Fislab
الرئيسية / الدروس / بنك أسئلة الاهتزازات الجيبية الدورانية — نواس الفتل الغير متخامد

🌀 بنك أسئلة — الاهتزازات الجيبية الدورانية (نواس الفتل الغير متخامد)

Rotational Sinusoidal Oscillations — Undamped Torsion Pendulum — Question Bank
📚 20 سؤالاً + 5 مسائل ⏱️ 30 دقيقة 📂 الميكانيكا
للتواصل: 00971504825082

راجع درس الاهتزازات الجيبية الدورانية — نواس الفتل الغير متخامد أولًا إذا احتجت شرح النظرية والمحاكيات التفاعلية، ثم اختبر فهمك هنا.

Review the Torsion Pendulum lesson first if you need the theory and interactive simulations, then test your understanding here.

🌀 اختبار نواس الفتل🌀 Torsion Pendulum Quiz

20 سؤالاً متدرّجة الصعوبة — عزم الإرجاع، الدور الخاص، عزم العطالة، الطاقة، والرنين والحركة المخمّدة20 questions of increasing difficulty — restoring torque, natural period, moment of inertia, energy, resonance, and damped motion

✍️ مسائل عملية (غير مُقيَّمة)✍️ Practice Problems (Not Graded)

5 مسائل محلولة بالتفصيل — اضغط "إظهار الحل" لكل مسألة على حدة5 fully-worked problems — click "Show Solution" for each one individually

المسألة الأولىProblem One

نواس فتل من سلك طوله \(l=1.2\;m\) ونصف قطره \(r=0.5\;mm\)، معلّق منه قرص كتلته \(M=0.8\;kg\) ونصف قطره \(R=15\;cm\). معامل قص مادة السلك \(G=8\times10^{10}\;N/m^2\).

A torsion pendulum uses a wire of length \(l=1.2\;m\) and radius \(r=0.5\;mm\), carrying a disk of mass \(M=0.8\;kg\) and radius \(R=15\;cm\). The wire material’s shear modulus is \(G=8\times10^{10}\;N/m^2\).

المطلوب:Required:

  1. احسب ثابت فتل السلك.
  2. Find the wire’s torsion constant.
  3. احسب عزم عطالة القرص.
  4. Find the disk’s moment of inertia.
  5. احسب الدور الخاص للنواس.
  6. Find the pendulum’s natural period.
  7. إذا أُزيح القرص بزاوية \(0.6\;rad\) وتُرك يتحرك، فاحسب أقصى سرعة زاوية له.
  8. If the disk is displaced by \(0.6\;rad\) and released, find its maximum angular velocity.

حل المسألة الأولىSolution to Problem One

1) ثابت الفتل:
\(\kappa=\dfrac{\pi G r^4}{2l}=\dfrac{\pi\times8\times10^{10}\times(0.5\times10^{-3})^4}{2\times1.2}=\dfrac{\pi\times8\times10^{10}\times6.25\times10^{-14}}{2.4}\approx6.54\times10^{-3}\;N.m/rad\)
2) عزم عطالة القرص:
\(I=\tfrac12MR^2=\tfrac12\times0.8\times(0.15)^2=0.009\;kg.m^2\)
3) الدور الخاص:
\(\omega=\sqrt{\kappa/I}=\sqrt{6.54\times10^{-3}/0.009}\approx0.852\;rad/s\)
\(T=2\pi/\omega\approx7.37\;s\)
4) أقصى سرعة زاوية:
\(\omega_{max}=\theta_{max}\times\omega=0.6\times0.852\approx0.511\;rad/s\)
1) Torsion constant:
\(\kappa=\dfrac{\pi G r^4}{2l}=\dfrac{\pi\times8\times10^{10}\times(0.5\times10^{-3})^4}{2\times1.2}=\dfrac{\pi\times8\times10^{10}\times6.25\times10^{-14}}{2.4}\approx6.54\times10^{-3}\;N.m/rad\)
2) Disk’s moment of inertia:
\(I=\tfrac12MR^2=\tfrac12\times0.8\times(0.15)^2=0.009\;kg.m^2\)
3) Natural period:
\(\omega=\sqrt{\kappa/I}=\sqrt{6.54\times10^{-3}/0.009}\approx0.852\;rad/s\)
\(T=2\pi/\omega\approx7.37\;s\)
4) Maximum angular velocity:
\(\omega_{max}=\theta_{max}\times\omega=0.6\times0.852\approx0.511\;rad/s\)

