للتواصل: 00971504825082

🌀 ما الزخم الزاوي؟

🌀 What Is Angular Momentum?

كما أن للجسم المتحرك في خط مستقيم زخمًا خطيًا \(p=mv\)، فإن للجسم الدائر زخمًا زاويًا (أو كمية الحركة الزاوية) يعبّر عن «مقدار الدوران» الذي يحمله وصعوبة إيقافه. هو حاصل ضرب عزم القصور الذاتي \(I\) في السرعة الزاوية \(\omega\):

A body moving in a straight line has linear momentum \(p=mv\); a rotating body has angular momentum, which measures “how much rotation” it carries and how hard it is to stop. It is the product of the moment of inertia \(I\) and the angular velocity \(\omega\):

\[\vec L=I\,\vec\omega\qquad\qquad [L]=kg\cdot m^2/s\]

واتجاه الزخم الزاوي دائمًا في اتجاه السرعة الزاوية \(\vec\omega\)، أي على محور الدوران وفق قاعدة اليد اليمنى: لفّ أصابع يدك اليمنى مع اتجاه الدوران فيشير الإبهام إلى اتجاه \(\vec L\).

The direction of angular momentum is always along the angular velocity \(\vec\omega\), i.e. along the rotation axis by the right-hand rule: curl the fingers of your right hand along the rotation and your thumb points along \(\vec L\).

📌 الزخم الزاوي لجسيم نقطي

📌 Angular Momentum of a Point Particle

جسيم كتلته \(m\) يتحرك بسرعة \(v\) على بعد \(r\) من نقطة الأصل له زخم زاوي حول تلك النقطة:

A particle of mass \(m\) moving with speed \(v\) at distance \(r\) from a reference point has angular momentum about that point:

\(\vec L=\vec r\times\vec p\;\Rightarrow\;L=m\,v\,r\sin\theta\)

وعندما تكون السرعة عمودية على متجه الموضع (حركة دائرية) يكون \(L=mvr=mr^2\omega=I\omega\) حيث \(I=mr^2\).

When the velocity is perpendicular to the position vector (circular motion), \(L=mvr=mr^2\omega=I\omega\) with \(I=mr^2\).

⚖️ مقارنة بين الحركة الخطية والدورانيةLinear vs Rotational Motion

الحركة الخطيةLinear	الحركة الدورانيةRotational
\(p=mv\)	\(L=I\omega\)
\(F_{net}=\dfrac{\Delta p}{\Delta t}\)	\(\tau_{net}=\dfrac{\Delta L}{\Delta t}\)
الدفع \(F\Delta t=\Delta p\)Impulse \(F\Delta t=\Delta p\)	الدفع الزاوي \(\tau\Delta t=\Delta L\)Angular impulse \(\tau\Delta t=\Delta L\)
يُحفظ \(p\) عندما \(F_{net}=0\)\(p\) conserved when \(F_{net}=0\)	يُحفظ \(L\) عندما \(\tau_{net}=0\)\(L\) conserved when \(\tau_{net}=0\)

❓ قيّم نفسكSelf-Check

قرص منتظم كتلته \(2\,kg\) ونصف قطره \(0.3\,m\) يدور بسرعة \(10\,rad/s\). احسب زخمه الزاوي (\(I=\tfrac12MR^2\)).

A uniform disc of mass \(2\,kg\) and radius \(0.3\,m\) spins at \(10\,rad/s\). Find its angular momentum (\(I=\tfrac12MR^2\)).

الحل

\(I=\tfrac12MR^2=\tfrac12(2)(0.3)^2=0.09\,kg\cdot m^2\)

\(L=I\omega=0.09\times10\)

✅ \(L=0.9\,kg\cdot m^2/s\)

Solution

\(I=\tfrac12MR^2=\tfrac12(2)(0.3)^2=0.09\,kg\cdot m^2\)

\(L=I\omega=0.09\times10\)

✅ \(L=0.9\,kg\cdot m^2/s\)

🔄 القانون الثاني لنيوتن والدفع الزاوي

🔄 Newton’s Second Law and Angular Impulse

عندما نؤثر بقوة على جسم قابل للدوران يؤثر عليه عزم \(\tau\)، وحسب قانون نيوتن الثاني في الحركة الدورانية \(\tau=I\alpha\) حيث \(\alpha=\dfrac{\Delta\omega}{\Delta t}\):

