رَبِّ أَوْزِعْنِي أَنْ أَشْكُرَ نِعْمَتَكَ الَّتِي أَنْعَمْتَ عَلَيَّ وَعَلَى وَالِدَيَّ وَأَنْ أَعْمَلَ صَالِحًا تَرْضَاهُ وَأَصْلِحْ لِي فِي ذُرِّيَّتِي إِنِّي تُبْتُ إِلَيْكَ وَإِنِّي مِنَ الْمُسْلِمِينَ
رَبَّنَا هَبْ لَنَا مِنْ أَزْوَاجِنَا وَذُرِّيَّاتِنَا قُرَّةَ أَعْيُنٍ وَاجْعَلْنَا لِلْمُتَّقِينَ إِمَامًا
رَبِّ هَبْ لِي حُكْمًا وَأَلْحِقْنِي بِالصَّالِحِينَ وَاجْعَل لِّي لِسَانَ صِدْقٍ فِي الآخِرِينَ وَاجْعَلْنِي مِن وَرَثَةِ جَنَّةِ النَّعِيمِ
"My Lord, enable me to be grateful for Your favor which You have bestowed upon me and upon my parents, and to work righteousness of which You approve, and make righteous for me my offspring. Indeed, I have repented to You, and indeed, I am of the Muslims." (Quran 46:15)
"Our Lord, grant us from among our wives and offspring comfort to our eyes, and make us an example for the righteous." (Quran 25:74)
"My Lord, grant me authority and join me with the righteous. And grant me a mention of honor among later generations. And make me among the inheritors of the Garden of Pleasure." (Quran 26:83-85)
🌀 اختبار تجريبي في الفيزياء
🌀 Physics Practice Test
الأجسام الجاسئة، الحركة الدائرية، والحركة الدورانية
Rigid Bodies, Circular Motion, and Rotational Motion
الصف الحادي عشر متقدم 🇦🇪 دولة الإمارات العربية المتحدة
Grade 11 Advanced 🇦🇪 United Arab Emirates
⏱️ الوقت: 45 دقيقة (اختيار) + 90 دقيقة (مسائل)⏱️ Time: 45 min (MCQ) + 90 min (Problems)
\[1\;\star\]
في أي حالة يكون مركز الثقل مختلفًا عن مركز الكتلةIn which case is the center of gravity different from the center of mass?
للأجسام الصغيرة على سطح الأرضFor small objects on Earth's surface
للأجسام ذات الكثافة المتغيرةFor objects with variable density
عندما يكون مجال الجاذبية غير منتظمWhen the gravitational field is non-uniform
للأجسام غير المتماثلةFor asymmetrical objects
الحلSolution
📌 الخطوة 1: مركز الكتلة هو النقطة التي تتوزع حولها كتلة الجسم بشكل متوازن.
📌 الخطوة 2: مركز الثقل هو النقطة التي تؤثر فيها قوة الجاذبية على الجسم.
📌 الخطوة 3: عندما يكون مجال الجاذبية منتظماً، يتطابق مركز الكتلة مع مركز الثقل.
📌 الخطوة 4: عندما يكون مجال الجاذبية غير منتظم، يختلف مركز الثقل عن مركز الكتلة.
✅ الإجابة الصحيحة: عندما يكون مجال الجاذبية غير منتظم
📌 Step 1: Center of mass is the point where the mass of the body is balanced.
📌 Step 2: Center of gravity is the point where the force of gravity acts on the body.
📌 Step 3: In a uniform gravitational field, the center of mass coincides with the center of gravity.
📌 Step 4: In a non-uniform gravitational field, the center of gravity differs from the center of mass.
✅ Correct answer: When the gravitational field is non-uniform
\[2\;\star\]
ما الذي يحدث لمركز كتلة جسم عند إزالة جزء منهWhat happens to the center of mass of a body when a part of it is removed?
يتحرك نحو الجزء المزالMoves toward the removed part
يتحرك بعيدًا عن الجزء المزالMoves away from the removed part
يبقى في نفس المكانStays in the same place
يعتمد على شكل الجزء المزالDepends on the shape of the removed part
الحلSolution
📌 الخطوة 1: مركز الكتلة هو المتوسط المرجح لمواضع جميع أجزاء الجسم.
📌 الخطوة 2: عند إزالة جزء من الجسم، يقل وزن ذلك الجزء من المتوسط.
📌 الخطوة 3: ينتقل مركز الكتلة نحو الأجزاء المتبقية (بعيدًا عن الجزء المزال).
✅ الإجابة الصحيحة: يتحرك بعيدًا عن الجزء المزال
📌 Step 1: Center of mass is the weighted average of all parts' positions.
📌 Step 2: When a part is removed, its contribution to the weighted average is removed.
📌 Step 3: The center of mass shifts toward the remaining parts (away from the removed part).
✅ Correct answer: Moves away from the removed part
\[3\;\star\]
كرة كتلتها \(m_1=0.5\,kg\) عند \((0.8,0.4)\)، وكرة ثانية كتلتها \(m_2=0.3\,kg\) عند \((-0.4,-0.4)\)، فإن مركز الكتلة المشترك لهما يقع عند الموقعA ball of mass \(m_1=0.5\,kg\) at \((0.8,0.4)\) and a second ball of mass \(m_2=0.3\,kg\) at \((-0.4,-0.4)\). The center of mass is at:
\((0.35\,m,\;-0.2\,m)\)
\((0.35\,m,\;0.1\,m)\)
\((0.15\,m,\;-0.1\,m)\)
\((0.25\,m,\;0.2\,m)\)
الحلSolution
📌 الخطوة 1: \(X_{cm}=\dfrac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}\)
📌 الخطوة 2: \(X_{cm}=\dfrac{0.5(0.8)+0.3(-0.4)}{0.8}=\dfrac{0.28}{0.8}=0.35\,m\)
📌 الخطوة 3: \(Y_{cm}=\dfrac{0.5(0.4)+0.3(-0.4)}{0.8}=\dfrac{0.08}{0.8}=0.1\,m\)
✅ الإجابة الصحيحة: \((0.35,\,0.1)\,m\)
📌 Step 1: \(X_{cm}=\dfrac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}\)
📌 Step 2: \(X_{cm}=\dfrac{0.5(0.8)+0.3(-0.4)}{0.8}=\dfrac{0.28}{0.8}=0.35\,m\)
📌 Step 3: \(Y_{cm}=\dfrac{0.5(0.4)+0.3(-0.4)}{0.8}=\dfrac{0.08}{0.8}=0.1\,m\)
✅ Correct answer: \((0.35,\,0.1)\,m\)
\[4\;\star\]
لماذا يقع مركز الكتلة دائمًا على الخط الواصل بين جسمين؟Why does the center of mass always lie on the line connecting two bodies?
