^{-9})}=0.56\,H\).
✅ \(L=0.56\,H\) (A)
📌 The smallest impedance occurs at resonance: from the graph \(f_0=30\times10^{2}=3000\,Hz\).
\(f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\Rightarrow L=\dfrac{1}{4\pi^{2}f_0^{2}C}=\dfrac{1}{4\pi^{2}(3000)^{2}(5\times10^{-9})}=0.56\,H\).
✅ \(L=0.56\,H\) (A)
\[20\,\star\star\]
علمًا أن \(X_C\gt X_L\) في كل دائرة، أي الدوائر المبينة (A وB وC وD) تكون فيها زاوية الطور بين التيار والجهد أكبر ما يمكن؟Given that \(X_C\gt X_L\) in every circuit, in which of the circuits (A, B, C, D) shown is the phase angle between current and voltage the greatest?
الدائرة ACircuit A
الدائرة BCircuit B
الدائرة CCircuit C
الدائرة DCircuit D
الحلSolution
📌 \(\tan\varphi=\dfrac{X_C-X_L}{R}\): تكبر الزاوية كلما صغرت المقاومة \(R\).
📌 الدائرة B فيها ملف ومكثف فقط (\(R=0\)) فتبلغ الزاوية \(90^{\circ}\) وهي الأكبر.
✅ الدائرة B (B)
📌 \(\tan\varphi=\dfrac{X_C-X_L}{R}\): the angle grows as the resistance \(R\) gets smaller.
📌 Circuit B contains only a coil and a capacitor (\(R=0\)) so the angle reaches \(90^{\circ}\), the greatest.
✅ Circuit B (B)
\[21\,\star\star\]
ثلاثة مصابيح متصلة على التوازي بمقاوم وملف ومكثف (الشكل) ولها السطوع نفسه. عند زيادة تردد المصدر:Three lamps are connected in parallel with a resistor, a coil and a capacitor (figure) and have the same brightness. When the source frequency is increased:
يزداد سطوع المصباح المتصل بالمكثفthe brightness of the lamp with the capacitor increases
يزداد سطوع المصباح المتصل بالملفthe brightness of the lamp with the coil increases
يزداد سطوع المصباح المتصل بالمقاومةthe brightness of the lamp with the resistor increases
لا يتغير سطوع أي مصباحthe brightness of no lamp changes
الحلSolution
📌 فرق الجهد على كل فرع ثابت، فسطوع المصباح يتبع تياره: \(I=V/X\).
📌 \(X_C=\dfrac{1}{2\pi fC}\) تقل فيزداد تيار فرع المكثف، و\(X_L=2\pi fL\) تزداد فيقل تيار الملف، والمقاومة لا تتغير.
✅ يزداد سطوع المصباح المتصل بالمكثف (A)
📌 The voltage across each branch is constant, so the brightness of a lamp follows its current \(I=V/X\).
📌 \(X_C=\dfrac{1}{2\pi fC}\) decreases so the capacitor branch current rises, \(X_L=2\pi fL\) increases so the coil current falls, and the resistor does not change.
✅ the brightness of the lamp with the capacitor increases (A)
\[22\,\star\star\star\]
دائرة فيها مكثف \(C=4.4\,\mu F\) ومقاوم أومي على التوالي وُصلت بمصدر تردده \(f=60\,Hz\)، وممانعتها الكلية \(Z=1000\,\Omega\). قيمة المقاومة:A circuit has a capacitor \(C=4.4\,\mu F\) and an ohmic resistor in series connected to a source of frequency \(f=60\,Hz\), and its total impedance is \(Z=1000\,\Omega\). The resistance is:
\(R=388.1\,\Omega\)\(R=388.1\,\Omega\)
\(R=244.2\,\Omega\)\(R=244.2\,\Omega\)
\(R=797.9\,\Omega\)\(R=797.9\,\Omega\)
\(R=654.3\,\Omega\)\(R=654.3\,\Omega\)
الحلSolution
\(X_C=\dfrac{1}{2\pi fC}=\dfrac{1}{2\pi\times60\times4.4\times10^{-6}}=602.9\,\Omega\).
\(R=\sqrt{Z^{2}-X_C^{2}}=\sqrt{1000^{2}-602.9^{2}}\approx798\,\Omega\) (أقرب خيار \(797.9\,\Omega\)).
✅ \(R=797.9\,\Omega\) (C)
\(X_C=\dfrac{1}{2\pi fC}=\dfrac{1}{2\pi\times60\times4.4\times10^{-6}}=602.9\,\Omega\).
\(R=\sqrt{Z^{2}-X_C^{2}}=\sqrt{1000^{2}-602.9^{2}}\approx798\,\Omega\) (the nearest option is \(797.9\,\Omega\)).
✅ \(R=797.9\,\Omega\) (C)
\[23\,\star\star\star\]
يبين الرسم التغير في شدة التيار الفعالة مع معامل الحث الذاتي لملف في الدائرة المبينة (\(C=9.0\,\mu F\)). تردد المصدر:The graph shows the effective current against the self-inductance of a coil in the circuit shown (\(C=9.0\,\mu F\)). The source frequency is:
\(f=480.4\,Hz\)\(f=480.4\,Hz\)
\(f=168.3\,Hz\)\(f=168.3\,Hz\)
\(f=100.2\,Hz\)\(f=100.2\,Hz\)
\(f=262.8\,Hz\)\(f=262.8\,Hz\)
الحلSolution
📌 أكبر تيار يحدث عند الرنين: من الرسم القمة عند \(L\approx0.28\,H\).
\(f=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{0.28\times9\times10^{-6}}}\approx100\,Hz\).
✅ \(f=100.2\,Hz\) (C)
📌 The largest current occurs at resonance: from the graph the peak is at \(L\approx0.28\,H\).
\(f=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{0.28\times9\times10^{-6}}}\approx100\,Hz\).