When a force acts on a rotatable body it produces a torque \(\tau\). By Newton’s second law for rotation, \(\tau=I\alpha\) with \(\alpha=\dfrac{\Delta\omega}{\Delta t}\):

\[\tau=\frac{I\,\Delta\omega}{\Delta t}\;\Rightarrow\;\tau\,\Delta t=I\omega_f-I\omega_i=L_f-L_i\]

📜 الدفع الزاوي

📜 Angular Impulse

الدفع الزاوي \(\tau\,\Delta t\) يساوي التغير في الزخم الزاوي: الدفع الزاوي = الزخم الزاوي النهائي − الزخم الزاوي الابتدائي. وبصيغة عامة \(\tau_{net}=\dfrac{dL}{dt}\).

Angular impulse \(\tau\,\Delta t\) equals the change in angular momentum: angular impulse = final angular momentum − initial angular momentum. In general form, \(\tau_{net}=\dfrac{dL}{dt}\).

❓ مثال محلولSolved Example

إطار سيارة نصف قطره \(22\,cm\) يدور بمعدل \(300\,rpm\). ضغط السائق الفرامل فأثّر بين الفرامل والإطار عزم احتكاك \(\tau=6.1\,N\cdot m\). إذا كان عزم القصور الذاتي للإطار \(I=0.4\,kg\cdot m^2\)، فما الزمن اللازم لإيقافه؟

A car wheel of radius \(22\,cm\) spins at \(300\,rpm\). The driver brakes and friction between the brake and the wheel gives a torque \(\tau=6.1\,N\cdot m\). If the wheel’s moment of inertia is \(I=0.4\,kg\cdot m^2\), how long does it take to stop?

الحل

📌 نحوّل السرعة إلى rad/s: \(\omega=300\times\dfrac{2\pi}{60}\approx31.4\,rad/s\) (نصف القطر غير لازم هنا).

📌 الزخم الزاوي الابتدائي: \(L_i=I\omega=0.4\times31.4\approx12.6\,kg\cdot m^2/s\) والنهائي \(L_f=0\).

📌 العزم يعاكس الدوران: \(-\tau\,t=0-L_i\Rightarrow t=\dfrac{L_i}{\tau}=\dfrac{12.6}{6.1}\)

✅ \(t\approx2.1\,s\)

Solution

📌 Convert to rad/s: \(\omega=300\times\dfrac{2\pi}{60}\approx31.4\,rad/s\) (the radius is not needed here).

📌 Initial angular momentum: \(L_i=I\omega=0.4\times31.4\approx12.6\,kg\cdot m^2/s\); final \(L_f=0\).

📌 The torque opposes the rotation: \(-\tau\,t=0-L_i\Rightarrow t=\dfrac{L_i}{\tau}=\dfrac{12.6}{6.1}\)

✅ \(t\approx2.1\,s\)

⚖️ قانون حفظ الزخم الزاوي

⚖️ Conservation of Angular Momentum

📜 نص القانون

📜 Statement of the Law

يُحفظ الزخم الزاوي لنظام، مثل الطاقة والزخم الخطي، عندما تكون محصلة العزوم الخارجية المؤثرة عليه صفرًا.Like energy and linear momentum, the angular momentum of a system is conserved when the net external torque on it is zero.
الاشتقاق: \(\tau_{ext}=\dfrac{dL}{dt}\)، فإذا كان \(\tau_{ext}=0\) فإن \(\dfrac{dL}{dt}=0\) أي \(L=\) ثابت.Derivation: \(\tau_{ext}=\dfrac{dL}{dt}\), so if \(\tau_{ext}=0\) then \(\dfrac{dL}{dt}=0\), i.e. \(L=\) constant.
كما يُحفظ الزخم الخطي عندما تكون محصلة القوى الخارجية صفرًا؛ وهو دليل آخر على وحدة القوانين الفيزيائية الأساسية.Likewise linear momentum is conserved when the net external force is zero — another sign of the unity of the basic laws of physics.