لأن القوى المؤثرة تكون في هذا الاتجاه فقطForces only act in that direction
لأن أي موقع آخر سيكون غير متوازنAny other position would be unbalanced
لأن هذا هو المكان الوحيد الذي يتوازن فيه النظامThis is the only position where the system is balanced
جميع ما سبقAll of the above
الحلSolution
📌 الخطوة 1: مركز الكتلة هو المتوسط المرجح لمواقع الأجسام في النظام.
📌 الخطوة 2: بالنسبة لجسمين، يقع مركز الكتلة على الخط المستقيم الواصل بينهما.
📌 الخطوة 3: هذا الموقع هو الوحيد الذي يحقق التوازن لكل من الكتلة والقوى المؤثرة.
✅ الإجابة الصحيحة: جميع ما سبق
📌 Step 1: Center of mass is the weighted average of the positions of bodies.
📌 Step 2: For two bodies, the center of mass lies on the straight line connecting them.
📌 Step 3: This is the only position that balances both mass distribution and forces.
✅ Correct answer: All of the above
\[5\;\star\]
أي من الإحداثيات القطبية التالية تمثل النقطة الديكارتية \((-2,2)\)Which polar coordinates represent the Cartesian point \((-2,2)\)?
\((2,\dfrac{\pi}{4})\)
\((2\sqrt2,\dfrac{\pi}{4})\)
\((2\sqrt2,\dfrac{3\pi}{4})\)
\((2,\dfrac{3\pi}{4})\)
الحلSolution
📌 الخطوة 1: التحويل من الديكارتية إلى القطبية: \(r=\sqrt{x^2+y^2}\)، \(\theta=\tan^{-1}(y/x)\)
📌 الخطوة 2: \(r=\sqrt{4+4}=2\sqrt2\)
📌 الخطوة 3: النقطة في الربع الثاني: \(\theta=\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}\)
✅ الإجابة الصحيحة: \((2\sqrt2,\dfrac{3\pi}{4})\)
📌 Step 1: Cartesian to polar: \(r=\sqrt{x^2+y^2}\), \(\theta=\tan^{-1}(y/x)\)
📌 Step 2: \(r=\sqrt{4+4}=2\sqrt2\)
📌 Step 3: Point in quadrant II: \(\theta=\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}\)
✅ Correct answer: \((2\sqrt2,\dfrac{3\pi}{4})\)
\[6\;\star\]
إذا كانت الإحداثيات القطبية لنقطة \((2,\dfrac{\pi}{3})\) فما هي إحداثياتها الديكارتيةIf the polar coordinates of a point are \((2,\dfrac{\pi}{3})\), what are its Cartesian coordinates?
\((1,\sqrt3)\)
\((\sqrt2,2)\)
\((2,\sqrt2)\)
\((\sqrt3,1)\)
الحلSolution
📌 الخطوة 1: التحويل: \(x=r\cos\theta\)، \(y=r\sin\theta\)
📌 الخطوة 2: \(x=2\cos(\pi/3)=2\times\tfrac12=1\)
📌 الخطوة 3: \(y=2\sin(\pi/3)=2\times\tfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3\)
✅ الإجابة الصحيحة: \((1,\sqrt3)\)
📌 Step 1: Conversion: \(x=r\cos\theta\), \(y=r\sin\theta\)
📌 Step 2: \(x=2\cos(\pi/3)=1\)
📌 Step 3: \(y=2\sin(\pi/3)=\sqrt3\)
✅ Correct answer: \((1,\sqrt3)\)
\[7\;\star\star\]
يتحرك جسم حركة دائرية منتظمة بحيث يعمل ثلاث دورات ونصف عكس عقارب الساعة كل 2 ثانية، فإن سرعته الزاوية بوحدة \(rad/s\)An object moves in uniform circular motion, completing 3.5 revolutions counterclockwise every 2 seconds. Its angular speed in \(rad/s\) is:
\(4\pi\,rad/s\)
\(7\pi\,rad/s\)
\(6\pi\,rad/s\)
\(3.5\pi\,rad/s\)
الحلSolution
📌 الخطوة 1: السرعة الزاوية: \(\omega=\dfrac{\Delta\theta}{\Delta t}\)
📌 الخطوة 2: الزاوية المقطوعة: \(3.5\) دورة \(=3.5\times2\pi=7\pi\) راديان
📌 الخطوة 3: \(\omega=\dfrac{7\pi}{2}=3.5\pi\,rad/s\)
✅ الإجابة الصحيحة: \(3.5\pi\,rad/s\)
📌 Step 1: Angular speed: \(\omega=\dfrac{\Delta\theta}{\Delta t}\)
📌 Step 2: Angle covered: \(3.5\) rev \(=7\pi\) rad
📌 Step 3: \(\omega=\dfrac{7\pi}{2}=3.5\pi\,rad/s\)
✅ Correct answer: \(3.5\pi\,rad/s\)
\[8\;\star\]
أحد الإجابات التالية تعادل السرعة الزاوية لعقرب الدقائقWhich of the following is the angular speed of the minute hand?
\(W=-\dfrac{\pi}{3600}\,rad/s\)
\(W=-\dfrac{\pi}{60}\,rad/s\)
\(W=-\dfrac{\pi}{1800}\,rad/s\)
\(W=-\dfrac{\pi}{12}\,rad/s\)
الحلSolution
📌 الخطوة 1: عقرب الدقائق يكمل دورة كاملة (\(2\pi\) راديان) في 60 دقيقة = 3600 ثانية.
📌 الخطوة 2: \(\omega=\dfrac{2\pi}{3600}=\dfrac{\pi}{1800}\,rad/s\)
📌 الخطوة 3: الإشارة سالبة لأن الحركة في اتجاه عقارب الساعة (اختياري).
✅ الإجابة الصحيحة: \(-\dfrac{\pi}{1800}\,rad/s\)
📌 Step 1: Minute hand completes one revolution (\(2\pi\) rad) in 3600 s.