✅ \(f=100.2\,Hz\) (C)
\[24\,\star\star\]
محول خافض للجهد نسبة عدد لفات ملفيه \(12:6\) وُصل بمصدر فرق جهده الفعال \(110\,V\) وطرفه الآخر بمصباح. فرق الجهد الفعال على المصباح:A step-down transformer with a turns ratio \(12:6\) is connected to a source of effective voltage \(110\,V\) and its other side to a lamp. The effective voltage across the lamp is:
\(V_e=80\,V\)\(V_e=80\,V\)
\(V_e=55\,V\)\(V_e=55\,V\)
\(V_e=220\,V\)\(V_e=220\,V\)
\(V_e=12\,V\)\(V_e=12\,V\)
الحلSolution
\(\dfrac{V_s}{V_p}=\dfrac{N_s}{N_p}\) فنحصل على \(V_s=110\times\dfrac{6}{12}=55\,V\).
✅ \(V_e=55\,V\) (B)
\(\dfrac{V_s}{V_p}=\dfrac{N_s}{N_p}\) so \(V_s=110\times\dfrac{6}{12}=55\,V\).
✅ \(V_e=55\,V\) (B)
\[25\,\star\]
محول مثالي عدد لفات ملفه الابتدائي أصغر من عدد لفات ملفه الثانوي، وُصل بمصدر متردد وطرفه الآخر بجهاز. من صفات هذا المحول:An ideal transformer has fewer turns in its primary coil than in its secondary coil. It is connected to an AC source and its other side to a device. Its characteristics are:
رافع للتيار رافع للجهدsteps up the current and steps up the voltage
خافض للتيار خافض للجهدsteps down the current and steps down the voltage
رافع للتيار خافض للجهدsteps up the current and steps down the voltage
خافض للتيار رافع للجهدsteps down the current and steps up the voltage
الحلSolution
📌 \(N_s\gt N_p\) ⇒ \(V_s=V_p\dfrac{N_s}{N_p}\gt V_p\): المحول رافع للجهد.
📌 القدرة ثابتة \(V_pI_p=V_sI_s\) فيقل التيار في الثانوي: خافض للتيار.
✅ خافض للتيار رافع للجهد (D)
📌 \(N_s\gt N_p\) ⇒ \(V_s=V_p\dfrac{N_s}{N_p}\gt V_p\): a step-up transformer for the voltage.
📌 The power is constant \(V_pI_p=V_sI_s\) so the current in the secondary is smaller: it steps the current down.
✅ steps down the current and steps up the voltage (D)
\[26\,\star\star\]
شاحن مثالي لهاتف يحوّل الجهد من \(230\,V\) إلى \(5\,V\) ويحتاج الهاتف إلى تيار \(3\,A\) أثناء الشحن. التيار الفعال المطلوب من المصدر:An ideal phone charger converts the voltage from \(230\,V\) to \(5\,V\) and the phone needs a current of \(3\,A\) while charging. The effective current drawn from the source is:
\(I_P=0.015\,A\)\(I_P=0.015\,A\)
\(I_P=0.025\,A\)\(I_P=0.025\,A\)
\(I_P=0.04\,A\)\(I_P=0.04\,A\)
\(I_P=0.065\,A\)\(I_P=0.065\,A\)
الحلSolution
📌 المحول مثالي فالقدرة الداخلة تساوي الخارجة: \(V_PI_P=V_SI_S\).
\(I_P=\dfrac{5\times3}{230}=0.065\,A\).
✅ \(I_P=0.065\,A\) (D)
📌 The transformer is ideal so the input power equals the output power: \(V_PI_P=V_SI_S\).
\(I_P=\dfrac{5\times3}{230}=0.065\,A\).
✅ \(I_P=0.065\,A\) (D)
\[27\,\star\star\]
في الدائرة المبينة، قراءة الفولتميتر الموصول بطرفي المقاومة:In the circuit shown, the reading of the voltmeter connected across the resistor is:
\(V_R=300\,V\)\(V_R=300\,V\)
\(V_R=150\,V\)\(V_R=150\,V\)
\(V_R=100\,V\)\(V_R=100\,V\)
\(V_R=200\,V\)\(V_R=200\,V\)
الحلSolution
📌 جهد الملف يساوي جهد المكثف \(V_L=V_C=150\,V\) واتجاههما متعاكس فيلغي كلٌّ منهما الآخر (رنين).
\(V^{2}=V_R^{2}+(V_L-V_C)^{2}\Rightarrow V_R=V=300\,V\).
✅ \(V_R=300\,V\) (A)
📌 The coil voltage equals the capacitor voltage \(V_L=V_C=150\,V\) and they are opposite so they cancel (resonance).
\(V^{2}=V_R^{2}+(V_L-V_C)^{2}\Rightarrow V_R=V=300\,V\).
✅ \(V_R=300\,V\) (A)
\[28\,\star\star\star\]
ملف حثي ومصباح وُصلا أولًا بمصدر تيار مستمر (الشكل 1) ثم بمصدر تيار متردد (الشكل 2)، وأُدخلت نواة حديدية وتُركت داخل الملف. ماذا يحدث لسطوع المصباح في الدائرتين؟An inductor and a lamp are connected first to a DC source (Figure 1) and then to an AC source (Figure 2), and an iron core is inserted and left inside the coil. What happens to the brightness of the lamp in the two circuits?
في الحالتين يزداد السطوع ولا يعودin both cases the brightness increases and does not return
في الشكل 1 يقل السطوع ثم يعود وفي الشكل 2 يقل ولا يعودin Figure 1 it decreases then returns, in Figure 2 it decreases and does not return
في الحالتين يقل السطوع ثم يعودin both cases the brightness decreases and then returns
في الشكل 2 يقل السطوع ثم يعود وفي الشكل 1 يقل ولا يعودin Figure 2 it decreases then returns, in Figure 1 it decreases and does not return
الحلSolution
📌 التيار المستمر: أثناء إدخال النواة يتزايد التدفق فتنشأ قوة دافعة حثية تقاوم التغير فيقل التيار لحظيًا ثم يعود لقيمته \(V/R\) لأن مفاعلة الملف لا تؤثر في التيار الثابت.
📌 التيار المتردد: النواة تزيد \(L\) فتزداد \(X_L=\omega L\) بشكل دائم فتكبر المعاوقة ويقل التيار ويبقى السطوع أقل.
✅ في الشكل 1 يقل السطوع ثم يعود وفي الشكل 2 يقل ولا يعود (B)
📌 Direct current: while the core is inserted the flux increases and an induced emf opposes the change, so the current drops for a moment and then returns to \(V/R\) because the reactance of the coil does not affect a steady current.
