إذا ثنينا ملفًا لولبيًا طويلًا حتى يلتقي طرفاه حصلنا على ملف حلقي (توروس). تُلَفّ \(N\) لفة من السلك على قلب على شكل حلقة (دونات) نصفا قطريه \(a\) (الداخلي) و\(b\) (الخارجي)، ثم يمرّ في السلك تيار \(I\).
If a long solenoid is bent until its two ends meet we get a toroid. \(N\) turns of wire are wound on a ring-shaped (doughnut) core of inner radius \(a\) and outer radius \(b\), and a current \(I\) flows in the wire.
لأنه بلا أطراف: خطوط المجال تدور في دوائر مغلقة داخل اللفات، فلا يتسرب مجال إلى الخارج. لذلك المجال موجود بين الحلقات فقط (داخل القلب)، وينعدم في الثقب الأوسط وخارج الملف.
Because it has no ends: the field lines run in closed circles inside the winding, so no field leaks out. The field exists only inside the winding (in the core) and vanishes in the central hole and outside.
| المنطقةRegion | المسافة عن المركزDistance from the centre | المجالField |
|---|---|---|
| ثقب الحلقةThe hole | \(r\lt a\)\(r\lt a\) | \(B=0\)\(B=0\) |
| داخل اللفاتInside the winding | \(a\lt r\lt b\)\(a\lt r\lt b\) | \(B=\dfrac{\mu_0NI}{2\pi r}\)\(B=\dfrac{\mu_0NI}{2\pi r}\) |
| خارج الملفOutside the toroid | \(r\gt b\)\(r\gt b\) | \(B=0\)\(B=0\) |
نختار حلقة أمبير دائرية نصف قطرها \(r\) تقع داخل اللفات (\(a\lt r\lt b\)) وتتّبع خط المجال، فيكون \(\vec B\) موازيًا للعنصر \(d\vec l\) ومقداره ثابتًا على الحلقة:
We choose a circular Amperian loop of radius \(r\) inside the winding (\(a\lt r\lt b\)) following a field line, so \(\vec B\) is parallel to \(d\vec l\) and constant in magnitude along it:
\[\oint\vec B\cdot d\vec l=B\oint dl=B\,(2\pi r)\]
والتيار المحصور داخل الحلقة: تخترق سطحها \(N\) لفة يحمل كل منها \(I\) فـ \(I_{enc}=NI\). من قانون أمبير \(\oint\vec B\cdot d\vec l=\mu_0I_{enc}\):
The current enclosed by the loop: \(N\) turns, each carrying \(I\), cross its surface so \(I_{enc}=NI\). From Ampère’s law \(\oint\vec B\cdot d\vec l=\mu_0I_{enc}\):
\[B\,(2\pi r)=\mu_0NI\;\Longrightarrow\;B=\dfrac{\mu_0\,N\,I}{2\pi\,r}\]
حيث \(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{T\cdot m/A}\)، وتُقاس \(r\) بالمتر من مركز الحلقة، واتجاه \(\vec B\) مماسّ للدائرة (بقاعدة اليد اليمنى للملف).
where \(\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{T\cdot m/A}\), \(r\) is measured in metres from the centre of the ring, and \(\vec B\) is tangent to the circle (right-hand rule for the winding).
مقطع علوي لملف حلقي (اللفات بالأخضر والخطوط الحمراء هي خطوط \(B\)). اسحب النقطة الزرقاء داخل الملف وخارجه وفي الثقب، وغيّر \(N\) و\(I\) ونصفي القطرين ونوع القلب. لاحظ أن المجال داخل الحلقات فقط، وأنه يضعف كلما ابتعدت عن المركز، وأن \(B=0\) في الثقب وخارج الملف.
A top view of a toroid (the turns are green and the red lines are the \(B\) lines). Drag the blue point inside, outside and in the hole, and change \(N\), \(I\), the two radii and the core. Notice the field is only inside the winding, it weakens as you move away from the centre, and \(B=0\) in the hole and outside.
عدد اللفات لوحدة الطول على متوسط الحلقة \(n=\dfrac{N}{2\pi r}\) فتصبح \(B=\mu_0\,n\,I\) وهي صيغة الملف اللولبي نفسها. وإذا كان القلب رفيعًا (\(b-a\ll r\)) فالمجال شبه منتظم: \(B\approx\dfrac{\mu_0NI}{2\pi r_{avg}}\) بنصف القطر المتوسط \(r_{avg}=\dfrac{a+b}{2}\).
The number of turns per unit length along the mean circle is \(n=\dfrac{N}{2\pi r}\) so \(B=\mu_0\,n\,I\), the same formula as the solenoid. If the core is thin (\(b-a\ll r\)) the field is nearly uniform: \(B\approx\dfrac{\mu_0NI}{2\pi r_{avg}}\) with the mean radius \(r_{avg}=\dfrac{a+b}{2}\).
الاشتقاق يفترض لفات متراصة كثيرة. إذا كان عدد اللفات صغيرًا (كالأربع أو الثماني) تتباعد اللفات فيضعف المجال بينها ويتسرب جزء منه إلى الخارج، وكلما زاد عدد اللفات اقترب الملف من الحالة المثالية.