📌 Step 2: \(\omega=\dfrac{2\pi}{3600}=\dfrac{\pi}{1800}\,rad/s\)
📌 Step 3: Negative sign indicates clockwise motion (optional).
✅ Correct answer: \(-\dfrac{\pi}{1800}\,rad/s\)
\[9\;\star\star\]
يتحرك قمر صناعي في مسار دائري منتظم حول الأرض نصف قطره \(8500\,km\)، وزمنه الدوري \(2\) يوم. سرعته الخطية تساويA satellite moves in a uniform circular orbit around Earth with radius \(8500\,km\) and period \(2\,days\). Its linear speed is:
\(v=210\,m/s\)
\(v=512\,m/s\)
\(v=518\,m/s\)
\(v=309\,m/s\)
الحلSolution
📌 الخطوة 1: السرعة الخطية: \(v=\dfrac{2\pi r}{T}\)
📌 الخطوة 2: \(r=8.5\times10^6\,m\)، \(T=2\times24\times3600=172800\,s\)
📌 الخطوة 3: \(v=\dfrac{2\pi\times8.5\times10^6}{172800}\approx309\,m/s\)
✅ الإجابة الصحيحة: \(309\,m/s\)
📌 Step 1: Linear speed: \(v=\dfrac{2\pi r}{T}\)
📌 Step 2: \(r=8.5\times10^6\,m\), \(T=172800\,s\)
📌 Step 3: \(v\approx309\,m/s\)
✅ Correct answer: \(309\,m/s\)
\[10\;\star\]
في الحركة الدائرية المنتظمة، أحد الأشكال التالية يعبر عن اتجاه السرعة الخطية والتسارع المركزي لجسم يتحرك عكس عقارب الساعةIn uniform circular motion, which figure shows the direction of linear velocity and centripetal acceleration for counterclockwise motion?
الشكل AFigure A
الشكل BFigure B
الشكل CFigure C
الشكل DFigure D
الحلSolution
📌 الخطوة 1: في الحركة الدائرية المنتظمة عكس عقارب الساعة، تكون السرعة الخطية مماسية للمسار.
📌 الخطوة 2: التسارع المركزي يكون نحو مركز المسار الدائري.
📌 الخطوة 3: الشكل C يظهر السرعة الخطية مماسية (عكس عقارب الساعة) والتسارع نحو المركز.
✅ الإجابة الصحيحة: الشكل C
📌 Step 1: In counterclockwise uniform circular motion, velocity is tangential to the path.
📌 Step 2: Centripetal acceleration is directed toward the center.
📌 Step 3: Figure C correctly shows tangential velocity (CCW) and acceleration toward the center.
✅ Correct answer: Figure C
\[11\;\star\]
أحد المخططات التالية يمثل العلاقة بين اتجاهات السرعة الخطية ومتجه الموقع والعجلة المركزية والقوة المركزية لجسم يتحرك حركة دائرية منتظمةWhich diagram correctly shows the relationship between linear velocity, position vector, centripetal acceleration, and centripetal force for uniform circular motion?
AA
BB
CC
DD
الحلSolution
📌 الخطوة 1: متجه الموقع \(\vec r\) يشير من المركز إلى الجسم.
📌 الخطوة 2: السرعة الخطية \(\vec v\) مماسية للمسار (عمودية على \(\vec r\)).
📌 الخطوة 3: العجلة المركزية \(\vec a_c\) والقوة المركزية \(\vec F_c\) تتجهان نحو المركز (عكس اتجاه \(\vec r\)).
📌 الخطوة 4: الشكل C يظهر هذه العلاقات بشكل صحيح.
✅ الإجابة الصحيحة: C
📌 Step 1: Position vector \(\vec r\) points from center to object.
📌 Step 2: Linear velocity \(\vec v\) is tangential (perpendicular to \(\vec r\)).
📌 Step 3: Centripetal acceleration \(\vec a_c\) and force \(\vec F_c\) point toward the center (opposite \(\vec r\)).
📌 Step 4: Figure C correctly shows these relationships.
✅ Correct answer: C
\[12\;\star\star\]
جسم يتحرك في مسار دائري نصف قطره 5 متر. إذا كان التسارع الكلي \(a_{tot}=13\,m/s^2\) والتسارع الخطي (التماسي) \(a_t=5\,m/s^2\)، فما مقدار سرعة الجسم؟An object moves in a circular path of radius 5 m. If the total acceleration is \(a_{tot}=13\,m/s^2\) and tangential acceleration is \(a_t=5\,m/s^2\), what is the object's speed?
\(v=7.75\,m/s\)
\(v=9.35\,m/s\)
\(v=10.25\,m/s\)
\(v=4.15\,m/s\)
الحلSolution
📌 الخطوة 1: التسارع الكلي: \(a_{tot}^2=a_c^2+a_t^2\)
📌 الخطوة 2: \(a_c=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12\,m/s^2\)
📌 الخطوة 3: \(a_c=\dfrac{v^2}{r}\Rightarrow v=\sqrt{12\times5}=\sqrt{60}\approx7.75\,m/s\)
✅ الإجابة الصحيحة: \(7.75\,m/s\)
📌 Step 1: Total acceleration: \(a_{tot}^2=a_c^2+a_t^2\)
📌 Step 2: \(a_c=\sqrt{13^2-5^2}=12\,m/s^2\)
📌 Step 3: \(v=\sqrt{a_c\,r}=\sqrt{60}\approx7.75\,m/s\)
✅ Correct answer: \(7.75\,m/s\)
\[13\;\star\]
جسم يتحرك في مسار دائري نصف قطره 2 متر بسرعة خطية متغيرة حسب العلاقة \(v=3t+2\) (الزمن بالثواني). احسب التسارع الكلي عند \(t=2\,s\)An object moves in a circular path of radius 2 m with speed \(v=3t+2\) (t in seconds). Calculate the total acceleration at \(t=2\,s\).