المسألة الثانيةProblem Two

ساق طولها \(60\;cm\) وكتلتها \(200\;g\)، ثُبّتت في كل من طرفيها كتلة نقطية مقدارها \(150\;g\). عُلّقت الساق من منتصفها بسلك فتل طوله \(80\;cm\) وثابت فتله \(0.02\;N.m/rad\).

A rod of length \(60\;cm\) and mass \(200\;g\) has a point mass of \(150\;g\) fixed at each end. It is hung from its midpoint by a torsion wire of length \(80\;cm\) and torsion constant \(0.02\;N.m/rad\).

المطلوب:Required:

  1. احسب عزم عطالة الجملة.
  2. Find the moment of inertia of the system.
  3. احسب التردد الزاوي للحركة.
  4. Find the angular frequency of the motion.
  5. اكتب معادلة الحركة إذا بدأت الحركة من السكون عند زاوية 45°.
  6. Write the equation of motion if it starts from rest at a 45° angle.
  7. احسب الطاقة الكلية للنظام.
  8. Find the total energy of the system.

حل المسألة الثانيةSolution to Problem Two

1) عزم عطالة الجملة:

عزم عطالة الساق (حول مركزها): \(I_{rod}=\tfrac{1}{12}ML^2=\tfrac{1}{12}\times0.2\times(0.6)^2=0.006\;kg.m^2\)

عزم عطالة الكتلتين: \(I_{masses}=2\times m\times(L/2)^2=2\times0.15\times(0.3)^2=0.027\;kg.m^2\)

\(I_{total}=0.006+0.027=0.033\;kg.m^2\)
2) التردد الزاوي:
\(\omega=\sqrt{\kappa/I}=\sqrt{0.02/0.033}\approx0.778\;rad/s\)
3) معادلة الحركة:
\(\theta_{max}=45^\circ=\pi/4\approx0.785\;rad\)
\(\theta(t)=0.785\cos(0.778\,t)\;rad\)
4) الطاقة الكلية:
\(E=\tfrac12\kappa\theta_{max}^2=\tfrac12\times0.02\times(0.785)^2\approx0.00616\;J\)
1) Moment of inertia of the system:

Moment of inertia of the rod (about its center): \(I_{rod}=\tfrac{1}{12}ML^2=\tfrac{1}{12}\times0.2\times(0.6)^2=0.006\;kg.m^2\)

Moment of inertia of the two masses: \(I_{masses}=2\times m\times(L/2)^2=2\times0.15\times(0.3)^2=0.027\;kg.m^2\)

\(I_{total}=0.006+0.027=0.033\;kg.m^2\)
2) Angular frequency:
\(\omega=\sqrt{\kappa/I}=\sqrt{0.02/0.033}\approx0.778\;rad/s\)
3) Equation of motion:
\(\theta_{max}=45^\circ=\pi/4\approx0.785\;rad\)
\(\theta(t)=0.785\cos(0.778\,t)\;rad\)
4) Total energy:
\(E=\tfrac12\kappa\theta_{max}^2=\tfrac12\times0.02\times(0.785)^2\approx0.00616\;J\)

المسألة الثالثةProblem Three

نواس فتل مكوَّن من قرصين متحدي المركز: الداخلي نصف قطره \(10\;cm\) وكتلته \(0.5\;kg\)، والخارجي نصف قطره \(20\;cm\) وكتلته \(1\;kg\). ثابت فتل السلك \(0.015\;N.m/rad\).

A torsion pendulum consists of two concentric disks: an inner one of radius \(10\;cm\) and mass \(0.5\;kg\), and an outer one of radius \(20\;cm\) and mass \(1\;kg\). The wire’s torsion constant is \(0.015\;N.m/rad\).