📌 Alternating current: the core increases \(L\) so \(X_L=\omega L\) increases permanently, the impedance grows, the current falls and the lamp stays dimmer.
✅ in Figure 1 it decreases then returns, in Figure 2 it decreases and does not return (B)
\[29\,\star\star\]
أي الدوائر المبينة (A وB وC وD) يمكن أن تنعدم معاوقتها؟In which of the circuits shown (A, B, C, D) can the impedance become zero?
الدائرة ACircuit A
الدائرة BCircuit B
الدائرة CCircuit C
الدائرة DCircuit D
الحلSolution
📌 \(Z=\sqrt{R^{2}+(X_L-X_C)^{2}}\) لا تنعدم إلا إذا \(R=0\) و\(X_L=X_C\) معًا.
📌 الدائرة B وحدها بلا مقاومة (ملف ومكثف فقط)، فعند الرنين تنعدم معاوقتها.
✅ الدائرة B (B)
📌 \(Z=\sqrt{R^{2}+(X_L-X_C)^{2}}\) vanishes only if \(R=0\) and \(X_L=X_C\) together.
📌 Only circuit B has no resistor (a coil and a capacitor only), so its impedance vanishes at resonance.
✅ Circuit B (B)
\[30\,\star\star\]
في دائرة \(RLC\) في حالة رنين تكون قراءة أحد الفولتميترات المبينة (V₁ على الملف، V₂ على المكثف، V₃ على المقاوم، V₄ على الملف والمكثف معًا) صفرًا. إنه:In an RLC circuit at resonance the reading of one of the voltmeters shown (V₁ across the coil, V₂ across the capacitor, V₃ across the resistor, V₄ across the coil and capacitor together) is zero. It is:
\(V_1=0\)\(V_1=0\)
\(V_4=0\)\(V_4=0\)
\(V_2=0\)\(V_2=0\)
\(V_3=0\)\(V_3=0\)
الحلSolution
📌 عند الرنين \(X_L=X_C\) وجهد الملف يعاكس جهد المكثف في الطور بمقدار \(180^{\circ}\).
📌 فالجهد بين طرفي الملف والمكثف معًا \(V_4=V_L-V_C=0\)، أما \(V_1\) و\(V_2\) فلا تساويان صفرًا.
✅ \(V_4=0\) (B)
📌 At resonance \(X_L=X_C\) and the coil voltage is \(180^{\circ}\) out of phase with the capacitor voltage.
📌 So the voltage across the coil and capacitor together is \(V_4=V_L-V_C=0\), whereas \(V_1\) and \(V_2\) are not zero.
✅ \(V_4=0\) (B)
\[31\,\star\]
تُصنع نواة الحديد في المحولات من صفائح معزولة عن بعضها وذلك من أجل:The iron core of transformers is made of laminated sheets insulated from one another in order to:
تقليل الفقد الحراري فقطreduce the heat loss only
تقليل الفقد من خطوط المجالreduce the loss of field lines
تقليل أثر التيارات الدواميةreduce the effect of eddy currents
تكوين حث متبادل بين الملفينcreate mutual induction between the coils
الحلSolution
📌 تنشأ في القلب المصمت تيارات دوامية كبيرة تسخّنه وتهدر الطاقة.
📌 تقطيعه إلى صفائح معزولة يقطع مسارات هذه التيارات فتضعف كثيرًا (ويقل الفقد الحراري نتيجة لذلك).
✅ تقليل أثر التيارات الدوامية (C)
📌 Large eddy currents arise in a solid core; they heat it and waste energy.
📌 Cutting it into insulated sheets breaks the paths of these currents so they become much weaker (and the heat loss falls as a result).
✅ reduce the effect of eddy currents (C)
\[32\,\star\star\star\]
دائرة \(RC\) متصلة بمصدر \(V(t)=210\sin(200t)\) وسعة مكثفها \(C=50\,\mu F\) وجهده \(V_C(t)=150\sin(200t)\). قيمة المقاومة:An RC circuit is connected to a source \(V(t)=210\sin(200t)\), its capacitor is \(C=50\,\mu F\) and its voltage is \(V_C(t)=150\sin(200t)\). The resistance is:
\(R=105.6\,\Omega\)\(R=105.6\,\Omega\)
\(R=97.9\,\Omega\)\(R=97.9\,\Omega\)
\(R=85.6\,\Omega\)\(R=85.6\,\Omega\)
\(R=107.4\,\Omega\)\(R=107.4\,\Omega\)
الحلSolution
\(X_C=\dfrac{1}{\omega C}=\dfrac{1}{200\times50\times10^{-6}}=100\,\Omega\) و\(I_m=\dfrac{V_{mC}}{X_C}=\dfrac{150}{100}=1.5\,A\).
\(V_{mR}=\sqrt{210^{2}-150^{2}}=147\,V\) ومنه \(R=\dfrac{147}{1.5}=97.9\,\Omega\).
✅ \(R=97.9\,\Omega\) (B)
\(X_C=\dfrac{1}{\omega C}=\dfrac{1}{200\times50\times10^{-6}}=100\,\Omega\) and \(I_m=\dfrac{V_{mC}}{X_C}=\dfrac{150}{100}=1.5\,A\).
\(V_{mR}=\sqrt{210^{2}-150^{2}}=147\,V\) so \(R=\dfrac{147}{1.5}=97.9\,\Omega\).
✅ \(R=97.9\,\Omega\) (B)
\[33\,\star\star\]
دائرة تيار متردد فيها مكثف وأميتر (الشكل). غُيّر تردد المصدر. أي الرسوم (A وB وC وD) يعبر عن العلاقة بين التردد الزاوي وشدة التيار؟An AC circuit contains a capacitor and an ammeter (figure). The source frequency was changed. Which graph (A, B, C, D) represents the relation between the angular frequency and the current?
الدائرة ACircuit A
الدائرة BCircuit B
الدائرة CCircuit C
الدائرة DCircuit D
الحلSolution
📌 \(I=\dfrac{V}{X_C}=V\omega C\): التيار يتناسب طرديًا مع \(\omega\).
📌 العلاقة خط مستقيم يمر بنقطة الأصل وهو الرسم B.