\(L_i=L_f\;\Rightarrow\;I_i\,\omega_i=I_f\,\omega_f\)

وإذا تغيّر عزم القصور الذاتي للجسم لأن شكله أو توزيع كتلته تغيّر، فإن السرعة الزاوية تتغير بحيث يبقى حاصل الضرب \(I\omega\) ثابتًا: عندما يقل \(I\) تزداد \(\omega\)، وعندما يزداد \(I\) تقل \(\omega\).

If the body’s moment of inertia changes because its shape or mass distribution changes, its angular speed changes so that the product \(I\omega\) stays constant: when \(I\) decreases \(\omega\) increases, and when \(I\) increases \(\omega\) decreases.

⚠️ الزخم محفوظ… والطاقة ليست كذلك دائمًا

⚠️ Momentum Is Conserved… Energy Not Always

قد يتغير مقدار الطاقة الحركية الدورانية \(KE=\tfrac12I\omega^2=\dfrac{L^2}{2I}\) رغم ثبات \(L\): فعندما يقل \(I\) تزداد \(KE\) (يبذل المتزلج شغلًا بعضلاته)، وفي التصادمات غير المرنة تضيع طاقة على شكل حرارة.

The rotational kinetic energy \(KE=\tfrac12I\omega^2=\dfrac{L^2}{2I}\) can change even while \(L\) is constant: when \(I\) decreases \(KE\) rises (the skater’s muscles do work), and in inelastic collisions energy is lost as heat.

⛸️ المتزلج: تغيير عزم القصور

⛸️ The Skater: Changing the Moment of Inertia

يدور متزلج على الجليد ويداه ممدودتان ثم يضم ذراعيه إلى جسمه، فتقترب كتلتهما من المحور ويقل \(I\) فيدور أسرع. لا يوجد عزم خارجي مؤثر (الاحتكاك مهمل) فيُحفظ \(L\).

An ice skater spins with arms outstretched, then pulls them in. The arms’ mass moves closer to the axis, \(I\) drops and the skater spins faster. With no external torque (friction neglected) \(L\) is conserved.

❓ مثال محلولSolved Example

تدور متزلجة بسرعة زاوية \(2\,rad/s\) وعزم قصورها \(3.0\,kg\cdot m^2\)، ثم تضم ذراعيها فيصبح \(1.2\,kg\cdot m^2\). أوجد سرعتها الزاوية الجديدة والتغير في طاقتها الحركية.

A skater spins at \(2\,rad/s\) with moment of inertia \(3.0\,kg\cdot m^2\), then pulls in her arms so it becomes \(1.2\,kg\cdot m^2\). Find her new angular speed and the change in kinetic energy.

الحل

📌 \(I_i\omega_i=I_f\omega_f\Rightarrow\omega_f=\dfrac{3.0\times2}{1.2}=5\,rad/s\)

📌 \(KE_i=\tfrac12(3.0)(2)^2=6\,J\) و \(KE_f=\tfrac12(1.2)(5)^2=15\,J\)

📌 تزداد الطاقة بمقدار \(9\,J\) هي الشغل الذي بذلته عضلات المتزلجة لسحب الذراعين نحو المحور.

✅ \(\omega_f=5\,rad/s,\;\Delta KE=+9\,J\)

Solution

📌 \(I_i\omega_i=I_f\omega_f\Rightarrow\omega_f=\dfrac{3.0\times2}{1.2}=5\,rad/s\)

📌 \(KE_i=\tfrac12(3.0)(2)^2=6\,J\) and \(KE_f=\tfrac12(1.2)(5)^2=15\,J\)

📌 The energy rises by \(9\,J\): the work done by the skater’s muscles pulling her arms inward.

✅ \(\omega_f=5\,rad/s,\;\Delta KE=+9\,J\)

🧪 تجربة 1: اسحب الكتلتين وراقب السرعة الزاوية

🧪 Experiment 1: Pull the Masses In and Watch the Spin

قضيب عزم قصوره \(0.5\,kg\cdot m^2\) عليه كتلتان \(1\,kg\) لكل منهما. حرّك المنزلق لتغيير بعدهما \(r\) عن المحور: يتغير \(I\) وتتغير \(\omega\) ويبقى \(L\) ثابتًا.

A rod with moment of inertia \(0.5\,kg\cdot m^2\) carries two \(1\,kg\) masses. Move the slider to change their distance \(r\) from the axis: \(I\) and \(\omega\) change while \(L\) stays constant.