المطلوب:Required:

  1. احسب عزم عطالة النظام.
  2. Find the moment of inertia of the system.
  3. إذا اهتز النظام بسعة \(0.4\;rad\)، فاحسب أقصى تسارع زاوي.
  4. If the system oscillates with amplitude \(0.4\;rad\), find the maximum angular acceleration.
  5. احسب الزمن اللازم لانتقال القرص من موضع السعة إلى موضعٍ تتساوى عنده طاقته الحركية مع طاقته الكامنة.
  6. Find the time needed for the disk to move from the amplitude position to a position where its kinetic energy equals its potential energy.
  7. إذا أُضيف قرص ثالث كتلته \(0.3\;kg\) ونصف قطره \(5\;cm\)، فكم يصبح الدور الجديد؟
  8. If a third disk of mass \(0.3\;kg\) and radius \(5\;cm\) is added, what is the new period?

حل المسألة الثالثةSolution to Problem Three

1) عزم عطالة النظام:
\(I_1=\tfrac12m_1r_1^2=\tfrac12\times0.5\times(0.1)^2=0.0025\;kg.m^2\)
\(I_2=\tfrac12m_2r_2^2=\tfrac12\times1\times(0.2)^2=0.02\;kg.m^2\)
\(I_{total}=0.0025+0.02=0.0225\;kg.m^2\)
2) أقصى تسارع زاوي:
\(\omega=\sqrt{\kappa/I}=\sqrt{0.015/0.0225}\approx0.816\;rad/s\)
\(\alpha_{max}=\omega^2\theta_{max}=(0.816)^2\times0.4\approx0.266\;rad/s^2\)
3) الزمن عندما K=U:

عندما \(K=U\) فإن كلًا منهما يساوي نصف الطاقة الكلية: \(U=E/2 \Rightarrow \theta=\theta_{max}/\sqrt2\).

\(\theta_{max}/\sqrt2=\theta_{max}\cos(\omega t) \Rightarrow \cos(\omega t)=1/\sqrt2 \Rightarrow \omega t=\pi/4\)
\(t=\pi/(4\omega)\approx0.962\;s\)
4) بعد إضافة قرص ثالث:
\(I_3=\tfrac12m_3r_3^2=\tfrac12\times0.3\times(0.05)^2=3.75\times10^{-4}\;kg.m^2\)
\(I_{new}=0.0225+0.000375=0.022875\;kg.m^2\)
\(\omega_{new}=\sqrt{\kappa/I_{new}}=\sqrt{0.015/0.022875}\approx0.810\;rad/s\)
\(T_{new}=2\pi/\omega_{new}\approx7.76\;s\)
1) Moment of inertia of the system:
\(I_1=\tfrac12m_1r_1^2=\tfrac12\times0.5\times(0.1)^2=0.0025\;kg.m^2\)
\(I_2=\tfrac12m_2r_2^2=\tfrac12\times1\times(0.2)^2=0.02\;kg.m^2\)
\(I_{total}=0.0025+0.02=0.0225\;kg.m^2\)
2) Maximum angular acceleration:
\(\omega=\sqrt{\kappa/I}=\sqrt{0.015/0.0225}\approx0.816\;rad/s\)
\(\alpha_{max}=\omega^2\theta_{max}=(0.816)^2\times0.4\approx0.266\;rad/s^2\)
3) Time when K=U:

When \(K=U\), each equals half the total energy: \(U=E/2 \Rightarrow \theta=\theta_{max}/\sqrt2\).

\(\theta_{max}/\sqrt2=\theta_{max}\cos(\omega t) \Rightarrow \cos(\omega t)=1/\sqrt2 \Rightarrow \omega t=\pi/4\)
\(t=\pi/(4\omega)\approx0.962\;s\)
4) After adding a third disk:
\(I_3=\tfrac12m_3r_3^2=\tfrac12\times0.3\times(0.05)^2=3.75\times10^{-4}\;kg.m^2\)
\(I_{new}=0.0225+0.000375=0.022875\;kg.m^2\)
\(\omega_{new}=\sqrt{\kappa/I_{new}}=\sqrt{0.015/0.022875}\approx0.810\;rad/s\)
\(T_{new}=2\pi/\omega_{new}\approx7.76\;s\)

المسألة الرابعةProblem Four

نواس فتل يتحرك بحيث تكون سرعته الزاوية \(\omega(t)=-0.5\sin(2t)\;rad/s\).