✅ الدائرة B (B)
📌 \(I=\dfrac{V}{X_C}=V\omega C\): the current is directly proportional to \(\omega\).
📌 The relation is a straight line through the origin: graph B.
✅ Circuit B (B)
\[34\,\star\star\star\]
دائرة فيها ملف ومقاوم على التوالي (الشكل). أي المخططات الاتجاهية (A وB وC وD) يعبر عن فرق الطور بين الجهد والتيار؟A circuit contains a coil and a resistor in series (figure). Which phasor diagram (A, B, C, D) represents the phase difference between voltage and current?
الدائرة ACircuit A
الدائرة BCircuit B
الدائرة CCircuit C
الدائرة DCircuit D
الحلSolution
📌 في دائرة \(RL\) يسبق الجهد التيار بزاوية \(\varphi\) محصورة بين \(0\) و\(90^{\circ}\): \(\tan\varphi=\dfrac{X_L}{R}\).
📌 المخطط D فيه الجهد أمام التيار بزاوية أقل من \(90^{\circ}\)، أما B فالتيار فيه يسبق الجهد بـ \(90^{\circ}\) (مكثف)، وA يسبق فيه التيار الجهد، وC بزاوية \(90^{\circ}\) (ملف نقي).
✅ الدائرة D (D)
📌 In an \(RL\) circuit the voltage leads the current by an angle \(\varphi\) between \(0\) and \(90^{\circ}\): \(\tan\varphi=\dfrac{X_L}{R}\).
📌 In diagram D the voltage is ahead of the current by less than \(90^{\circ}\); in B the current leads by \(90^{\circ}\) (capacitor), in A the current leads the voltage, and C shows \(90^{\circ}\) (a pure coil).
✅ Circuit D (D)
\[35\,\star\star\]
مكثف سعته \(C=40\,\mu F\) متصل بمصدر معادلة جهده \(V(t)=210\sin(60\pi t)\). معادلة التيار:A capacitor of capacitance \(C=40\,\mu F\) is connected to a source with \(V(t)=210\sin(60\pi t)\). The equation of the current is:
\(i(t)=1.58\sin(60\pi t+\pi/2)\)\(i(t)=1.58\sin(60\pi t+\pi/2)\)
\(i(t)=2.25\sin(60\pi t+\pi/2)\)\(i(t)=2.25\sin(60\pi t+\pi/2)\)
\(i(t)=2.25\sin(60\pi t-\pi/2)\)\(i(t)=2.25\sin(60\pi t-\pi/2)\)
\(i(t)=1.58\sin(60\pi t-\pi/2)\)\(i(t)=1.58\sin(60\pi t-\pi/2)\)
الحلSolution
\(X_C=\dfrac{1}{60\pi\times40\times10^{-6}}=132.6\,\Omega\) و\(I_m=\dfrac{210}{132.6}=1.58\,A\).
📌 في المكثف يسبق التيار الجهد بـ \(\pi/2\): \(i(t)=1.58\sin(60\pi t+\pi/2)\).
✅ \(i(t)=1.58\sin(60\pi t+\pi/2)\) (A)
\(X_C=\dfrac{1}{60\pi\times40\times10^{-6}}=132.6\,\Omega\) and \(I_m=\dfrac{210}{132.6}=1.58\,A\).
📌 In a capacitor the current leads the voltage by \(\pi/2\): \(i(t)=1.58\sin(60\pi t+\pi/2)\).
✅ \(i(t)=1.58\sin(60\pi t+\pi/2)\) (A)
\[36\,\star\]
عند مضاعفة تردد مصدر متردد متصل بملف نقي فإن مفاعلة الملف:When the frequency of an AC source connected to a pure coil is doubled, the reactance of the coil:
تتضاعفdoubles
تصبح نصفهاis halved
لا تتغيرdoes not change
تصبح أربعة أمثالهاbecomes four times as large
الحلSolution
\(X_L=2\pi fL\) تتناسب طرديًا مع التردد، فإذا تضاعف \(f\) تضاعفت \(X_L\).
✅ تتضاعف (A)
\(X_L=2\pi fL\) is directly proportional to the frequency, so doubling \(f\) doubles \(X_L\).
✅ doubles (A)
\[37\,\star\]
عند مضاعفة تردد مصدر متردد متصل بمكثف فإن مفاعلة المكثف:When the frequency of an AC source connected to a capacitor is doubled, the reactance of the capacitor:
تتضاعفdoubles
تصبح نصفهاis halved
لا تتغيرdoes not change
تصبح ربعهاbecomes a quarter
الحلSolution
\(X_C=\dfrac{1}{2\pi fC}\) تتناسب عكسيًا مع التردد، فإذا تضاعف \(f\) صارت \(X_C\) نصفها.
✅ تصبح نصفها (B)
\(X_C=\dfrac{1}{2\pi fC}\) is inversely proportional to the frequency, so doubling \(f\) halves \(X_C\).
✅ is halved (B)
\[38\,\star\]
جهد متردد أعظم قيمة له \(V_m=311\,V\). قيمته الفعالة تساوي تقريبًا:An alternating voltage has a maximum value \(V_m=311\,V\). Its effective value is approximately:
\(311\,V\)\(311\,V\)
\(440\,V\)\(440\,V\)
\(155\,V\)\(155\,V\)
\(220\,V\)\(220\,V\)
الحلSolution
\(V_e=\dfrac{V_m}{\sqrt{2}}=\dfrac{311}{1.414}=220\,V\).
✅ \(220\,V\) (D)
\(V_e=\dfrac{V_m}{\sqrt{2}}=\dfrac{311}{1.414}=220\,V\).
✅ \(220\,V\) (D)
\[39\,\star\star\]
ملف مقاومته مهملة ومفاعلته \(40\,\Omega\) وُصل على التوالي بمقاوم \(30\,\Omega\). معاوقة الدائرة:A coil of negligible resistance and reactance \(40\,\Omega\) is connected in series with a resistor of \(30\,\Omega\). The impedance of the circuit is:
\(Z=50\,\Omega\)\(Z=50\,\Omega\)
\(Z=70\,\Omega\)\(Z=70\,\Omega\)
\(Z=10\,\Omega\)\(Z=10\,\Omega\)
\(Z=35\,\Omega\)\(Z=35\,\Omega\)
الحلSolution
\(Z=\sqrt{R^{2}+X_L^{2}}=\sqrt{30^{2}+40^{2}}=50\,\Omega\) (لا نجمع المقاومة والمفاعلة جمعًا عاديًا).