\(a_{total}=18.32\,m/s^2\)
\(a_{total}=15.23\,m/s^2\)
\(a_{total}=32.14\,m/s^2\)
\(a_{total}=28.45\,m/s^2\)
الحلSolution
📌 الخطوة 1: السرعة عند \(t=2\): \(v=3(2)+2=8\,m/s\)
📌 الخطوة 2: التسارع التماسي: \(a_t=\dfrac{dv}{dt}=3\,m/s^2\)
📌 الخطوة 3: التسارع المركزي: \(a_c=\dfrac{v^2}{r}=\dfrac{64}{2}=32\,m/s^2\)
📌 الخطوة 4: \(a_{total}=\sqrt{32^2+3^2}=\sqrt{1033}\approx32.14\,m/s^2\)
✅ الإجابة الصحيحة: \(32.14\,m/s^2\)
📌 Step 1: Speed at \(t=2\): \(v=8\,m/s\)
📌 Step 2: Tangential acceleration: \(a_t=3\,m/s^2\)
📌 Step 3: Centripetal acceleration: \(a_c=v^2/r=32\,m/s^2\)
📌 Step 4: \(a_{total}=\sqrt{32^2+3^2}\approx32.14\,m/s^2\)
✅ Correct answer: \(32.14\,m/s^2\)
\[14\;\star\]
رُبط حجر في خيط طوله \(0.6\,m\) وأُدير في وضع أفقي فكان زمنه الدوري \(0.4\,s\)، فإن عجلته المركزية تساويA stone is tied to a string of length 0.6 m and swung horizontally with a period of 0.4 s. What is its centripetal acceleration?
\(a_c=15\pi\,m/s^2\)
\(a_c=40\pi\,m/s^2\)
\(a_c=40\pi^2\,m/s^2\)
\(a_c=15\pi^2\,m/s^2\)
الحلSolution
📌 الخطوة 1: \(\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{0.4}=5\pi\,rad/s\)
📌 الخطوة 2: \(a_c=\omega^2r=(5\pi)^2\times0.6=25\pi^2\times0.6=15\pi^2\,m/s^2\)
✅ الإجابة الصحيحة: \(15\pi^2\,m/s^2\)
📌 Step 1: \(\omega=2\pi/T=5\pi\,rad/s\)
📌 Step 2: \(a_c=\omega^2r=15\pi^2\,m/s^2\)
✅ Correct answer: \(15\pi^2\,m/s^2\)
\[15\;\star\]
رُبط دلو بحبل طوله \(0.4\,m\) وتم تدويره أفقيًا بسرعة مماسية \(v=2\,m/s\). فإن الزمن الدوري للحركة يعادلA bucket is tied to a rope of length 0.4 m and swung horizontally with tangential speed \(v=2\,m/s\). The period of motion is:
\(T=5\,s\)
\(T=4.12\,s\)
\(T=1.26\,s\)
\(T=3.56\,s\)
الحلSolution
📌 الخطوة 1: \(v=\dfrac{2\pi r}{T}\)
📌 الخطوة 2: \(T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi\times0.4}{2}=0.4\pi\approx1.26\,s\)
✅ الإجابة الصحيحة: \(1.26\,s\)
📌 Step 1: \(v=2\pi r/T\)
📌 Step 2: \(T=2\pi r/v=0.4\pi\approx1.26\,s\)
✅ Correct answer: \(1.26\,s\)
\[16\;\star\star\]
في لعبة عربة أفعوانية، وبفرض عدم وجود احتكاك، يشعر اللاعب بانعدام الوزن الظاهري عند قمة المسار الدائري. إذا كان نصف قطر المسار \(r=6\,m\)، فإن السرعة الخطية عند القمة تعادلIn a roller coaster ride, assuming no friction, the rider feels weightless at the top of the circular loop. If the radius is \(r=6\,m\), what is the linear speed at the top?
\(v=12.5\,m/s\)
\(v=4.53\,m/s\)
\(v=7.66\,m/s\)
\(v=10.3\,m/s\)
الحلSolution
📌 الخطوة 1: عند القمة، انعدام الوزن الظاهري يعني \(N=0\)
📌 الخطوة 2: \(mg=\dfrac{mv^2}{r}\Rightarrow v=\sqrt{gr}\)
📌 الخطوة 3: \(v=\sqrt{9.81\times6}\approx7.66\,m/s\)
✅ الإجابة الصحيحة: \(7.66\,m/s\)
📌 Step 1: At the top, weightlessness means \(N=0\)
📌 Step 2: \(mg=mv^2/r\Rightarrow v=\sqrt{gr}\)
📌 Step 3: \(v\approx7.66\,m/s\)
✅ Correct answer: \(7.66\,m/s\)
\[17\;\star\star\]
أحد الإجابات التالية تعادل السرعة الزاوية لعقرب الساعاتWhich of the following is the angular speed of the hour hand?
\(W=-0.104\,rad/s\)
\(W=1.45\times10^{-4}\,rad/s\)
\(W=0.104\,rad/s\)
\(W=-1.74\times10^{-3}\,rad/s\)
الحلSolution
📌 الخطوة 1: عقرب الساعات يكمل دورة كاملة (\(2\pi\) راديان) في 12 ساعة = 43200 ثانية.
📌 الخطوة 2: \(\omega=\dfrac{2\pi}{43200}\approx1.45\times10^{-4}\,rad/s\)
✅ الإجابة الصحيحة: \(1.45\times10^{-4}\,rad/s\)
📌 Step 1: Hour hand completes one revolution in 43200 s.