A torsion pendulum moves such that its angular velocity is \(\omega(t)=-0.5\sin(2t)\;rad/s\).

المطلوب:Required:

  1. استنتج معادلة الإزاحة الزاوية \(\theta(t)\) إذا عُلم أن \(\theta(0)=0.3\;rad\).
  2. Derive the angular displacement equation \(\theta(t)\), given \(\theta(0)=0.3\;rad\).
  3. احسب السعة الزاوية.
  4. Find the angular amplitude.
  5. احسب ثابت الفتل إذا كان عزم العطالة \(0.02\;kg.m^2\).
  6. Find the torsion constant if the moment of inertia is \(0.02\;kg.m^2\).
  7. احسب الزمن الذي تكون عنده الطاقة الحركية أعظمية للمرة الثالثة.
  8. Find the time at which the kinetic energy is maximum for the third time.

حل المسألة الرابعةSolution to Problem Four

1) معادلة الإزاحة الزاوية:
\(\theta(t)=\int\omega(t)\,dt=0.25\cos(2t)+C\)
\(\theta(0)=0.25+C=0.3 \Rightarrow C=0.05\)
\(\theta(t)=0.25\cos(2t)+0.05\;rad\)
2) السعة الزاوية:

الشكل العام \(\theta(t)=A\cos(2t)+B\)؛ سعة الجزء المتذبذب:

السعة = 0.25 rad
3) ثابت الفتل:
\(\omega_0=2\;rad/s \Rightarrow \kappa=\omega_0^2\times I=4\times0.02=0.08\;N.m/rad\)
4) زمن أعظمية الطاقة الحركية (المرة الثالثة):

تصحيح: الطاقة الحركية \(K=\tfrac12I\omega^2\) تكون أعظمية عندما تكون \(|\omega(t)|\) أعظمية — وليس عندما \(\theta=0\) (لأن \(\theta(t)\) هنا لها إزاحة ثابتة إضافية 0.05، لكن هذا لا يؤثر على لحظة أعظمية السرعة لأن \(\omega(t)=dθ/dt\) خالية من أي حدّ ثابت).

\(|\omega(t)|=0.5|\sin(2t)|\) أعظمية عندما \(|\sin(2t)|=1 \Rightarrow 2t=\dfrac{\pi}{2}+n\pi\)

المرة الأولى (\(n=0\)): \(t=\pi/4\approx0.785\;s\). المرة الثانية (\(n=1\)): \(t=3\pi/4\approx2.356\;s\).

المرة الثالثة (\(n=2\)): \(t=5\pi/4\approx3.93\;s\)
1) Angular displacement equation:
\(\theta(t)=\int\omega(t)\,dt=0.25\cos(2t)+C\)
\(\theta(0)=0.25+C=0.3 \Rightarrow C=0.05\)
\(\theta(t)=0.25\cos(2t)+0.05\;rad\)
2) Angular amplitude:

General form \(\theta(t)=A\cos(2t)+B\); the amplitude of the oscillating part is:

Amplitude = 0.25 rad
3) Torsion constant:
\(\omega_0=2\;rad/s \Rightarrow \kappa=\omega_0^2\times I=4\times0.02=0.08\;N.m/rad\)
4) Time of maximum kinetic energy (third occurrence):

Correction: the kinetic energy \(K=\tfrac12I\omega^2\) is maximum when \(|\omega(t)|\) is maximum — not when \(\theta=0\) (the extra constant offset of 0.05 in \(\theta(t)\) doesn’t affect when the speed is maximum, since \(\omega(t)=d\theta/dt\) has no constant term).

\(|\omega(t)|=0.5|\sin(2t)|\) is maximum when \(|\sin(2t)|=1 \Rightarrow 2t=\dfrac{\pi}{2}+n\pi\)

First time (\(n=0\)): \(t=\pi/4\approx0.785\;s\). Second time (\(n=1\)): \(t=3\pi/4\approx2.356\;s\).

