🪐 بنك الأسئلة: التجاذب الكتلي والجاذبية
🪐 Question Bank: Mass Attraction and Gravity
قوانين كبلر، قانون الجذب العام، شدة مجال الجاذبية، السرعة المدارية والزمن الدوري للأقمار الصناعية، وكتلة الكوكب
Kepler’s Laws, the Law of Universal Gravitation, Gravitational Field Strength, Orbital Speed and Period of Satellites, and Planetary Mass
⏱️ 20 سؤال اختيار من متعدد بتصحيح فوري، و4 مسائل محلولة بالكامل⏱️ 20 multiple-choice questions with instant feedback, plus 4 fully-solved problems
\[1\,\star\]
أحد الإجابات التالية لا تعبّر عن قوانين كبلر:Which of the following is NOT one of Kepler’s laws?
قوة التجاذب بين كوكبين تتناسب عكسيًا مع مربع البعد بين الكوكبينThe attractive force between two planets is inversely proportional to the square of the distance between them
مربع الزمن الدوري لكوكب حول الشمس يتناسب طرديًا مع مكعب البعدThe square of a planet’s orbital period is directly proportional to the cube of its distance
الكواكب تدور حول الشمس في مدار إهليلجيPlanets move around the Sun in elliptical orbits
كلما اقترب الكوكب من الشمس تزداد سرعته المداريةThe closer a planet is to the Sun, the greater its orbital speed
الحلSolution
📌 قوانين كبلر الثلاثة: (1) المدارات إهليلجية والشمس في إحدى البؤرتين، (2) الخط الواصل بين الكوكب والشمس يمسح مساحات متساوية في أزمنة متساوية (فيزداد السرعة قرب الشمس)، (3) \(T^2\propto r^3\).
📌 أما قوة التجاذب العكسية مع مربع البعد فهي قانون نيوتن للجذب العام وليست من قوانين كبلر.
✅ قوة التجاذب بين كوكبين تتناسب عكسيًا مع مربع البعد بين الكوكبين (A)
📌 Kepler’s three laws: (1) orbits are ellipses with the Sun at one focus, (2) the line joining a planet to the Sun sweeps equal areas in equal times (so the planet is faster near the Sun), (3) \(T^2\propto r^3\).
📌 The inverse-square force is Newton’s law of universal gravitation, not one of Kepler’s laws.
✅ The attractive force between two planets is inversely proportional to the square of the distance between them (A)
\[2\,\star\]
أي من القوانين التالية يُعرف بقانون المناطق المتساوية؟Which law is known as the law of equal areas?
قانون كبلر الأولKepler’s first law
قانون كبلر الثالثKepler’s third law
قانون كبلر الثانيKepler’s second law
ليس من قوانين كبلرIt is not one of Kepler’s laws
الحلSolution
📌 ينص قانون كبلر الثاني على أن الخط الوهمي الواصل بين الكوكب والشمس يمسح مساحات متساوية خلال فترات زمنية متساوية، ولذلك يُسمى قانون المناطق المتساوية (وهو نتيجة حفظ الزخم الزاوي).
✅ قانون كبلر الثاني (C)
📌 Kepler’s second law states that the imaginary line from a planet to the Sun sweeps out equal areas in equal times, hence the name “law of equal areas” (a consequence of conservation of angular momentum).
✅ Kepler’s second law (C)
\[3\,\star\star\]
كوكب المريخ يدور حول الشمس وزمنه الدوري يعادل 687 يومًا. فإن نصف قطر مداره بدلالة نصف قطر مدار الأرض \(r\) يعادل:Mars orbits the Sun with a period of 687 days. Its orbital radius in terms of the Earth’s orbital radius \(r\) is:
\(r_1=4.5\,r\)\(r_1=4.5\,r\)
\(r_1=1.5\,r\)\(r_1=1.5\,r\)
\(r_1=2.5\,r\)\(r_1=2.5\,r\)
\(r_1=3.5\,r\)\(r_1=3.5\,r\)
الحلSolution
📌 زمن الأرض الدوري \(T_e=365\,days\). من قانون كبلر الثالث: \(\left(\dfrac{r_1}{r}\right)^3=\left(\dfrac{T_1}{T_e}\right)^2\).
📌 \(\dfrac{r_1}{r}=\left(\dfrac{687}{365}\right)^{2/3}=(1.882)^{0.667}\approx1.5\).
✅ \(r_1=1.5\,r\) (B)
📌 Earth’s period is \(T_e=365\,days\). By Kepler’s third law: \(\left(\dfrac{r_1}{r}\right)^3=\left(\dfrac{T_1}{T_e}\right)^2\).