The derivation assumes many closely wound turns. With few turns (say four or eight) the turns are far apart so the field between them weakens and some of it leaks out; the more turns, the closer the toroid is to the ideal case.
حرّك نصف قطر حلقة أمبير (البنفسجية) من الثقب إلى خارج الملف. تحسب المحاكاة التيار المحصور \(I_{enc}\) ثم المجال بقانون أمبير. لاحظ أن \(I_{enc}=NI\) فقط عندما تكون الحلقة داخل اللفات، وصفر خارجها لأن كل لفة تعبرها مرتين بتيارين متعاكسين.
Move the radius of the purple Amperian loop from the hole to outside the toroid. The simulation finds the enclosed current \(I_{enc}\) and then the field from Ampère’s law. Notice that \(I_{enc}=NI\) only when the loop is inside the winding, and zero outside because each turn crosses it twice with opposite currents.
ملف حلقي عدد لفاته \(N=500\) ويمر فيه تيار \(I=2\ \mathrm{A}\). احسب المجال المغناطيسي على بعد \(r=0.10\ \mathrm{m}\) من مركزه (داخل اللفات).
A toroid has \(N=500\) turns carrying \(I=2\ \mathrm{A}\). Calculate the magnetic field at \(r=0.10\ \mathrm{m}\) from its centre (inside the winding).
ملف حلقي \(N=1000\) لفة نصف قطره الداخلي \(a=5\ \mathrm{cm}\) والخارجي \(b=10\ \mathrm{cm}\)، ويمر فيه \(I=2\ \mathrm{A}\). احسب \(B\) عند الحافتين الداخلية والخارجية.
A toroid has \(N=1000\) turns, inner radius \(a=5\ \mathrm{cm}\) and outer radius \(b=10\ \mathrm{cm}\), carrying \(I=2\ \mathrm{A}\). Calculate \(B\) at the inner and the outer edges.
ما التيار اللازم في ملف حلقي \(N=1000\) لفة ليكون \(B=10\ \mathrm{mT}\) على بعد \(r=5\ \mathrm{cm}\)؟
What current is needed in a toroid of \(N=1000\) turns for \(B=10\ \mathrm{mT}\) at \(r=5\ \mathrm{cm}\)?
في المثال 1 وُضع قلب من الحديد المطاوع (\(\mu_r=200\)) داخل الملف. ما المجال الجديد؟
In example 1 a soft-iron core (\(\mu_r=200\)) is placed inside the toroid. What is the new field?
الملف الحلقي المثالي يكون فيه المجال المغناطيسي:
In an ideal toroid the magnetic field exists:
عند الابتعاد عن مركز الملف الحلقي داخل اللفات يكون المجال:
Moving away from the centre of the toroid inside the winding the field:
إذا تضاعف عدد لفات الملف الحلقي وتضاعف التيار فإن المجال عند النقطة نفسها:
If both the number of turns and the current of a toroid are doubled the field at the same point:
| التطبيقApplication | السببReason |
|---|---|
| محوّلات ومحاثّات بقلب حلقيTransformers and inductors with a ring core | المجال محصور في القلب فيقل التسرب المغناطيسي والتشويش على الدوائر المجاورةthe field is confined to the core so there is little magnetic leakage or interference with neighbouring circuits |
| مفاعلات الاندماج (التوكاماك)Fusion reactors (tokamaks) | ملفات حلقية تولّد مجالًا حلقيًا يحبس البلازما الساخنةtoroidal coils create a ring-shaped field that confines the hot plasma |
| مرشحات الضوضاء الكهربائيةElectrical noise filters | قلب فريت حلقي يعطي محاثّة عالية بحجم صغيرa ferrite ring core gives high inductance in a small size |
| مستشعرات التيارCurrent sensors | يُمرَّر السلك داخل الحلقة فيقيس المجال الحلقي المتناسب مع التيارthe wire passes through the ring and the toroidal field proportional to the current is measured |
| الفكرةIdea | القاعدةRule |
|---|---|
| المجال داخل الملف الحلقيField inside the toroid | \(B=\dfrac{\mu_0NI}{2\pi r}\ (a\lt r\lt b)\)\(B=\dfrac{\mu_0NI}{2\pi r}\ (a\lt r\lt b)\) |
| في الثقب وخارج الملفIn the hole and outside | \(B=0\)\(B=0\) |
| التيار المحصورEnclosed current | \(NI\) داخل اللفات، و0 في الثقب وخارج الملف\(NI\) inside the winding, 0 in the hole and outside |
| مع قلب مغناطيسيWith a magnetic core | \(B=\mu_r\dfrac{\mu_0NI}{2\pi r}\)\(B=\mu_r\dfrac{\mu_0NI}{2\pi r}\) |
| العلاقة بالملف اللولبيRelation to the solenoid | \(B=\mu_0nI,\ n=\dfrac{N}{2\pi r}\)\(B=\mu_0nI,\ n=\dfrac{N}{2\pi r}\) |
أنهِ الدرس بالاختبار التفاعلي التالي؛ أسئلته تجمع بين الفهم والحساب وتغطي جميع أقسام الدرس.
Finish with the interactive exam below; its questions mix understanding with calculation and cover every section of the lesson.
20 سؤالاً - المجال داخل الملف الحلقي وقانون أمبير 20 Questions - the field inside a toroid and Ampère’s law