Third time (\(n=2\)): \(t=5\pi/4\approx3.93\;s\)

المسألة الخامسةProblem Five

نواس فتل مخمَّد يتحرك وفق المعادلة \(\theta(t)=0.8\,e^{-0.1t}\cos(3t)\;rad\)، وعزم عطالته \(I=0.05\;kg.m^2\).

A damped torsion pendulum moves according to \(\theta(t)=0.8\,e^{-0.1t}\cos(3t)\;rad\), with moment of inertia \(I=0.05\;kg.m^2\).

المطلوب:Required:

  1. حدِّد التردد الطبيعي \(\omega_0\) وثابت التخامد \(b\).
  2. Find the natural frequency \(\omega_0\) and the damping constant \(b\).
  3. احسب زمن عمر النصف للسعة.
  4. Find the half-life of the amplitude.
  5. احسب النسبة بين طاقة النظام عند \(t=5\;s\) والطاقة الابتدائية.
  6. Find the ratio between the system’s energy at \(t=5\;s\) and its initial energy.
  7. صف نوعيًا كيف تتغيّر السعة مع الزمن.
  8. Qualitatively describe how the amplitude changes with time.

حل المسألة الخامسةSolution to Problem Five

1) تحديد ω₀ وb:

من المعطى: \(\gamma=0.1\;s^{-1}\)، \(\omega_d=3\;rad/s\).

\(\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2} \Rightarrow \omega_0^2=\omega_d^2+\gamma^2=9+0.01=9.01 \Rightarrow \omega_0\approx3.00\;rad/s\)
\(\gamma=b/(2I) \Rightarrow b=2\gamma I=2\times0.1\times0.05=0.01\;kg.m^2/s\)
2) عمر النصف للسعة:
\(A(t)=0.8\,e^{-0.1t}\)؛ \(0.4=0.8\,e^{-0.1t_{1/2}} \Rightarrow e^{-0.1t_{1/2}}=0.5\)
\(-0.1t_{1/2}=\ln(0.5) \Rightarrow t_{1/2}\approx6.93\;s\)
3) نسبة الطاقة:
\(E(t)\propto e^{-2\gamma t} \Rightarrow E(5)/E(0)=e^{-2\times0.1\times5}=e^{-1}\approx0.368\)

أي أن الطاقة عند \(t=5\;s\) تعادل نحو 36.8% من الطاقة الابتدائية.

4) وصف السعة:

السعة تتناقص أسيًا مع الزمن (اهتزاز مخمّد)، بينما يبقى التردد \(\omega_d\) ثابتًا طوال الحركة.

1) Finding ω₀ and b:

Given: \(\gamma=0.1\;s^{-1}\), \(\omega_d=3\;rad/s\).

\(\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2} \Rightarrow \omega_0^2=\omega_d^2+\gamma^2=9+0.01=9.01 \Rightarrow \omega_0\approx3.00\;rad/s\)
\(\gamma=b/(2I) \Rightarrow b=2\gamma I=2\times0.1\times0.05=0.01\;kg.m^2/s\)
2) Half-life of the amplitude:
\(A(t)=0.8\,e^{-0.1t}\); \(0.4=0.8\,e^{-0.1t_{1/2}} \Rightarrow e^{-0.1t_{1/2}}=0.5\)
\(-0.1t_{1/2}=\ln(0.5) \Rightarrow t_{1/2}\approx6.93\;s\)
3) Energy ratio:
\(E(t)\propto e^{-2\gamma t} \Rightarrow E(5)/E(0)=e^{-2\times0.1\times5}=e^{-1}\approx0.368\)

That is, the energy at \(t=5\;s\) is about 36.8% of the initial energy.

4) Describing the amplitude:

The amplitude decreases exponentially with time (damped oscillation), while the frequency \(\omega_d\) stays constant throughout the motion.

لاحظت خطأ؟ أو عندك سؤال عن أحد الأسئلة؟ اكتبه بالتعليقات وحدد رقم السؤال. Noticed an error, or have a question about one of the questions? Write it in the comments and specify the question number.