📌 \(\dfrac{r_1}{r}=\left(\dfrac{687}{365}\right)^{2/3}=(1.882)^{0.667}\approx1.5\).
✅ \(r_1=1.5\,r\) (B)
\[4\,\star\star\]
كوكب يدور حول الشمس في مدار متوسط نصف قطره يعادل 7.5 أضعاف متوسط نصف قطر مدار الأرض، فإن الزمن الدوري بالسنوات لدوران الكوكب حول الشمس يعادل:A planet orbits the Sun at a mean radius equal to 7.5 times that of the Earth’s orbit. Its orbital period in years is:
\(T=12.8\,years\)\(T=12.8\,years\)
\(T=15.3\,years\)\(T=15.3\,years\)
\(T=18.4\,years\)\(T=18.4\,years\)
\(T=20.5\,years\)\(T=20.5\,years\)
الحلSolution
📌 بوحدات السنة والوحدة الفلكية \(T^2=r^3\) للأرض والكواكب الأخرى (نسبة).
📌 \(T=(7.5)^{3/2}=7.5\sqrt{7.5}\approx20.5\,years\).
✅ \(T=20.5\,years\) (D)
📌 In years and astronomical units, \(T^2=r^3\) (the ratio form of Kepler’s third law with Earth as reference).
📌 \(T=(7.5)^{3/2}=7.5\sqrt{7.5}\approx20.5\,years\).
✅ \(T=20.5\,years\) (D)
\[5\,\star\]
وفقًا لقانون كبلر الثالث، حيث زمن دوران الكوكب حول الشمس \(T\) وبعد الكوكب عن الشمس \(r\)، فإن أحد الإجابات التالية صحيح:According to Kepler’s third law, where \(T\) is a planet’s period and \(r\) its distance from the Sun, which one is correct?
\(T\propto r\)\(T\propto r\)
\(T^3\propto r^2\)\(T^3\propto r^2\)
\(T^2\propto r^3\)\(T^2\propto r^3\)
\(T^2\propto r^{-1/3}\)\(T^2\propto r^{-1/3}\)
الحلSolution
📌 ينص قانون كبلر الثالث على أن مربع الزمن الدوري يتناسب طرديًا مع مكعب متوسط البعد عن الشمس: \(T^2=\dfrac{4\pi^2}{GM}r^3\).
✅ \(T^2\propto r^3\) (C)
📌 Kepler’s third law: the square of the period is proportional to the cube of the mean distance from the Sun: \(T^2=\dfrac{4\pi^2}{GM}r^3\).
✅ \(T^2\propto r^3\) (C)
\[6\,\star\]
بأي عامل تزداد قوة التجاذب الكتلي بين جسمين إذا زاد مقدار كل من الكتلتين إلى الضعف مع بقاء البعد بينهما ثابتًا؟By what factor does the gravitational force between two bodies increase if each mass is doubled while the distance between them stays the same?
\(F_2=4F\)\(F_2=4F\)
\(F_2=2F\)\(F_2=2F\)
\(F_2=5F\)\(F_2=5F\)
\(F_2=6F\)\(F_2=6F\)
الحلSolution
📌 \(F=\dfrac{Gm_1m_2}{r^2}\)، وعند مضاعفة الكتلتين: \(F_2=\dfrac{G(2m_1)(2m_2)}{r^2}=4F\).
✅ \(F_2=4F\) (A)
📌 \(F=\dfrac{Gm_1m_2}{r^2}\); doubling both masses: \(F_2=\dfrac{G(2m_1)(2m_2)}{r^2}=4F\).
✅ \(F_2=4F\) (A)
\[7\,\star\]
بأي عامل تتغير قوة التجاذب الكتلي بين جسمين إذا زاد مقدار البعد بينهما إلى الضعف مع بقاء كل من الكتلتين ثابتة؟By what factor does the gravitational force between two bodies change if the distance between them is doubled while both masses stay the same?
\(F_2=F/8\)\(F_2=F/8\)
\(F_2=F/6\)\(F_2=F/6\)
\(F_2=F/2\)\(F_2=F/2\)
\(F_2=F/4\)\(F_2=F/4\)
الحلSolution
📌 القوة تتناسب عكسيًا مع مربع البعد: \(F_2=\dfrac{Gm_1m_2}{(2r)^2}=\dfrac{F}{4}\).
✅ \(F_2=F/4\) (D)
📌 The force is inversely proportional to the square of the distance: \(F_2=\dfrac{Gm_1m_2}{(2r)^2}=\dfrac{F}{4}\).
✅ \(F_2=F/4\) (D)
\[8\,\star\star\]
إذا كانت قوة التجاذب الكتلي بين جسمين \(4\,N\)، فبأي قيمة تتغير قوة التجاذب إذا زادت كتلة أحد الجسمين إلى الضعف وقل البعد بينهما إلى النصف؟If the gravitational force between two bodies is \(4\,N\), what does it become if the mass of one body is doubled and the distance between them is halved?