البعد \(r\) (م)Distance \(r\) (m) 0.50

\(I\) (kg·m²)\(I\) (kg·m²)1.00

\(\omega\) (rad/s)\(\omega\) (rad/s)6.00

\(L=I\omega\) (kg·m²/s)\(L=I\omega\) (kg·m²/s)6.00

\(KE\) (J)\(KE\) (J)18.0

لاحظ: كلما اقتربت الكتلتان قلّ \(I\) وزادت \(\omega\) و\(KE\)، بينما يبقى \(L\) ثابتًا عند \(6\,kg\cdot m^2/s\).

Notice: as the masses move in, \(I\) falls while \(\omega\) and \(KE\) rise, but \(L\) stays at \(6\,kg\cdot m^2/s\).

💥 التصادم الدوراني: طين يسقط على قرص

💥 Rotational Collision: Clay Dropped on a Disc

عندما تسقط قطعة طين على قرص يدور فتلتصق به، لا يؤثر على النظام (قرص + طين) عزم خارجي حول المحور، فيُحفظ الزخم الزاوي. يزداد عزم القصور الذاتي للنظام بمقدار \(mr^2\) فتقل السرعة الزاوية:

When a lump of clay drops onto a spinning disc and sticks, no external torque acts on the system (disc + clay) about the axis, so angular momentum is conserved. The system’s moment of inertia increases by \(mr^2\), so the angular speed drops:

\[I_{d}\,\omega_i=(I_{d}+m\,r^2)\,\omega_f\]

❓ مثال محلولSolved Example

كتلة من الطين \(4\,kg\) أُسقطت فوق قرص يدور حول محوره نصف قطره \(1\,m\) وبسرعة زاوية \(5\,rad/s\). إذا كان عزم القصور الذاتي للقرص \(I=\tfrac12MR^2=1\,kg\cdot m^2\) وللكتلة الطينية \(I=mr^2\)، فما السرعة الزاوية بعد التصاق الطين بحافة القرص؟ وكم تبلغ الطاقة الحركية الضائعة؟

A \(4\,kg\) lump of clay is dropped onto a disc of radius \(1\,m\) spinning at \(5\,rad/s\). If the disc’s moment of inertia is \(I=\tfrac12MR^2=1\,kg\cdot m^2\) and the clay’s is \(I=mr^2\), what is the angular speed after the clay sticks to the rim? How much kinetic energy is lost?

الحل

📌 حفظ الزخم الزاوي: \(L_i=L_f\Rightarrow I_d\omega_i=(I_d+mr^2)\omega_f\)

📌 \(1\times5=(1+4\times1^2)\,\omega_f\Rightarrow\omega_f=1\,rad/s\)

📌 \(KE_i=\tfrac12(1)(5)^2=12.5\,J\)، \(KE_f=\tfrac12(5)(1)^2=2.5\,J\)

📌 الطاقة الضائعة \(=12.5-2.5=10\,J\) تتحول إلى حرارة (تصادم غير مرن).

✅ \(\omega_f=1\,rad/s,\;\Delta KE=-10\,J\)

Solution

📌 Conservation of angular momentum: \(L_i=L_f\Rightarrow I_d\omega_i=(I_d+mr^2)\omega_f\)

📌 \(1\times5=(1+4\times1^2)\,\omega_f\Rightarrow\omega_f=1\,rad/s\)

📌 \(KE_i=\tfrac12(1)(5)^2=12.5\,J\), \(KE_f=\tfrac12(5)(1)^2=2.5\,J\)

📌 Energy lost \(=12.5-2.5=10\,J\), turned into heat (an inelastic collision).

✅ \(\omega_f=1\,rad/s,\;\Delta KE=-10\,J\)

🧪 تجربة 2: أسقِط قطعة الطين على القرص

🧪 Experiment 2: Drop the Clay onto the Disc

القرص كتلته \(2\,kg\) ونصف قطره \(1\,m\) (\(I_d=1\,kg\cdot m^2\)). اختر كتلة الطين وموضع سقوطه وسرعة القرص ثم اضغط «أسقِط».

The disc has mass \(2\,kg\) and radius \(1\,m\) (\(I_d=1\,kg\cdot m^2\)). Choose the clay’s mass, where it lands and the disc’s speed, then press “Drop”.