📌 Step 2: \(\omega\approx1.45\times10^{-4}\,rad/s\)
✅ Correct answer: \(1.45\times10^{-4}\,rad/s\)
\[18\;\star\]
يتحرك جسم حركة دائرية منتظمة بحيث يعمل ثلاث دورات ونصف عكس عقارب الساعة كل 2 ثانية، فإن سرعته الزاوية بوحدة \(rad/s\)An object moves in uniform circular motion, completing 3.5 revolutions counterclockwise every 2 seconds. Its angular speed in \(rad/s\) is:
\(W=3.5\pi\,rad/s\)
\(W=4\pi\,rad/s\)
\(W=7\pi\,rad/s\)
\(W=6\pi\,rad/s\)
الحلSolution
📌 الخطوة 1: السرعة الزاوية: \(\omega=\dfrac{\Delta\theta}{\Delta t}\)
📌 الخطوة 2: الزاوية المقطوعة: \(3.5\times2\pi=7\pi\) راديان
📌 الخطوة 3: \(\omega=\dfrac{7\pi}{2}=3.5\pi\,rad/s\)
✅ الإجابة الصحيحة: \(3.5\pi\,rad/s\)
📌 Step 1: Angular speed: \(\omega=\Delta\theta/\Delta t\)
📌 Step 2: Angle covered: \(7\pi\) rad
📌 Step 3: \(\omega=3.5\pi\,rad/s\)
✅ Correct answer: \(3.5\pi\,rad/s\)
\[19\;\star\]
جسم يتحرك حركة دائرية إزاحته الزاوية تتغير بمرور الزمن حسب \(\theta=0.5t^2+2t+4\). فإن السرعة الزاوية للجسم في الثانية الخامسة تعادلAn object moves in circular motion with angular displacement \(\theta=0.5t^2+2t+4\). The angular speed at \(t=5\,s\) is:
\(W=5\,rad/s\)
\(W=6.7\,rad/s\)
\(W=7\,rad/s\)
\(W=26.5\,rad/s\)
الحلSolution
📌 الخطوة 1: \(\omega=\dfrac{d\theta}{dt}\)
📌 الخطوة 2: \(\omega=\dfrac{d}{dt}(0.5t^2+2t+4)=t+2\)
📌 الخطوة 3: عند \(t=5\): \(\omega=5+2=7\,rad/s\)
✅ الإجابة الصحيحة: \(7\,rad/s\)
📌 Step 1: \(\omega=d\theta/dt\)
📌 Step 2: \(\omega=t+2\)
📌 Step 3: At \(t=5\): \(\omega=7\,rad/s\)
✅ Correct answer: \(7\,rad/s\)
\[20\;\star\]
منعطف في مضمار سباق نصف قطره 100 متر ويميل بزاوية 15° فوق الأفقي. ما السرعة المثلى لاجتياز المنعطف بدون احتكاك؟A race track curve has radius 100 m and is banked at 15° above horizontal. What is the optimum speed to navigate the curve without friction?
\(v=18.31\,m/s\)
\(v=23.14\,m/s\)
\(v=16.22\,m/s\)
\(v=13.44\,m/s\)
الحلSolution
📌 الخطوة 1: السرعة المثلى بدون احتكاك: \(v=\sqrt{gr\tan\theta}\)
📌 الخطوة 2: \(v=\sqrt{9.81\times100\times\tan15^\circ}\approx16.22\,m/s\)
✅ الإجابة الصحيحة: \(16.22\,m/s\)
📌 Step 1: \(v=\sqrt{gr\tan\theta}\)
📌 Step 2: \(v\approx16.22\,m/s\)
✅ Correct answer: \(16.22\,m/s\)
\[21\;\star\]
مضمار سباق به منعطف نصف قطره 50 متر ويميل بزاوية 30° فوق الأفقي. إذا كان السطح مغطى بالجليد بمعامل احتكاك \(\mu\approx0.05\)، فإن السرعة المثلى لاجتياز المنعطفA race track curve has radius 50 m and is banked at 30° with friction coefficient \(\mu=0.05\). What is the optimum speed with friction?
\(v=18.31\,m/s\)
\(v=23.14\,m/s\)
\(v=16.22\,m/s\)
\(v=17.8\,m/s\)
الحلSolution
📌 الخطوة 1: السرعة المثلى مع الاحتكاك: \(v=\sqrt{gr\dfrac{\tan\theta+\mu}{1-\mu\tan\theta}}\)
📌 الخطوة 2: \(\tan30^\circ=0.577\)
📌 الخطوة 3: \(v=\sqrt{9.81\times50\times\dfrac{0.627}{0.971}}\approx17.8\,m/s\)
✅ الإجابة الصحيحة: \(17.8\,m/s\)
📌 Step 1: Optimum speed with friction: \(v=\sqrt{gr\dfrac{\tan\theta+\mu}{1-\mu\tan\theta}}\)
📌 Step 2: \(\tan30^\circ=0.577\)
📌 Step 3: \(v\approx17.8\,m/s\)
✅ Correct answer: \(17.8\,m/s\)
\[22\;\star\]
جسم كروي صلب كتلته \(m\) ونصف قطره \(r\) يبدأ الحركة من السكون من ارتفاع \(h\) فوق قاعدة مستوى مائل، ويتدحرج لأسفل دون انزلاق (\(I=\dfrac{2}{5}mr^2\)). العلاقة المعبرة عن سرعته الخطية عندما يغادر المستوى ويتدحرج على سطح أفقي هيA solid sphere of mass \(m\) and radius \(r\) starts from rest at height \(h\) on an inclined plane and rolls down without slipping (\(I=\dfrac{2}{5}mr^2\)). The expression for linear speed when it reaches horizontal ground is:
\(v=\sqrt{\dfrac{10gh}{7}}\)
\(v=\sqrt{2gh}\)
\(v=\sqrt{gh}\)
\(v=\sqrt{\dfrac{5gh}{7}}\)
الحلSolution
📌 الخطوة 1: حفظ الطاقة: \(mgh=\tfrac12mv^2+\tfrac12I\omega^2\)
📌 الخطوة 2: \(I=\tfrac25mr^2\)، \(\omega=v/r\) (دون انزلاق)
📌 الخطوة 3: \(mgh=\tfrac12mv^2+\tfrac15mv^2=\tfrac{7}{10}mv^2\)
📌 الخطوة 4: \(v=\sqrt{\dfrac{10gh}{7}}\)
✅ الإجابة الصحيحة: \(v=\sqrt{10gh/7}\)
📌 Step 1: Energy conservation: \(mgh=\tfrac12mv^2+\tfrac12I\omega^2\)
📌 Step 2: \(I=\tfrac25mr^2\), \(\omega=v/r\)
📌 Step 3: \(mgh=\tfrac{7}{10}mv^2\)
📌 Step 4: \(v=\sqrt{10gh/7}\)
✅ Correct answer: \(v=\sqrt{10gh/7}\)
\[23\;\star\star\]
أحد وحدات القياس التالية لا يمكن استخدامها لقياس عزم الدورانWhich of the following units cannot be used to measure torque?
\(N\cdot m\)
\(\dfrac{kg\cdot m^2}{s^2}\)
\(J\)
\(ft\cdot lb\)
الحلSolution
📌 الخطوة 1: عزم الدوران: \(\tau=rF\sin\theta\)
📌 الخطوة 2: وحدة عزم الدوران في النظام الدولي: \(N\cdot m\) أو \(kg\cdot m^2/s^2\)
📌 الخطوة 3: الجول (J) هو وحدة الطاقة (كمية قياسية)؛ وعزم الدوران كمية متجهة، فلا تُستخدم وحدة الجول للتعبير عنه رغم تطابق الأبعاد.