\(F_g=16\,N\)\(F_g=16\,N\)
\(F_g=32\,N\)\(F_g=32\,N\)
\(F_g=0.5\,N\)\(F_g=0.5\,N\)
\(F_g=1\,N\)\(F_g=1\,N\)
الحلSolution
📌 مضاعفة إحدى الكتلتين تضاعف القوة: ×2. وتصغير البعد إلى النصف يضاعفها أربع مرات: ×4 (لأن \(F\propto1/r^2\)).
📌 \(F_g=4\times2\times4=32\,N\).
✅ \(F_g=32\,N\) (B)
📌 Doubling one mass doubles the force: ×2. Halving the distance multiplies it by 4: ×4 (since \(F\propto1/r^2\)).
📌 \(F_g=4\times2\times4=32\,N\).
✅ \(F_g=32\,N\) (B)
\[9\,\star\]
صخرتان كتلة كل منهما \(M_1=50\,kg\) و \(M_2=160\,kg\) والمسافة بين مركزيهما \(r=0.7\,m\)، فإن قوة التجاذب الكتلي بين الجسمين تعادل (\(G=6.67\times10^{-11}\,N\cdot m^2/kg^2\)):Two rocks have masses \(M_1=50\,kg\) and \(M_2=160\,kg\), and the distance between their centers is \(r=0.7\,m\). The gravitational force between them is (\(G=6.67\times10^{-11}\,N\cdot m^2/kg^2\)):
\(F_g=5.4\times10^{-6}\,N\)\(F_g=5.4\times10^{-6}\,N\)
\(F_g=2.5\times10^{-6}\,N\)\(F_g=2.5\times10^{-6}\,N\)
\(F_g=1.1\times10^{-6}\,N\)\(F_g=1.1\times10^{-6}\,N\)
\(F_g=3.6\times10^{-6}\,N\)\(F_g=3.6\times10^{-6}\,N\)
الحلSolution
📌 \(F_g=\dfrac{GM_1M_2}{r^2}=\dfrac{6.67\times10^{-11}\times50\times160}{(0.7)^2}\).
📌 \(F_g=\dfrac{5.336\times10^{-7}}{0.49}\approx1.1\times10^{-6}\,N\).
✅ \(F_g=1.1\times10^{-6}\,N\) (C)
📌 \(F_g=\dfrac{GM_1M_2}{r^2}=\dfrac{6.67\times10^{-11}\times50\times160}{(0.7)^2}\).
📌 \(F_g=\dfrac{5.336\times10^{-7}}{0.49}\approx1.1\times10^{-6}\,N\).
✅ \(F_g=1.1\times10^{-6}\,N\) (C)
\[10\,\star\]
من العوامل المؤثرة على قوة التجاذب الكتلي بين جسمين:Which of the following affect the gravitational force between two bodies?
كتلة الجسمين والبعد بين مركزي الجسمينThe masses of the bodies and the distance between their centers
كتلة الجسمين وكثافة الجسمينThe masses of the bodies and their densities
وزن الجسمين وحجم الجسمينThe weights of the bodies and their volumes
حجم الجسمين والبعد بين مركزي الجسمينThe volumes of the bodies and the distance between their centers
الحلSolution
📌 \(F=\dfrac{Gm_1m_2}{r^2}\): تعتمد القوة على كتلتي الجسمين والبعد بين مركزيهما، ولا تعتمد على كثافتهما أو حجمهما مباشرة.
✅ كتلة الجسمين والبعد بين مركزي الجسمين (A)
📌 \(F=\dfrac{Gm_1m_2}{r^2}\): the force depends on the two masses and the distance between their centers, not directly on their densities or volumes.
✅ The masses of the bodies and the distance between their centers (A)
\[11\,\star\star\]
كوكبان متساويان في الكتلة والبعد بين مركزيهما \(5\times10^4\,m\)، وقد حُسبت قوة التجاذب الكتلي بينهما فكانت \(0.6\,N\)، فإن كتلة كل كوكب تعادل (\(G=6.67\times10^{-11}\,N\cdot m^2/kg^2\)):Two planets of equal mass are \(5\times10^4\,m\) apart between their centers. The gravitational force between them is calculated to be \(0.6\,N\). The mass of each planet is (\(G=6.67\times10^{-11}\,N\cdot m^2/kg^2\)):
\(M=7.41\times10^{10}\,kg\)\(M=7.41\times10^{10}\,kg\)
\(M=4.56\times10^{10}\,kg\)\(M=4.56\times10^{10}\,kg\)
\(M=6.78\times10^{9}\,kg\)\(M=6.78\times10^{9}\,kg\)
\(M=4.75\times10^{9}\,kg\)\(M=4.75\times10^{9}\,kg\)
الحلSolution
📌 \(F=\dfrac{GM^2}{r^2}\Rightarrow M=r\sqrt{\dfrac{F}{G}}\).