✅ \(Z=50\,\Omega\) (A)
\(Z=\sqrt{R^{2}+X_L^{2}}=\sqrt{30^{2}+40^{2}}=50\,\Omega\) (resistance and reactance are not added arithmetically).
✅ \(Z=50\,\Omega\) (A)
\[40\,\star\star\]
في الدائرة السابقة (\(R=30\,\Omega\) و\(X_L=40\,\Omega\)) فرق الطور بين الجهد والتيار يساوي تقريبًا:In the previous circuit (\(R=30\,\Omega\) and \(X_L=40\,\Omega\)) the phase difference between the voltage and the current is approximately:
\(37^{\circ}\)\(37^{\circ}\)
\(90^{\circ}\)\(90^{\circ}\)
\(0^{\circ}\)\(0^{\circ}\)
\(53^{\circ}\)\(53^{\circ}\)
الحلSolution
\(\tan\varphi=\dfrac{X_L}{R}=\dfrac{40}{30}=1.33\) ومنه \(\varphi=53^{\circ}\) والجهد يسبق التيار لأن الدائرة حثية.
✅ \(53^{\circ}\) (D)
\(\tan\varphi=\dfrac{X_L}{R}=\dfrac{40}{30}=1.33\) so \(\varphi=53^{\circ}\) and the voltage leads the current because the circuit is inductive.
✅ \(53^{\circ}\) (D)
\[41\,\star\star\]
دائرة \(RLC\) على التوالي: \(R=40\,\Omega\) و\(X_L=100\,\Omega\) و\(X_C=70\,\Omega\) ومصدرها \(V_e=100\,V\). التيار الفعال:A series RLC circuit has \(R=40\,\Omega\), \(X_L=100\,\Omega\), \(X_C=70\,\Omega\) and a source \(V_e=100\,V\). The effective current is:
\(I_e=0.83\,A\)\(I_e=0.83\,A\)
\(I_e=2.5\,A\)\(I_e=2.5\,A\)
\(I_e=2\,A\)\(I_e=2\,A\)
\(I_e=1.25\,A\)\(I_e=1.25\,A\)
الحلSolution
\(Z=\sqrt{40^{2}+(100-70)^{2}}=50\,\Omega\).
\(I_e=\dfrac{V_e}{Z}=\dfrac{100}{50}=2\,A\).
✅ \(I_e=2\,A\) (C)
\(Z=\sqrt{40^{2}+(100-70)^{2}}=50\,\Omega\).
\(I_e=\dfrac{V_e}{Z}=\dfrac{100}{50}=2\,A\).
✅ \(I_e=2\,A\) (C)
\[42\,\star\star\]
تردد الرنين لدائرة \(RLC\) فيها \(L=50\,mH\) و\(C=20\,\mu F\):The resonance frequency of an RLC circuit with \(L=50\,mH\) and \(C=20\,\mu F\) is:
\(f_0=1000\,Hz\)\(f_0=1000\,Hz\)
\(f_0=31.8\,Hz\)\(f_0=31.8\,Hz\)
\(f_0=1.0\,Hz\)\(f_0=1.0\,Hz\)
\(f_0=159\,Hz\)\(f_0=159\,Hz\)
الحلSolution
\(f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{0.05\times20\times10^{-6}}}=\dfrac{1}{2\pi\times10^{-3}}=159\,Hz\).
✅ \(f_0=159\,Hz\) (D)
\(f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{0.05\times20\times10^{-6}}}=\dfrac{1}{2\pi\times10^{-3}}=159\,Hz\).
✅ \(f_0=159\,Hz\) (D)
\[43\,\star\star\]
محول ملفه الابتدائي \(2000\) لفة ووُصل بجهد فعال \(220\,V\). إذا كان ملفه الثانوي \(100\) لفة فإن الجهد الفعال في الثانوي:A transformer has a primary coil of \(2000\) turns connected to an effective voltage \(220\,V\). If its secondary coil has \(100\) turns, the effective voltage in the secondary is:
\(V_s=11\,V\)\(V_s=11\,V\)
\(V_s=4400\,V\)\(V_s=4400\,V\)
\(V_s=110\,V\)\(V_s=110\,V\)
\(V_s=22\,V\)\(V_s=22\,V\)
الحلSolution
\(V_s=V_p\dfrac{N_s}{N_p}=220\times\dfrac{100}{2000}=11\,V\) (محول خافض).
✅ \(V_s=11\,V\) (A)
\(V_s=V_p\dfrac{N_s}{N_p}=220\times\dfrac{100}{2000}=11\,V\) (a step-down transformer).
✅ \(V_s=11\,V\) (A)
\[44\,\star\star\]
محول مثالي: الجهد في الابتدائي \(220\,V\) والتيار فيه \(0.5\,A\)، والجهد في الثانوي \(11\,V\). التيار في الثانوي:An ideal transformer: the primary has \(220\,V\) and \(0.5\,A\), and the secondary voltage is \(11\,V\). The current in the secondary is:
\(I_s=10\,A\)\(I_s=10\,A\)
\(I_s=0.025\,A\)\(I_s=0.025\,A\)
\(I_s=5\,A\)\(I_s=5\,A\)
\(I_s=0.5\,A\)\(I_s=0.5\,A\)
الحلSolution
📌 القدرة ثابتة: \(V_pI_p=V_sI_s\) فنحصل على \(I_s=\dfrac{220\times0.5}{11}=10\,A\).
✅ \(I_s=10\,A\) (A)
📌 The power is constant: \(V_pI_p=V_sI_s\) so \(I_s=\dfrac{220\times0.5}{11}=10\,A\).