✅ الإجابة الصحيحة: J
📌 Step 1: Torque: \(\tau=rF\sin\theta\)
📌 Step 2: SI unit: \(N\cdot m\) or \(kg\cdot m^2/s^2\)
📌 Step 3: Joule (J) is a scalar energy unit; torque is a vector, so J is not used for it despite matching dimensions.
✅ Correct answer: J
\[24\;\star\star\]
أربع قوى متساوية كما في الشكل أثرت على قرص نصف قطره \(10\,cm\) قابل للدوران عند المحور. أي قوة لها أكبر عزم دوران؟Four equal forces act on a disk of radius \(10\,cm\) as shown. Which force produces the greatest torque?
\(\tau_1\)
\(\tau_2\)
\(\tau_3\)
\(\tau_4\)
الحلSolution
📌 الخطوة 1: عزم الدوران: \(\tau=rF\sin\theta\)، حيث \(\theta\) الزاوية بين متجه الموقع والقوة.
📌 الخطوة 2: جميع القوى متساوية المقدار (\(F\)) ونصف القطر متساوٍ (\(r\)).
📌 الخطوة 3: أكبر عزم عندما \(\sin\theta=1\) أي \(\theta=90^\circ\). القوة \(\tau_2\) هي الوحيدة المؤثرة عموديًا على نصف القطر.
✅ الإجابة الصحيحة: \(\tau_2\)
📌 Step 1: Torque: \(\tau=rF\sin\theta\)
📌 Step 2: All forces equal in magnitude and radius equal.
📌 Step 3: Maximum torque when \(\theta=90^\circ\); \(\tau_2\) is perpendicular to the radius.
✅ Correct answer: \(\tau_2\)
\[25\;\star\star\]
قرص كتلته \(m=5\,kg\) ونصف قطره \(R=0.3\,m\) (\(I=\tfrac12mR^2\)) مثبت على محور أفقي عديم الاحتكاك، ولُف حبل حوله وربط بكتلة \(M=40\,kg\) كما في الشكل. بفرض عدم انزلاق الحبل، فإن عجلة الكتلة تعادلA disk of mass \(m=5\,kg\) and radius \(R=0.3\,m\) (\(I=\tfrac12mR^2\)) is mounted on a frictionless horizontal axis. A rope is wrapped around it and attached to a mass \(M=40\,kg\). Assuming no slipping, the acceleration of the mass is:
\(a=-10.7\,m/s^2\)
\(a=-5.6\,m/s^2\)
\(a=-3.4\,m/s^2\)
\(a=-9.2\,m/s^2\)
الحلSolution
📌 الخطوة 1: \(Mg-T=Ma\) للكتلة، \(TR=I\alpha\) للقرص، \(\alpha=a/R\)
📌 الخطوة 2: \(I=\tfrac12mR^2=0.225\,kg\cdot m^2\)
📌 الخطوة 3: \(T=\dfrac{Ia}{R^2}=2.5a\)
📌 الخطوة 4: \(40(9.81)-2.5a=40a\Rightarrow a\approx9.23\,m/s^2\) (للأسفل، \(a=-9.2\,m/s^2\))
✅ الإجابة الصحيحة: \(-9.2\,m/s^2\)
📌 Step 1: \(Mg-T=Ma\), \(TR=I\alpha\), \(\alpha=a/R\)
📌 Step 2: \(I=0.225\,kg\cdot m^2\)
📌 Step 3: \(T=2.5a\)
📌 Step 4: \(a\approx9.23\,m/s^2\) downward
✅ Correct answer: \(-9.2\,m/s^2\)
\[26\;\star\star\]
تؤثر قوة متغيرة مع الزمن على نقطة متجه موقعها بالنسبة لنقطة محورية \(\vec r=3\hat i+4\hat j\) (بالأمتار). إذا كانت القوة \(\vec F=2t\hat i-3t^2\hat j\) (t بالثواني)، احسب عزم الدوران حول هذه النقطة عند \(t=2\,s\)A time-varying force acts on a point with position vector \(\vec r=3\hat i+4\hat j\) (m). If the force is \(\vec F=2t\hat i-3t^2\hat j\) (t in seconds), calculate the torque about the pivot at \(t=2\,s\).
\(\tau=-20\,N\cdot m\)
\(\tau=-52\,N\cdot m\)
\(\tau=-36\,N\cdot m\)
\(\tau=-16\,N\cdot m\)
الحلSolution
📌 الخطوة 1: عزم الدوران: \(\vec\tau=\vec r\times\vec F\)
📌 الخطوة 2: عند \(t=2\): \(\vec F=4\hat i-12\hat j\)
📌 الخطوة 3: \(\vec\tau=(3\hat i+4\hat j)\times(4\hat i-12\hat j)=3(-12)\hat k+4(4)(-\hat k)=-36\hat k-16\hat k=-52\hat k\,N\cdot m\)
✅ الإجابة الصحيحة: \(-52\,N\cdot m\)
📌 Step 1: Torque: \(\vec\tau=\vec r\times\vec F\)
📌 Step 2: At \(t=2\): \(\vec F=4\hat i-12\hat j\)
📌 Step 3: \(\vec\tau=-52\hat k\,N\cdot m\)
✅ Correct answer: \(-52\,N\cdot m\)
📐 حل المسائل التالية
📐 Solve the Following Problems
⏱️ الوقت: 90 دقيقة⏱️ Time: 90 minutes
المسألة الأولى (أ):Problem 1 (a):
هناك ثلاث كتل نقطية \(m_1=10\,kg\)، \(m_2=5\,kg\)، \(m_3=2\,kg\) عند المواقع \(m_1(1,0)\)، \(m_2(0,1)\)، \(m_3(2,1)\) كما في الشكل.Three point masses \(m_1=10\,kg\), \(m_2=5\,kg\), \(m_3=2\,kg\) are located at \(m_1(1,0)\), \(m_2(0,1)\), \(m_3(2,1)\) as shown.