📌 \(M=5\times10^4\sqrt{\dfrac{0.6}{6.67\times10^{-11}}}=5\times10^4\times9.485\times10^{4}\approx4.75\times10^{9}\,kg\).
✅ \(M=4.75\times10^{9}\,kg\) (D)
📌 \(F=\dfrac{GM^2}{r^2}\Rightarrow M=r\sqrt{\dfrac{F}{G}}\).
📌 \(M=5\times10^4\sqrt{\dfrac{0.6}{6.67\times10^{-11}}}=5\times10^4\times9.485\times10^{4}\approx4.75\times10^{9}\,kg\).
✅ \(M=4.75\times10^{9}\,kg\) (D)
\[12\,\star\]
السرعة المدارية لأحد الأقمار الصناعية التالية هي الأكبر:Which of the following satellites has the greatest orbital speed?
قمر ريوا يدور على ارتفاع 36000 كيلومترThe Riwa satellite orbiting at an altitude of 36000 km
قمر دبي سات يدور على ارتفاع 150 كيلومترًاDubaiSat orbiting at an altitude of 150 km
خليفة سات يدور على ارتفاع 2000 كيلومترKhalifaSat orbiting at an altitude of 2000 km
قمر عرب سات يدور على ارتفاع 2500 كيلومترArabsat orbiting at an altitude of 2500 km
الحلSolution
📌 السرعة المدارية \(v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}\) تقل كلما زاد نصف قطر المدار (الارتفاع).
📌 أقل ارتفاع هو 150 كم، فالقمر دبي سات هو الأسرع.
✅ قمر دبي سات يدور على ارتفاع 150 كيلومترًا (B)
📌 Orbital speed \(v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}\) decreases as the orbital radius (altitude) increases.
📌 The lowest altitude is 150 km, so DubaiSat is the fastest.
✅ DubaiSat orbiting at an altitude of 150 km (B)
\[13\,\star\star\]
قمر صناعي يدور حول الأرض على ارتفاع قدره \(2000\,km\) من سطح الأرض. علمًا بأن كتلة الأرض \(M_e=5.97\times10^{24}\,kg\) ونصف قطرها \(R=6.38\times10^6\,m\)، فإن الزمن الدوري للقمر الصناعي يعادل (\(G=6.67\times10^{-11}\,N\cdot m^2/kg^2\)):A satellite orbits the Earth at an altitude of \(2000\,km\) above the surface. Given Earth’s mass \(M_e=5.97\times10^{24}\,kg\) and radius \(R=6.38\times10^6\,m\), the satellite’s orbital period is (\(G=6.67\times10^{-11}\,N\cdot m^2/kg^2\)):
\(T=7638\,s\)\(T=7638\,s\)
\(T=8975\,s\)\(T=8975\,s\)
\(T=6457\,s\)\(T=6457\,s\)
\(T=9565\,s\)\(T=9565\,s\)
الحلSolution
📌 نصف قطر المدار: \(r=R+h=6.38\times10^6+2\times10^6=8.38\times10^6\,m\).
📌 \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM_e}}=2\pi\sqrt{\dfrac{(8.38\times10^6)^3}{6.67\times10^{-11}\times5.97\times10^{24}}}\).
📌 \(T=2\pi\sqrt{1.478\times10^{6}}\approx7638\,s\).
✅ \(T=7638\,s\) (A)
📌 Orbital radius: \(r=R+h=6.38\times10^6+2\times10^6=8.38\times10^6\,m\).
📌 \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM_e}}=2\pi\sqrt{\dfrac{(8.38\times10^6)^3}{6.67\times10^{-11}\times5.97\times10^{24}}}\).
📌 \(T=2\pi\sqrt{1.478\times10^{6}}\approx7638\,s\).
✅ \(T=7638\,s\) (A)
\[14\,\star\star\]
قمر صناعي يدور حول الأرض على ارتفاع قدره \(2000\,km\) من سطح الأرض. علمًا بأن \(M=5.97\times10^{24}\,kg\) و \(R=6.38\times10^6\,m\)، فإن السرعة المدارية للقمر الصناعي تعادل (\(G=6.67\times10^{-11}\,N\cdot m^2/kg^2\)):A satellite orbits the Earth at an altitude of \(2000\,km\) above the surface. Given \(M=5.97\times10^{24}\,kg\) and \(R=6.38\times10^6\,m\), its orbital speed is (\(G=6.67\times10^{-11}\,N\cdot m^2/kg^2\)):
\(v=8763\,m/s\)\(v=8763\,m/s\)
\(v=4532\,m/s\)\(v=4532\,m/s\)
\(v=5984\,m/s\)\(v=5984\,m/s\)
\(v=6893\,m/s\)\(v=6893\,m/s\)
الحلSolution
📌 \(r=R+h=8.38\times10^6\,m\).