✅ \(I_s=10\,A\) (A)
\[45\,\star\star\star\]
مقاومتها \(R=20\,\Omega\) في دائرة \(RLC\) توالي مصدرها \(V_e=100\,V\). التيار الفعال عند الرنين:In a series RLC circuit with \(R=20\,\Omega\) and a source \(V_e=100\,V\), the effective current at resonance is:
\(I_e=2\,A\)\(I_e=2\,A\)
\(I_e=0.2\,A\)\(I_e=0.2\,A\)
\(I_e=0\,A\)\(I_e=0\,A\)
\(I_e=5\,A\)\(I_e=5\,A\)
الحلSolution
📌 عند الرنين \(X_L=X_C\) فتصبح \(Z=R\) (أصغر ما يمكن) ويكون التيار أعظم ما يمكن.
\(I_e=\dfrac{V_e}{R}=\dfrac{100}{20}=5\,A\).
✅ \(I_e=5\,A\) (D)
📌 At resonance \(X_L=X_C\) so \(Z=R\) (the minimum) and the current is the maximum.
\(I_e=\dfrac{V_e}{R}=\dfrac{100}{20}=5\,A\).
✅ \(I_e=5\,A\) (D)
\[46\,\star\star\star\]
دائرة \(RLC\) توالي مصدرها ترددُه أقل من تردد الرنين. يكون سلوك الدائرة:A series RLC circuit is driven at a frequency below the resonance frequency. The behaviour of the circuit is:
حثيًا والجهد يسبق التيارinductive and the voltage leads the current
أوميًا والتيار والجهد في الطور نفسهresistive with current and voltage in phase
سعويًا والتيار يسبق الجهدcapacitive and the current leads the voltage
حثيًا والتيار يسبق الجهدinductive and the current leads the voltage
الحلSolution
📌 عند تردد أقل من \(f_0\): \(X_L=2\pi fL\) صغيرة و\(X_C=\dfrac{1}{2\pi fC}\) كبيرة فتكون \(X_C\gt X_L\).
📌 الدائرة سعوية: يسبق التيار الجهد.
✅ سعويًا والتيار يسبق الجهد (C)
📌 Below \(f_0\): \(X_L=2\pi fL\) is small and \(X_C=\dfrac{1}{2\pi fC}\) is large, so \(X_C\gt X_L\).
📌 The circuit is capacitive: the current leads the voltage.
✅ capacitive and the current leads the voltage (C)
\[47\,\star\star\star\]
إذا زاد معامل الحث الذاتي لملف في دائرة رنين أربعة أمثال مع بقاء سعة المكثف ثابتة فإن تردد الرنين:If the self-inductance of the coil in a resonant circuit becomes four times as large while the capacitance stays the same, the resonance frequency:
يتضاعفdoubles
يصبح الربعbecomes a quarter
لا يتغيرdoes not change
يصبح النصفis halved
الحلSolution
\(f_0\propto\dfrac{1}{\sqrt{L}}\) فإذا صارت \(L\to4L\) صارت \(f_0\to\dfrac{f_0}{2}\).
✅ يصبح النصف (D)
\(f_0\propto\dfrac{1}{\sqrt{L}}\) so if \(L\to4L\) then \(f_0\to\dfrac{f_0}{2}\).
✅ is halved (D)
\[48\,\star\star\star\]
دائرة اهتزاز فيها \(L=0.5\,H\) و\(C=2\,\mu F\). الزمن الدوري لاهتزاز الطاقة فيها:An oscillation circuit has \(L=0.5\,H\) and \(C=2\,\mu F\). Its period of oscillation is:
\(T=0.63\,ms\)\(T=0.63\,ms\)
\(T=62.8\,ms\)\(T=62.8\,ms\)
\(T=6.28\,ms\)\(T=6.28\,ms\)
\(T=1.0\,ms\)\(T=1.0\,ms\)
الحلSolution
\(T=2\pi\sqrt{LC}=2\pi\sqrt{0.5\times2\times10^{-6}}=2\pi\times10^{-3}=6.28\,ms\).
✅ \(T=6.28\,ms\) (C)
\(T=2\pi\sqrt{LC}=2\pi\sqrt{0.5\times2\times10^{-6}}=2\pi\times10^{-3}=6.28\,ms\).
✅ \(T=6.28\,ms\) (C)
\[49\,\star\star\star\]
في دائرة \(RC\) توالي: \(R=300\,\Omega\) و\(X_C=400\,\Omega\). معامل القدرة \(\cos\varphi=\dfrac{R}{Z}\):In a series RC circuit \(R=300\,\Omega\) and \(X_C=400\,\Omega\). The power factor \(\cos\varphi=\dfrac{R}{Z}\) is:
\(0.8\)\(0.8\)
\(0.75\)\(0.75\)
\(1.0\)\(1.0\)
\(0.6\)\(0.6\)
الحلSolution
\(Z=\sqrt{300^{2}+400^{2}}=500\,\Omega\).
\(\cos\varphi=\dfrac{R}{Z}=\dfrac{300}{500}=0.6\).
✅ \(0.6\) (D)
\(Z=\sqrt{300^{2}+400^{2}}=500\,\Omega\).
\(\cos\varphi=\dfrac{R}{Z}=\dfrac{300}{500}=0.6\).
✅ \(0.6\) (D)
\[50\,\star\star\star\star\]
مفاعلة ملف \(60\,\Omega\) عند \(50\,Hz\). وُصل هذا الملف على التوالي بمقاوم \(80\,\Omega\) ورُفع تردد المصدر إلى \(150\,Hz\). معاوقة الدائرة الجديدة:A coil has a reactance of \(60\,\Omega\) at \(50\,Hz\). It is connected in series with a resistor of \(80\,\Omega\) and the source frequency is raised to \(150\,Hz\). The new impedance of the circuit is:
\(Z=100\,\Omega\)\(Z=100\,\Omega\)
\(Z=260\,\Omega\)\(Z=260\,\Omega\)
\(Z=197\,\Omega\)\(Z=197\,\Omega\)
\(Z=140\,\Omega\)\(Z=140\,\Omega\)
الحلSolution
\(X_L\propto f\Rightarrow X_L=60\times\dfrac{150}{50}=180\,\Omega\).
\(Z=\sqrt{80^{2}+180^{2}}=197\,\Omega\).
✅ \(Z=197\,\Omega\) (C)
\(X_L\propto f\Rightarrow X_L=60\times\dfrac{150}{50}=180\,\Omega\).
\(Z=\sqrt{80^{2}+180^{2}}=197\,\Omega\).