احسب مركز الكتلة للنظامCalculate the center of mass of the system
الحلSolution
📌 الخطوة 1: \(X_{cm}=\dfrac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3}{m_1+m_2+m_3}=\dfrac{10(1)+5(0)+2(2)}{17}=\dfrac{14}{17}\approx0.824\,m\)
📌 الخطوة 2: \(Y_{cm}=\dfrac{10(0)+5(1)+2(1)}{17}=\dfrac{7}{17}\approx0.412\,m\)
✅ مركز الكتلة عند \((0.824,\,0.412)\,m\)
📌 Step 1: \(X_{cm}=\dfrac{10(1)+5(0)+2(2)}{17}\approx0.824\,m\)
📌 Step 2: \(Y_{cm}=\dfrac{10(0)+5(1)+2(1)}{17}\approx0.412\,m\)
✅ Center of mass at \((0.824,\,0.412)\,m\)
المسألة الأولى (ب):Problem 1 (b):
إذا كانت الفترة المدارية للمريخ حول الشمس 687 يوم أرضي،If Mars's orbital period around the Sun is 687 Earth days,
ما الزاوية التي يقطعها المريخ خلال 45 يوم أرضي؟What angle does Mars cover in 45 Earth days?
الحلSolution
📌 الخطوة 1: \(\omega=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{2\pi}{687}\,rad/day\)
📌 الخطوة 2: \(\theta=\omega t=\dfrac{2\pi\times45}{687}\approx0.412\,rad\)
📌 الخطوة 3: \(0.412\times\dfrac{180}{\pi}\approx23.6^\circ\)
✅ الزاوية \(\approx23.6^\circ\)
📌 Step 1: \(\omega=2\pi/687\,rad/day\)
📌 Step 2: \(\theta=\omega t\approx0.412\,rad\)
📌 Step 3: \(\approx23.6^\circ\)
✅ Angle \(\approx23.6^\circ\)
المسألة الثانية (أ):Problem 2 (a):
سيارة نصف قطر إطاراتها \(r=0.25\,m\) بدأت حركتها من السكون، وبعد \(t=25\,s\) أصبحت سرعتها \(v=25\,m/s\).A car with tire radius \(r=0.25\,m\) starts from rest and reaches \(v=25\,m/s\) after \(t=25\,s\).
احسب السرعة الزاوية عند تلك اللحظةCalculate the angular speed at that moment
بحسب قواعد المتجهات، لماذا لا تنطبق العلاقة بين مقدار السرعة الخطية والزاوية على متجهاتهما؟According to vector rules, why doesn't the relationship between linear and angular speed magnitudes apply to their vectors?
احسب التسارع التماسي والزاوي عند تلك اللحظةCalculate the tangential and angular acceleration at that moment
الحلSolution
📌 الخطوة 1: \(\omega=\dfrac{v}{r}=\dfrac{25}{0.25}=100\,rad/s\)
📌 الخطوة 2: السبب: \(\vec v=\vec\omega\times\vec r\) ضرب اتجاهي وليس ضرب كميات قياسية؛ اتجاه \(\vec v\) عمودي على كل من \(\vec\omega\) و\(\vec r\).
📌 الخطوة 3: \(a_t=\dfrac{v-v_0}{t}=\dfrac{25-0}{25}=1\,m/s^2\)
📌 الخطوة 4: \(\alpha=\dfrac{a_t}{r}=\dfrac{1}{0.25}=4\,rad/s^2\)
✅ \(\omega=100\,rad/s\)، \(\alpha=4\,rad/s^2\)
📌 Step 1: \(\omega=v/r=100\,rad/s\)
📌 Step 2: Because \(\vec v=\vec\omega\times\vec r\) is a cross product; \(\vec v\) is perpendicular to both \(\vec\omega\) and \(\vec r\).
📌 Step 3: \(a_t=1\,m/s^2\)
📌 Step 4: \(\alpha=4\,rad/s^2\)
✅ \(\omega=100\,rad/s\), \(\alpha=4\,rad/s^2\)
المسألة الثانية (ب):Problem 2 (b):
محرك يحتوي على ترس كبير نصف قطره 0.3 متر يلامس ترسًا أصغر نصف قطره 0.2 متر دون انزلاق. الترس الكبير يدور 50 دورة/ثانية.A gear system: large gear radius 0.3 m, small gear radius 0.2 m, no slipping. The large gear rotates at 50 rev/s.
احسب السرعة الزاوية للترس الصغيرCalculate the angular speed of the small gear
إذا زاد الترس الكبير سرعته من 50 إلى 60 دورة/ث خلال 2 ثانية، احسب العجلة الزاوية لكل من الترسينIf the large gear's speed increases from 50 to 60 rev/s in 2 s, calculate the angular acceleration of both gears
الحلSolution
📌 الخطوة 1: \(\omega_1=50\times2\pi=100\pi\,rad/s\)
📌 الخطوة 2: بلا انزلاق: \(r_1\omega_1=r_2\omega_2\Rightarrow\omega_2=\dfrac{0.3}{0.2}\times100\pi=150\pi\,rad/s\)
📌 الخطوة 3: \(\alpha_1=\dfrac{(60-50)\times2\pi}{2}=10\pi\,rad/s^2\)
📌 الخطوة 4: \(\alpha_2=\dfrac{r_1}{r_2}\alpha_1=1.5\times10\pi=15\pi\,rad/s^2\)
✅ \(\omega_2=150\pi\,rad/s\)، \(\alpha_1=10\pi\,rad/s^2\)، \(\alpha_2=15\pi\,rad/s^2\)
📌 Step 1: \(\omega_1=100\pi\,rad/s\)
📌 Step 2: \(\omega_2=150\pi\,rad/s\)
📌 Step 3: \(\alpha_1=10\pi\,rad/s^2\)
📌 Step 4: \(\alpha_2=15\pi\,rad/s^2\)
✅ \(\omega_2=150\pi\,rad/s\), \(\alpha_1=10\pi\,rad/s^2\), \(\alpha_2=15\pi\,rad/s^2\)
المسألة الثالثة (أ):Problem 3 (a):
كتلة مقدارها 1.5 كجم مربوطة بطرف حبل يدور في مسار دائري رأسي بسرعة ثابتة 5 م/ث، ونصف قطر الدائرة 2 متر.A mass of 1.5 kg is tied to a rope and moves in a vertical circular path at constant speed 5 m/s. Radius is 2 m.
ما مقدار الشد في الحبل عندما تكون الكتلة عند أعلى نقطة في المسار؟What is the tension at the top of the path?
ما مقدار الشد في الحبل عندما تكون الكتلة عند أسفل نقطة في المسار؟What is the tension at the bottom of the path?
ما الزاوية (من أسفل المسار) التي يصنعها الحبل مع الرأسي عندما يكون الشد مساويًا لوزن الكتلة؟What angle (from the bottom) does the rope make with vertical when the tension equals the weight?