📌 \(v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}=\sqrt{\dfrac{6.67\times10^{-11}\times5.97\times10^{24}}{8.38\times10^6}}\approx6893\,m/s\).
✅ \(v=6893\,m/s\) (D)
📌 \(r=R+h=8.38\times10^6\,m\).
📌 \(v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}=\sqrt{\dfrac{6.67\times10^{-11}\times5.97\times10^{24}}{8.38\times10^6}}\approx6893\,m/s\).
✅ \(v=6893\,m/s\) (D)
\[15\,\star\]
قمر صناعي زمنه الدوري \(1.8\times10^{5}\,s\) يدور حول كوكب كتلته تقريبًا \(6\times10^{24}\,kg\)، فإن نصف قطر مدار القمر الصناعي يعادل (\(G=6.67\times10^{-11}\,N\cdot m^2/kg^2\)):A satellite with period \(1.8\times10^{5}\,s\) orbits a planet of mass about \(6\times10^{24}\,kg\). The radius of its orbit is (\(G=6.67\times10^{-11}\,N\cdot m^2/kg^2\)):
\(r=8.5\times10^{7}\,m\)\(r=8.5\times10^{7}\,m\)
\(r=4.2\times10^{7}\,m\)\(r=4.2\times10^{7}\,m\)
\(r=6.9\times10^{7}\,m\)\(r=6.9\times10^{7}\,m\)
\(r=9.2\times10^{7}\,m\)\(r=9.2\times10^{7}\,m\)
الحلSolution
📌 \(T^2=\dfrac{4\pi^2}{GM}r^3\Rightarrow r=\left(\dfrac{GMT^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}\).
📌 \(r^3=\dfrac{6.67\times10^{-11}\times6\times10^{24}\times(1.8\times10^5)^2}{4\pi^2}\approx3.28\times10^{23}\) ⇒ \(r\approx6.9\times10^{7}\,m\).
✅ \(r=6.9\times10^{7}\,m\) (C)
📌 \(T^2=\dfrac{4\pi^2}{GM}r^3\Rightarrow r=\left(\dfrac{GMT^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}\).
📌 \(r^3=\dfrac{6.67\times10^{-11}\times6\times10^{24}\times(1.8\times10^5)^2}{4\pi^2}\approx3.28\times10^{23}\) ⇒ \(r\approx6.9\times10^{7}\,m\).
✅ \(r=6.9\times10^{7}\,m\) (C)
\[16\,\star\]
قمر صناعي نصف قطر مداره \(6.95\times10^{7}\,m\) وسرعته المدارية \(2.4\times10^{3}\,m/s\)، فإن القمر يدور حول كوكب كتلته تعادل (\(G=6.67\times10^{-11}\,N\cdot m^2/kg^2\)):A satellite has an orbital radius of \(6.95\times10^{7}\,m\) and an orbital speed of \(2.4\times10^{3}\,m/s\). The mass of the planet it orbits is (\(G=6.67\times10^{-11}\,N\cdot m^2/kg^2\)):
\(M=5\times10^{24}\,kg\)\(M=5\times10^{24}\,kg\)
\(M=6\times10^{24}\,kg\)\(M=6\times10^{24}\,kg\)
\(M=4\times10^{24}\,kg\)\(M=4\times10^{24}\,kg\)
\(M=3\times10^{24}\,kg\)\(M=3\times10^{24}\,kg\)
الحلSolution
📌 \(v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}\Rightarrow M=\dfrac{v^2r}{G}\).
📌 \(M=\dfrac{(2.4\times10^3)^2\times6.95\times10^7}{6.67\times10^{-11}}\approx6\times10^{24}\,kg\).
✅ \(M=6\times10^{24}\,kg\) (B)
📌 \(v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}\Rightarrow M=\dfrac{v^2r}{G}\).
📌 \(M=\dfrac{(2.4\times10^3)^2\times6.95\times10^7}{6.67\times10^{-11}}\approx6\times10^{24}\,kg\).