✅ \(Z=197\,\Omega\) (C)
📝 المسائل المقالية
📝 Essay Problems
\[1\,\star\star\star\]
دائرة تيار متردد فيها مكثف سعته \(C=4.4\,\mu F\) ومقاومة أومية صرفة (الشكل) وُصلتا بمصدر جهده الفعال \(V_e=200\,V\) وتردده \(f=60\,Hz\)، وممانعتها الكلية \(Z=1000\,\Omega\). احسب: (أ) قيمة المقاومة الأومية. (ب) شدة التيار الأعظمية في الدائرة. (ج) اكتب معادلة التيار.An AC circuit contains a capacitor \(C=4.4\,\mu F\) and a pure ohmic resistor (figure) connected to a source of effective voltage \(V_e=200\,V\) and frequency \(f=60\,Hz\), and its total impedance is \(Z=1000\,\Omega\). Find: (a) the ohmic resistance. (b) the maximum current in the circuit. (c) Write the equation of the current.
.....................................................................
الحلSolution
📌 (أ) \(X_C=\dfrac{1}{2\pi fC}=\dfrac{1}{2\pi\times60\times4.4\times10^{-6}}=602.9\,\Omega\) و\(Z^{2}=R^{2}+X_C^{2}\) فيكون \(R=\sqrt{1000^{2}-602.9^{2}}\approx797.9\,\Omega\).
📌 (ب) \(I_e=\dfrac{V_e}{Z}=\dfrac{200}{1000}=0.2\,A\) و\(I_m=\sqrt{2}\,I_e=0.283\,A\).
📌 (ج) في الدائرة سعوية يسبق التيار الجهد بزاوية \(\varphi=\tan^{-1}\dfrac{X_C}{R}=\tan^{-1}\dfrac{602.9}{797.9}=37.1^{\circ}=0.65\,rad\).
📌 \(\omega=2\pi f=120\pi\,rad/s\) فتكون المعادلة \(i(t)=0.283\sin(120\pi t+0.65)\,A\).
✅ \(R\approx798\,\Omega,\ I_m=0.283\,A,\ i(t)=0.283\sin(120\pi t+0.65)\,A\)
📌 (a) \(X_C=\dfrac{1}{2\pi fC}=\dfrac{1}{2\pi\times60\times4.4\times10^{-6}}=602.9\,\Omega\) and \(Z^{2}=R^{2}+X_C^{2}\) so \(R=\sqrt{1000^{2}-602.9^{2}}\approx797.9\,\Omega\).
📌 (b) \(I_e=\dfrac{V_e}{Z}=\dfrac{200}{1000}=0.2\,A\) and \(I_m=\sqrt{2}\,I_e=0.283\,A\).
📌 (c) The circuit is capacitive so the current leads the voltage by \(\varphi=\tan^{-1}\dfrac{X_C}{R}=\tan^{-1}\dfrac{602.9}{797.9}=37.1^{\circ}=0.65\,rad\).
📌 \(\omega=2\pi f=120\pi\,rad/s\) so the equation is \(i(t)=0.283\sin(120\pi t+0.65)\,A\).
✅ \(R\approx798\,\Omega,\ I_m=0.283\,A,\ i(t)=0.283\sin(120\pi t+0.65)\,A\)
\[2\,\star\star\star\]
درست ثلاث مجموعات من الطلاب العلاقة بين ممانعة دائرة وتردد المصدر، وكانت نتائج كل مجموعة جدولًا ورسمًا بيانيًا كما في الأشكال. (أ) حصلت المجموعة الأولى على النتائج في الشكل الأول: حدّد العنصر الذي درسته. (ب) استخدمت المجموعة الثانية ترددات مرتفعة مع الجهاز نفسه فحصلت على خط يمر بنقطة الأصل: فسّر اختلاف الرسم. (ج) استخدمت المجموعة الثالثة عنصرًا آخر فخرج الرسم مستقيمًا أفقيًا ولم تتغير الممانعة مع التردد: فسّر ذلك.Three groups of students studied the relation between the impedance of a circuit and the source frequency; the results of each group are a table and a graph as shown. (a) The first group obtained the results in the first figure: determine the element it studied. (b) The second group used high frequencies with the same device and obtained a line through the origin: explain the difference in the graph. (c) The third group used another element and the graph was a horizontal straight line, the impedance not changing with frequency: explain this.
.....................................................................
الحلSolution
📌 (أ) الممانعة تزداد مع التردد لكنها لا تبدأ من الصفر (≈ \(10\,\Omega\) عند \(f\to0\)) أي أن الجهاز ملف حثي له مقاومة أومية: \(Z=\sqrt{R^{2}+(2\pi fL)^{2}}\). من الجدول: \(Z^{2}(10)=139.5\) و\(Z^{2}(40)=731.7\) فنجد \(L=0.1\,H\) و\(R=10\,\Omega\).
📌 (ب) عند الترددات المرتفعة \(X_L=2\pi fL\gg R\) فيمكن إهمال المقاومة، وتصبح \(Z\approx X_L=2\pi fL\) علاقة طردية يمر خطها بنقطة الأصل (مثلًا \(2\pi\times1000\times0.1=628\,\Omega\)).
📌 (ج) العنصر مقاوم أومي، فمعاوقته \(Z=R=10\,\Omega\) لا تعتمد على التردد.
✅ (أ) ملف حثي له مقاومة (\(L=0.1\,H,\ R=10\,\Omega\)) (ب) \(X_L\gg R\) (ج) مقاوم أومي
📌 (a) The impedance grows with frequency but does not start from zero (≈ \(10\,\Omega\) as \(f\to0\)), so the device is an inductor with ohmic resistance: \(Z=\sqrt{R^{2}+(2\pi fL)^{2}}\). From the table: \(Z^{2}(10)=139.5\) and \(Z^{2}(40)=731.7\) give \(L=0.1\,H\) and \(R=10\,\Omega\).
📌 (b) At high frequencies \(X_L=2\pi fL\gg R\) so the resistance can be neglected and \(Z\approx X_L=2\pi fL\) is a direct relation whose line passes through the origin (e.g. \(2\pi\times1000\times0.1=628\,\Omega\)).
📌 (c) The element is an ohmic resistor, whose impedance \(Z=R=10\,\Omega\) does not depend on frequency.