كتلة الطين \(m\) (kg)Clay mass \(m\) (kg)4.0

موضع السقوط \(r\) (m)Landing radius \(r\) (m)1.00

السرعة الابتدائية \(\omega_i\) (rad/s)Initial speed \(\omega_i\) (rad/s)5.0

\(\omega_f\) (rad/s)\(\omega_f\) (rad/s)—

\(L\) (kg·m²/s)\(L\) (kg·m²/s)5.00

\(KE_i\) (J)\(KE_i\) (J)12.5

\(KE_f\) (J)\(KE_f\) (J)—

الطاقة الضائعة (J)Energy lost (J)—

🌍 تطبيقات الزخم الزاوي

🌍 Applications of Angular Momentum

📚 أمثلة من الحياة والكون

📚 Examples from Life and the Cosmos

⛸️ التزلج على الجليد والغوص: يضم المتزلج ذراعيه أو يلتف الغطاس على نفسه فيقل \(I\) وتزداد \(\omega\) ليلتفّ أسرع، ثم يمدّ جسمه قبل الدخول إلى الماء فتقل سرعته.⛸️ Ice skating and diving: Skaters pull in their arms and divers tuck, lowering \(I\) and raising \(\omega\) to spin faster, then stretch out before entering the water to slow the spin.
🪐 حركة الكواكب (قانون كبلر الثاني): قوة جاذبية الشمس مركزية فلا عزم لها حول الشمس، فيُحفظ \(L=mvr\): يتحرك الكوكب أسرع عندما يكون أقرب إلى الشمس \(v_pr_p=v_ar_a\).🪐 Planetary motion (Kepler’s second law): The Sun’s gravity is a central force with no torque about the Sun, so \(L=mvr\) is conserved: a planet moves faster when closer to the Sun, \(v_pr_p=v_ar_a\).
🚲 العجلات والدراجات: العجلة الدوّارة لها زخم زاوي كبير يقاوم تغيير اتجاه محور دورانها، ولذلك تتّزن الدراجة بسهولة وهي تتحرك أكثر من وهي ساكنة.🚲 Wheels and bicycles: A spinning wheel has large angular momentum that resists changes in the direction of its axis, which is why a bicycle balances more easily when moving than when at rest.
🚁 المروحية والدوار الخلفي: يمنح الدوار الرئيسي زخمًا زاويًا للهواء فيتأثر الجسم بعزم معاكس، ويوفّر الدوار الخلفي عزمًا يلغيه فلا يدور الجسم.🚁 Helicopters and the tail rotor: The main rotor gives angular momentum to the air, so the body feels an opposite torque; the tail rotor supplies a balancing torque so the fuselage does not spin.
⭐ النجوم النيوترونية: عندما ينهار نجم كبير ويقل نصف قطره كثيرًا يقل \(I\) كثيرًا فتزداد سرعة دورانه إلى عدة دورات في الثانية، فتظهر كنجم نابض (Pulsar).⭐ Neutron stars: When a large star collapses and its radius shrinks enormously, \(I\) falls and its spin rises to many turns per second, giving a pulsar.

🎥 فيديو

🎥 Video

📝 ملخص الدرس

📝 Lesson Summary

\(L=I\omega\) ووحدته \(kg\cdot m^2/s\) واتجاهه كاتجاه \(\vec\omega\) (قاعدة اليد اليمنى)، ولجسيم \(L=mvr\sin\theta\).\(L=I\omega\) in \(kg\cdot m^2/s\), directed like \(\vec\omega\) (right-hand rule); for a particle \(L=mvr\sin\theta\).
الدفع الزاوي \(\tau\Delta t=L_f-L_i\) و \(\tau_{net}=\dfrac{dL}{dt}\).Angular impulse \(\tau\Delta t=L_f-L_i\) and \(\tau_{net}=\dfrac{dL}{dt}\).
إذا كان \(\tau_{ext}=0\) فإن \(I_i\omega_i=I_f\omega_f\).If \(\tau_{ext}=0\) then \(I_i\omega_i=I_f\omega_f\).
تغيّر \(I\) يغيّر \(\omega\) والعكس، وقد تتغير الطاقة الحركية رغم ثبات \(L\).Changing \(I\) changes \(\omega\) and vice versa, and kinetic energy can change even though \(L\) is constant.
في التصادمات غير المرنة (التحام) يُحفظ \(L\) وتضيع طاقة.In inelastic (sticking) collisions \(L\) is conserved and energy is lost.