✅ \(M=6\times10^{24}\,kg\) (B)
\[17\,\star\]
قمران صناعيان كتلة الأول \(5000\,kg\) وكتلة الثاني \(7000\,kg\) يدور كلاهما حول الأرض على الارتفاع نفسه، فإن أحد الإجابات التالية صحيح:Two satellites of masses \(5000\,kg\) and \(7000\,kg\) orbit the Earth at the same altitude. Which statement is correct?
السرعة المدارية للقمر الأول أكبر من السرعة المدارية للقمر الثانيThe first satellite’s orbital speed is greater than the second’s
الزمن الدوري للقمر الأول أكبر من الزمن الدوري للقمر الثانيThe first satellite’s period is greater than the second’s
السرعة المدارية للقمر الأول تساوي السرعة المدارية للقمر الثانيThe orbital speeds of the two satellites are equal
السرعة المدارية للقمر الثاني أكبر من السرعة المدارية للقمر الأولThe second satellite’s orbital speed is greater than the first’s
الحلSolution
📌 \(v=\sqrt{\dfrac{GM_e}{r}}\) و \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM_e}}\) لا تعتمدان على كتلة القمر الصناعي بل على كتلة الأرض ونصف قطر المدار.
📌 لهما الارتفاع نفسه فالسرعة المدارية والزمن الدوري متساويان.
✅ السرعة المدارية للقمر الأول تساوي السرعة المدارية للقمر الثاني (C)
📌 \(v=\sqrt{\dfrac{GM_e}{r}}\) and \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM_e}}\) do not depend on the satellite’s mass, only on the Earth’s mass and the orbital radius.
📌 They orbit at the same altitude, so their speeds and periods are equal.
✅ The orbital speeds of the two satellites are equal (C)
\[18\,\star\star\star\]
شدة مجال الجاذبية على سطح الأرض هي \(g\). كوكب آخر له ضعف نصف قطر الأرض ونفس كثافة الأرض، فإن شدة مجال الجاذبية على سطح هذا الكوكب تعادل (علمًا بأن \(M=\rho V=\rho\tfrac43\pi r^3\)):The gravitational field strength at the Earth’s surface is \(g\). Another planet has twice the Earth’s radius and the same density. The field strength at its surface is (given \(M=\rho V=\rho\tfrac43\pi r^3\)):
\(2g\)\(2g\)
\(g/2\)\(g/2\)
\(4g\)\(4g\)
\(g/4\)\(g/4\)
الحلSolution
📌 \(g=\dfrac{GM}{R^2}=\dfrac{G\rho\tfrac43\pi R^3}{R^2}=\tfrac43\pi G\rho R\)، أي أن \(g\propto R\) عند ثبوت الكثافة.
📌 عند مضاعفة نصف القطر تتضاعف \(g\): \(g_p=2g\).
✅ \(2g\) (A)
📌 \(g=\dfrac{GM}{R^2}=\dfrac{G\rho\tfrac43\pi R^3}{R^2}=\tfrac43\pi G\rho R\), so \(g\propto R\) for constant density.
📌 Doubling the radius doubles \(g\): \(g_p=2g\).
✅ \(2g\) (A)
\[19\,\star\star\star\]
الجاذبية على سطح القمر تعادل سدس الجاذبية على سطح الأرض. فإذا علمت أن كتلة الأرض تعادل 80 ضعف كتلة القمر، فإن نسبة نصف قطر الأرض إلى نصف قطر القمر تعادل:The gravity at the Moon’s surface is one sixth of that at the Earth’s surface. If the Earth’s mass is 80 times the Moon’s mass, the ratio of the Earth’s radius to the Moon’s radius is:
\(6.32\)\(6.32\)
\(3.65\)\(3.65\)
\(5.74\)\(5.74\)
\(4.75\)\(4.75\)
الحلSolution
📌 \(g=\dfrac{GM}{R^2}\Rightarrow\dfrac{g_m}{g_e}=\dfrac{M_m}{M_e}\left(\dfrac{R_e}{R_m}\right)^2=\dfrac16\).
📌 \(\dfrac{1}{80}\left(\dfrac{R_e}{R_m}\right)^2=\dfrac16\Rightarrow\left(\dfrac{R_e}{R_m}\right)^2=\dfrac{80}{6}=13.33\).
📌 \(\dfrac{R_e}{R_m}=\sqrt{13.33}\approx3.65\).
✅ \(3.65\) (B)
📌 \(g=\dfrac{GM}{R^2}\Rightarrow\dfrac{g_m}{g_e}=\dfrac{M_m}{M_e}\left(\dfrac{R_e}{R_m}\right)^2=\dfrac16\).
📌 \(\dfrac{1}{80}\left(\dfrac{R_e}{R_m}\right)^2=\dfrac16\Rightarrow\left(\dfrac{R_e}{R_m}\right)^2=\dfrac{80}{6}=13.33\).