الحلSolution
📌 a): \(T_{top}+mg=\dfrac{mv^2}{r}\Rightarrow T_{top}=\dfrac{1.5(25)}{2}-1.5(9.81)=18.75-14.715=4.04\,N\)
📌 b): \(T_{bottom}-mg=\dfrac{mv^2}{r}\Rightarrow T_{bottom}=18.75+14.715=33.47\,N\)
📌 c): بقياس \(\theta\) من أسفل المسار: \(T=mv^2/r+mg\cos\theta\). عند \(T=mg\): \(\cos\theta=1-\dfrac{v^2}{gr}=1-\dfrac{25}{19.62}\approx-0.274\Rightarrow\theta\approx105.9^\circ\)
✅ \(T_{top}=4.04\,N\)، \(T_{bottom}=33.47\,N\)، \(\theta\approx105.9^\circ\)
📌 a): \(T_{top}=mv^2/r-mg\approx4.04\,N\)
📌 b): \(T_{bottom}=mv^2/r+mg\approx33.47\,N\)
📌 c): Measuring \(\theta\) from the bottom: \(T=mv^2/r+mg\cos\theta\). At \(T=mg\): \(\cos\theta\approx-0.274\Rightarrow\theta\approx105.9^\circ\)
✅ \(T_{top}=4.04\,N\), \(T_{bottom}=33.47\,N\), \(\theta\approx105.9^\circ\)
المسألة الثالثة (ب):Problem 3 (b):
سيارة نصف قطر إطاراتها \(r=0.25\,m\) تتحرك دون انزلاق بسرعة ثابتة \(v=23\,m/s\) لمدة \(t=3\,min\)، ثم فرملت بشكل منتظم حتى توقفت بعد \(t=25\,s\).A car with tire radius \(r=0.25\,m\) moves without slipping at constant speed \(v=23\,m/s\) for \(t=3\,min\), then brakes uniformly and stops after \(t=25\,s\).
احسب عدد الدورات التي دارها الإطار خلال كامل الفترةCalculate the total number of tire revolutions over the whole period
الحلSolution
📌 الخطوة 1: \(d_1=v\times t_1=23\times180=4140\,m\)
📌 الخطوة 2: التباطؤ: \(a=\dfrac{0-23}{25}=-0.92\,m/s^2\)
📌 الخطوة 3: \(d_2=v_it+\tfrac12at^2=23(25)+\tfrac12(-0.92)(625)=575-287.5=287.5\,m\)
📌 الخطوة 4: المسافة الكلية \(=4140+287.5=4427.5\,m\)
📌 الخطوة 5: \(N=\dfrac{d}{2\pi r}=\dfrac{4427.5}{2\pi(0.25)}\approx2818.75\) دورة \(\approx2819\) دورة
✅ عدد الدورات \(\approx2819\) دورة
📌 Step 1: \(d_1=23\times180=4140\,m\)
📌 Step 2: \(a=-0.92\,m/s^2\)
📌 Step 3: \(d_2=575-287.5=287.5\,m\)
📌 Step 4: Total distance \(=4427.5\,m\)
📌 Step 5: \(N\approx2818.75\approx2819\) rev
✅ Number of revolutions \(\approx2819\) rev
المسألة الرابعة (أ):Problem 4 (a):
اسطوانة متجانسة صلبة كتلتها \(m=1.5\,kg\) تتدحرج على سطح أفقي حول محورها دون انزلاق بطاقة حركية \(K=8.5\,J\) (\(I=\tfrac12mR^2\)).A solid uniform cylinder of mass \(m=1.5\,kg\) rolls on a horizontal surface without slipping with kinetic energy \(K=8.5\,J\) (\(I=\tfrac12mR^2\)).
احسب السرعة الخطية لمركز كتلة الاسطوانةCalculate the linear speed of the center of mass
الحلSolution
📌 الخطوة 1: \(K=\tfrac12mv^2+\tfrac12I\omega^2\)، \(I=\tfrac12mR^2\)، \(\omega=v/R\)
📌 الخطوة 2: \(K=\tfrac12mv^2+\tfrac14mv^2=\tfrac34mv^2\)
📌 الخطوة 3: \(8.5=1.125v^2\Rightarrow v\approx2.75\,m/s\)
✅ \(v\approx2.75\,m/s\)
📌 Step 1: \(K=\tfrac34mv^2\)
📌 Step 2: \(8.5=1.125v^2\)
📌 Step 3: \(v\approx2.75\,m/s\)
✅ \(v\approx2.75\,m/s\)
المسألة الرابعة (ب):Problem 4 (b):
اسطوانة مصمتة وُضعت أعلى مستوى مائل ارتفاعه \(h=3.5\,m\)، وبدأت التدحرج دون انزلاق من السكون تحت تأثير الجاذبية (\(I=\tfrac12mr^2\)).A solid cylinder is placed at the top of an incline of height \(h=3.5\,m\) and rolls down without slipping from rest (\(I=\tfrac12mr^2\)).
احسب السرعة الخطية لمركز الكتلة عند مغادرة المستوى المائل والتدحرج على سطح أفقيCalculate the linear speed of the center of mass when it reaches the horizontal surface
إذا استُبدلت الاسطوانة بأخرى كتلتها ونصف قطرها ضعف السابقة، كم تكون سرعتها عند الوصول للسطح الأفقي؟If the cylinder is replaced by one with double the mass and double the radius, what is its speed at the bottom?
الحلSolution
📌 الخطوة 1: \(mgh=\tfrac12mv^2+\tfrac12I\omega^2=\tfrac34mv^2\Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{4gh}{3}}\)
📌 الخطوة 2: \(v=\sqrt{\dfrac{4\times9.81\times3.5}{3}}\approx6.77\,m/s\)
📌 الخطوة 3: عند مضاعفة \(m\) و\(R\): \(v=\sqrt{4gh/3}\) لا تعتمد على \(m\) أو \(R\)، فتبقى نفس القيمة.
✅ \(v\approx6.77\,m/s\) (نفس القيمة في الحالتين)
📌 Step 1: \(v=\sqrt{4gh/3}\)
📌 Step 2: \(v\approx6.77\,m/s\)
📌 Step 3: Doubling \(m\) and \(R\): \(v\) is independent of both, so it stays the same.
✅ \(v\approx6.77\,m/s\) (same in both cases)