✅ (a) a coil with resistance (\(L=0.1\,H,\ R=10\,\Omega\)) (b) \(X_L\gg R\) (c) an ohmic resistor
\[3\,\star\star\star\]
دائرة تيار متردد فيها مكثف وملف ومقاومة أومية على التوالي \(L=0.1\,H,\ C=100\,\mu F,\ R=5\,\Omega\) وُصلت بمصدر جهده الفعال \(V_e=100\,V\) فمر تيار فعال \(I_e=20\,A\). قال أحد الطلاب إن الدائرة في حالة رنين. فسّر قراره بالحسابات والعلاقات الفيزيائية، ثم احسب تردد الرنين.A series circuit contains a capacitor, a coil and an ohmic resistor \(L=0.1\,H,\ C=100\,\mu F,\ R=5\,\Omega\) connected to a source of effective voltage \(V_e=100\,V\), and an effective current \(I_e=20\,A\) flows. A student said the circuit is at resonance. Explain this decision with calculations and physical relations, then find the resonance frequency.
.....................................................................
الحلSolution
📌 الممانعة المقاسة \(Z=\dfrac{V_e}{I_e}=\dfrac{100}{20}=5\,\Omega=R\).
📌 بما أن \(Z=\sqrt{R^{2}+(X_L-X_C)^{2}}=R\) فإن \(X_L=X_C\) أي أن الدائرة في حالة رنين، وهي أصغر ممانعة ممكنة وأعظم تيار ممكن.
\(f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{0.1\times100\times10^{-6}}}=50.3\,Hz\).
✅ الدائرة في حالة رنين (\(X_L=X_C\)) وتردد الرنين \(f_0=50.3\,Hz\)
📌 The measured impedance is \(Z=\dfrac{V_e}{I_e}=\dfrac{100}{20}=5\,\Omega=R\).
📌 Since \(Z=\sqrt{R^{2}+(X_L-X_C)^{2}}=R\) we have \(X_L=X_C\), i.e. the circuit is at resonance: the smallest possible impedance and the largest possible current.
\(f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{0.1\times100\times10^{-6}}}=50.3\,Hz\).
✅ the circuit is at resonance (\(X_L=X_C\)) and the resonance frequency is \(f_0=50.3\,Hz\)
\[4\,\star\star\star\star\]
دائرة اهتزاز فيها ملف ومكثف سعته \(C=4\,nF\). شُحن المكثف ثم ترك التيار يهتز، ورُسمت العلاقة بين شحنة المكثف والزمن، وبين التيار والزمن (الشكل). (أ) احسب معامل الحث الذاتي للملف. (ب) احسب الزمن الدوري. (ج) ارسم على الشبكة المرفقة العلاقة بين الطاقة الكهربائية في المكثف والزمن.An oscillation circuit contains a coil and a capacitor of capacitance \(C=4\,nF\). The capacitor is charged and the current is left to oscillate, and the graphs of the charge of the capacitor against time and of the current against time were drawn (figure). (a) Find the self-inductance of the coil. (b) Find the period. (c) Draw on the attached grid the electrical energy in the capacitor against time.
.....................................................................
الحلSolution
📌 من الرسمين: \(Q_{max}=4\,\mu C\) و\(I_{max}=2\,A\). الطاقة الكهربائية العظمى \(U_E=\dfrac{Q_{max}^{2}}{2C}=\dfrac{(4\times10^{-6})^{2}}{2\times4\times10^{-9}}=2\times10^{-3}\,J=2\,mJ\).
📌 (أ) حفظ الطاقة: \(\dfrac{1}{2}LI_{max}^{2}=\dfrac{Q_{max}^{2}}{2C}\) فيكون \(L=\dfrac{Q_{max}^{2}}{C\,I_{max}^{2}}=\dfrac{16\times10^{-12}}{4\times10^{-9}\times4}=1\times10^{-3}\,H=1\,mH\).
📌 (ب) \(T=2\pi\sqrt{LC}=2\pi\sqrt{10^{-3}\times4\times10^{-9}}=12.6\,\mu s\) (وهو الزمن الظاهر في الرسمين).
📌 (ج) \(U_E=2\cos^{2}(\omega t)\ mJ\): تبدأ من \(2\,mJ\) (المكثف مشحون) وتنعدم عند \(T/4\) ثم تعود إلى \(2\,mJ\) عند \(T/2\)، فزمنها الدوري \(T/2=6.3\,\mu s\) (الرسم الأحمر).
✅ \(L=1\,mH,\ T=12.6\,\mu s\) والطاقة الكهربائية جيبية مربعة بين \(0\) و\(2\,mJ\)
📌 From the graphs: \(Q_{max}=4\,\mu C\) and \(I_{max}=2\,A\). The greatest electrical energy is \(U_E=\dfrac{Q_{max}^{2}}{2C}=\dfrac{(4\times10^{-6})^{2}}{2\times4\times10^{-9}}=2\times10^{-3}\,J=2\,mJ\).
📌 (a) Energy conservation: \(\dfrac{1}{2}LI_{max}^{2}=\dfrac{Q_{max}^{2}}{2C}\) so \(L=\dfrac{Q_{max}^{2}}{C\,I_{max}^{2}}=\dfrac{16\times10^{-12}}{4\times10^{-9}\times4}=1\times10^{-3}\,H=1\,mH\).
📌 (b) \(T=2\pi\sqrt{LC}=2\pi\sqrt{10^{-3}\times4\times10^{-9}}=12.6\,\mu s\) (the time shown in the graphs).
📌 (c) \(U_E=2\cos^{2}(\omega t)\ mJ\): it starts at \(2\,mJ\) (the capacitor is charged), vanishes at \(T/4\) and returns to \(2\,mJ\) at \(T/2\), so its period is \(T/2=6.3\,\mu s\) (the red curve).
✅ \(L=1\,mH,\ T=12.6\,\mu s\) and the electrical energy varies as \(\cos^{2}\) between \(0\) and \(2\,mJ\)
لاحظت خطأ؟ أو عندك سؤال عن أحد الأسئلة؟ اكتبه بالتعليقات وحدد رقم السؤال بالضبط.
Noticed an error? Or have a question about one of the questions? Write it in the comments and specify the exact question number.