📌 \(\dfrac{R_e}{R_m}=\sqrt{13.33}\approx3.65\).
✅ \(3.65\) (B)
\[20\,\star\]
شدة مجال الجاذبية على سطح الأرض هي \(g=10\,m/s^2\). كوكب آخر كتلته تعادل ضعف كتلة الأرض ونصف قطره يعادل ضعف نصف قطر الأرض، فإن شدة مجال الجاذبية على هذا الكوكب تعادل:The gravitational field strength at the Earth’s surface is \(g=10\,m/s^2\). Another planet has twice the Earth’s mass and twice the Earth’s radius. The field strength on this planet is:
\(g=20\,m/s^2\)\(g=20\,m/s^2\)
\(g=2.5\,m/s^2\)\(g=2.5\,m/s^2\)
\(g=10\,m/s^2\)\(g=10\,m/s^2\)
\(g=5\,m/s^2\)\(g=5\,m/s^2\)
الحلSolution
📌 \(g=\dfrac{GM}{R^2}\Rightarrow\dfrac{g_p}{g_e}=\dfrac{M_p}{M_e}\left(\dfrac{R_e}{R_p}\right)^2=2\times\dfrac14=\dfrac12\).
📌 \(g_p=\tfrac12\times10=5\,m/s^2\).
✅ \(g=5\,m/s^2\) (D)
📌 \(g=\dfrac{GM}{R^2}\Rightarrow\dfrac{g_p}{g_e}=\dfrac{M_p}{M_e}\left(\dfrac{R_e}{R_p}\right)^2=2\times\dfrac14=\dfrac12\).
📌 \(g_p=\tfrac12\times10=5\,m/s^2\).
✅ \(g=5\,m/s^2\) (D)
📝 حل المسائل التالية
📝 Solve the Following Problems
\[1\]
تيتان أكبر أقمار زحل، يبلغ متوسط نصف قطر مداره \(1.22\times10^{9}\,m\) ويحتاج إلى زمن قدره \(15.95\) يومًا ليُكمل دورة كاملة حول زحل. هايبريون قمر آخر من أقمار زحل، متوسط نصف قطر مداره \(1.48\times10^{9}\,m\). استخدم قانون كبلر الثالث للتنبؤ بالفترة المدارية لهايبريون بالأيام.Titan, Saturn’s largest moon, orbits at a mean radius of \(1.22\times10^{9}\,m\) and takes \(15.95\) days to complete one orbit. Hyperion, another moon of Saturn, has a mean orbital radius of \(1.48\times10^{9}\,m\). Use Kepler’s third law to predict Hyperion’s orbital period in days.
.....................................................................
الحلSolution
📌 للقمرين حول الكوكب نفسه: \(\dfrac{T_2^2}{T_1^2}=\dfrac{r_2^3}{r_1^3}\).
📌 \(T_2=T_1\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)^{3/2}=15.95\times\left(\dfrac{1.48\times10^9}{1.22\times10^9}\right)^{3/2}\).
📌 \(T_2=15.95\times(1.213)^{1.5}=15.95\times1.336\approx21.3\,days\).
✅ \(T\approx21.3\,days\)
📌 For two moons of the same planet: \(\dfrac{T_2^2}{T_1^2}=\dfrac{r_2^3}{r_1^3}\).
📌 \(T_2=T_1\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)^{3/2}=15.95\times\left(\dfrac{1.48\times10^9}{1.22\times10^9}\right)^{3/2}\).
📌 \(T_2=15.95\times(1.213)^{1.5}=15.95\times1.336\approx21.3\,days\).
✅ \(T\approx21.3\,days\)
\[2\]
كتلة الأرض \(m_e=5.97\times10^{24}\,kg\) وكتلة القمر \(m_m=7.35\times10^{22}\,kg\)، ومتوسط مسافة القمر عن مركز الأرض \(r=3.84\times10^{8}\,m\). استخدم هذه البيانات لحساب مقدار قوة الجاذبية التي تؤثر بها الأرض على القمر (\(G=6.673\times10^{-11}\,N\cdot m^2/kg^2\)).The Earth’s mass is \(m_e=5.97\times10^{24}\,kg\) and the Moon’s mass is \(m_m=7.35\times10^{22}\,kg\); the mean Earth–Moon distance is \(r=3.84\times10^{8}\,m\). Use these data to calculate the magnitude of the gravitational force the Earth exerts on the Moon (\(G=6.673\times10^{-11}\,N\cdot m^2/kg^2\)).
.....................................................................
الحلSolution
📌 \(F=\dfrac{Gm_em_m}{r^2}\).
📌 \(F=\dfrac{6.673\times10^{-11}\times5.97\times10^{24}\times7.35\times10^{22}}{(3.84\times10^{8})^2}\).