🧪 اختبر نفسك: امتحان من 20 سؤالاً

🧪 Test Yourself: a 20-Question Exam

أنهِ الدرس بالاختبار التفاعلي التالي؛ أسئلته بمستوى متوسط وعالٍ وتجمع بين الفهم والحساب.

Finish with the interactive exam below; its questions are of medium and high difficulty and mix understanding with calculation.

🌀⚙️

اختبار الزخم الزاوي وحفظ الزخم Angular Momentum and Its Conservation Quiz

20 سؤالاً - الزخم الزاوي، الدفع الزاوي، حفظ الزخم، التصادم الدوراني، وتطبيقاته 20 Questions - Angular Momentum, Angular Impulse, Conservation, Rotational Collisions, and Applications

المعلوماتInfo

الأسئلةQuestions

النتائجResults

📌 تعليمات مهمة:
• عدد الأسئلة: 20 سؤالاً
• مدة الاختبار: 30 دقيقة
• لا يمكنك تغيير إجاباتك أو إعادة الاختبار إلا بعد 24 ساعة من التسليم.
• تأكد من إجاباتك قبل التسليم! 📌 Important Instructions:
• Number of questions: 20 questions
• Quiz duration: 30 minutes
• You cannot change your answers or retake the quiz for 24 hours after submission.
• Make sure of your answers before submitting!

الاسم الكاملFull Name

الصفGrade

المدرسةSchool

🔗 محاكيات خارجية للاستعانة بها عند اللزوم

🔗 External Simulations to Use When Needed

اضغط «تشغيل» لتعمل المحاكاة هنا داخل الدرس؛ ويمكن للطالب الرجوع إليها لتجربة الفكرة بطريقة أخرى.

Press “Run” to run the simulation right here inside the lesson; the student can use it to try the idea in another way.

محاكاة حفظ الزخم الزاوي (ثلاثية الأبعاد)Conservation of angular momentum (3D)

محاكاة التصادم والزخم الزاوي (ثلاثية الأبعاد)Collision and angular momentum (3D)

🌀 الزخم الزاوي وحفظ الزخم

🌀 ما الزخم الزاوي؟

🌀 What Is Angular Momentum?

📌 الزخم الزاوي لجسيم نقطي

📌 Angular Momentum of a Point Particle

🔄 القانون الثاني لنيوتن والدفع الزاوي

🔄 Newton’s Second Law and Angular Impulse

📜 الدفع الزاوي

📜 Angular Impulse

⚖️ قانون حفظ الزخم الزاوي

⚖️ Conservation of Angular Momentum

📜 نص القانون

📜 Statement of the Law

⚠️ الزخم محفوظ… والطاقة ليست كذلك دائمًا

⚠️ Momentum Is Conserved… Energy Not Always

⛸️ المتزلج: تغيير عزم القصور

⛸️ The Skater: Changing the Moment of Inertia

🧪 تجربة 1: اسحب الكتلتين وراقب السرعة الزاوية

🧪 Experiment 1: Pull the Masses In and Watch the Spin

💥 التصادم الدوراني: طين يسقط على قرص

💥 Rotational Collision: Clay Dropped on a Disc

🧪 تجربة 2: أسقِط قطعة الطين على القرص

🧪 Experiment 2: Drop the Clay onto the Disc

🌍 تطبيقات الزخم الزاوي

🌍 Applications of Angular Momentum

📚 أمثلة من الحياة والكون

📚 Examples from Life and the Cosmos

🎥 فيديو

🎥 Video

📝 ملخص الدرس

📝 Lesson Summary

🧪 اختبر نفسك: امتحان من 20 سؤالاً

🧪 Test Yourself: a 20-Question Exam

اختبار الزخم الزاوي وحفظ الزخم Angular Momentum and Its Conservation Quiz

نتيجة الاختبار Quiz Results

🔗 محاكيات خارجية للاستعانة بها عند اللزوم

🔗 External Simulations to Use When Needed