📌 \(F=\dfrac{2.93\times10^{37}}{1.475\times10^{17}}\approx1.99\times10^{20}\,N\).
✅ \(F\approx1.99\times10^{20}\,N\)
📌 \(F=\dfrac{Gm_em_m}{r^2}\).
📌 \(F=\dfrac{6.673\times10^{-11}\times5.97\times10^{24}\times7.35\times10^{22}}{(3.84\times10^{8})^2}\).
📌 \(F=\dfrac{2.93\times10^{37}}{1.475\times10^{17}}\approx1.99\times10^{20}\,N\).
✅ \(F\approx1.99\times10^{20}\,N\)
\[3\]
يدور كوكب عطارد حول الشمس بمتوسط نصف قطر مداري \(r=5.8\times10^{10}\,m\) وكتلة الشمس \(M_S=1.99\times10^{30}\,kg\). احسب المدة التي يستغرقها عطارد للدوران حول الشمس بأيام الأرض (\(G=6.673\times10^{-11}\,N\cdot m^2/kg^2\)).Mercury orbits the Sun with a mean orbital radius \(r=5.8\times10^{10}\,m\); the Sun’s mass is \(M_S=1.99\times10^{30}\,kg\). Calculate the time Mercury takes to orbit the Sun, in Earth days (\(G=6.673\times10^{-11}\,N\cdot m^2/kg^2\)).
.....................................................................
الحلSolution
📌 \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM_S}}\).
📌 \(r^3=(5.8\times10^{10})^3=1.95\times10^{32}\) و \(GM_S=6.673\times10^{-11}\times1.99\times10^{30}=1.328\times10^{20}\).
📌 \(T=2\pi\sqrt{1.469\times10^{12}}=2\pi\times1.212\times10^{6}\approx7.62\times10^{6}\,s\).
📌 \(T=\dfrac{7.62\times10^{6}}{86400}\approx88\,days\).
✅ \(T\approx88\,days\)
📌 \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM_S}}\).
📌 \(r^3=(5.8\times10^{10})^3=1.95\times10^{32}\) and \(GM_S=6.673\times10^{-11}\times1.99\times10^{30}=1.328\times10^{20}\).
📌 \(T=2\pi\sqrt{1.469\times10^{12}}=2\pi\times1.212\times10^{6}\approx7.62\times10^{6}\,s\).
📌 \(T=\dfrac{7.62\times10^{6}}{86400}\approx88\,days\).
✅ \(T\approx88\,days\)
\[4\]
متوسط المسافة من زحل إلى الشمس أكبر بـ 9 مرات من متوسط المسافة من الأرض إلى الشمس. (أ) ما مدة سنة زحل تقريبًا؟ (ب) تدور الأرض حول الشمس بسرعة مدارية \(v_e=29722.2\,m/s\)، احسب السرعة المدارية لزحل.The mean distance from Saturn to the Sun is 9 times the mean distance from the Earth to the Sun. (a) About how long is a Saturn year? (b) The Earth orbits the Sun at \(v_e=29722.2\,m/s\); find Saturn’s orbital speed.
.....................................................................
الحلSolution
📌 (أ) \(T^2\propto r^3\Rightarrow\dfrac{T_s}{T_e}=\left(\dfrac{r_s}{r_e}\right)^{3/2}=9^{3/2}=27\)، فسنة زحل نحو \(27\) سنة أرضية.
📌 (ب) السرعة المدارية \(v=\sqrt{\dfrac{GM_S}{r}}\propto\dfrac{1}{\sqrt r}\).
📌 \(v_s=\dfrac{v_e}{\sqrt9}=\dfrac{29722.2}{3}\approx9907\,m/s\).
✅ (أ) \(T\approx27\,years\) (ب) \(v\approx9907\,m/s\)
📌 (a) \(T^2\propto r^3\Rightarrow\dfrac{T_s}{T_e}=\left(\dfrac{r_s}{r_e}\right)^{3/2}=9^{3/2}=27\), so a Saturn year is about \(27\) Earth years.
📌 (b) Orbital speed \(v=\sqrt{\dfrac{GM_S}{r}}\propto\dfrac{1}{\sqrt r}\).
📌 \(v_s=\dfrac{v_e}{\sqrt9}=\dfrac{29722.2}{3}\approx9907\,m/s\).
✅ (a) \(T\approx27\,years\) (b) \(v\approx9907\,m/s\)
لاحظت خطأ؟ أو عندك سؤال عن أحد الأسئلة؟ اكتبه بالتعليقات وحدد رقم السؤال بالضبط.
Noticed an error? Or have a question about one of the questions? Write it in the comments and specify the exact question number.