أنشطة: الحركة الدائرية المنتظمة ⇐ الحركة التوافقية البسيطة
Activities: Uniform Circular Motion ⇒ Simple Harmonic Motion
لكل نشاط: زر "طريقة الحل" + محاكاة تفاعلية.
Each activity has a "Solution" button and an interactive simulation.
نشاط (1): منشار كهربائي + بكرة (نقطة B و A)
Activity (1): Power Saw + Pulley (Points B and A)
الفكرة: نقطة على البكرة تتحرك على دائرة، ونقطة على المنشار تتحرك خطيًا ذهابًا وإيابًا.
Idea: a point on the pulley moves on a circle, while a point on the saw moves back and forth in a straight line.
أجب عن الأسئلة التالية:
- ما شكل مسار حركة النقطة \(B\) الموجودة على البكرة؟
- ما شكل مسار حركة النقطة \(A\) من المنشار؟
- هل حركة النقطة \(A\) باتّجاه واحد أم باتجاهين متعاكسين؟
Answer the following questions:
- What is the shape of the path of point \(B\) on the pulley?
- What is the shape of the path of point \(A\) on the saw?
- Does point \(A\) move in one direction, or in two opposite directions?
س1 — مسار النقطة \(B\) على البكرة: دائرة (حركة دائرية منتظمة).
س2 — مسار النقطة \(A\) على المنشار: مستقيم ذهابًا وإيابًا (اهتزاز يقارب الحركة التوافقية).
س3 — حركة \(A\): باتجاهين متعاكسين (يمين/يسار) أثناء الذهاب والإياب.
Q1 — Path of point \(B\) on the pulley: a circle (uniform circular motion).
Q2 — Path of point \(A\) on the saw: a straight line, back and forth (oscillation, approximately harmonic).
Q3 — Motion of \(A\): in two opposite directions (right/left) during the back-and-forth motion.
نشاط (2): كرة قرب محيط قرص + خيالها الضوئي على مستوٍ شاقولي
Activity (2): A Ball Near a Disk’s Rim + Its Light Shadow on a Vertical Plane
الفكرة: ظل نقطة تتحرك دائريًا يظهر كحركة توافقية بسيطة على خط.
Idea: the shadow of a point moving in a circle appears as simple harmonic motion on a line.
ثبَّتُ كرة صغيرة بالقرب من محيط قرص قابل للدوران حول محور، كما في الشكل. أسلط حزمة ضوئية ليتشكل خيال للكرة في مستوٍ شاقولي، وأُدير القرص بسرعة زاوية ثابتة بوساطة محرك كهربائي.
أصف حركة خيال الكرة على المستوي الشاقولي، وأقارن حركة الخيال بحركة جسم معلّق بنابض شاقولي.
A small ball is fixed near the rim of a disk that can rotate about an axis, as in the figure. A light beam projects a shadow of the ball onto a vertical plane, and the disk is turned at a constant angular speed by an electric motor.
Describe the motion of the ball’s shadow on the vertical plane, and compare it to the motion of a mass hanging from a vertical spring.
- عند تدوير القرص بسرعة زاوية ثابتة، تتحرك الكرة على دائرة.
- خيال الكرة على المستوي الشاقولي يتحرك على خط مستقيم ذهابًا وإيابًا (حركة توافقية بسيطة).
- المقارنة: حركة الخيال تشبه تمامًا حركة جسم معلّق بنابض (نفس التابع الزمني الجيبي).
- As the disk turns at constant angular speed, the ball moves on a circle.
- The ball’s shadow on the vertical plane moves on a straight line, back and forth (simple harmonic motion).
- Comparison: the shadow’s motion is exactly like that of a mass on a spring (same sinusoidal time function).
نشاط (3): كرة معدنية في وعاء دائري أملس (اهتزاز حول القاع)
Activity (3): A Metal Ball in a Smooth Circular Bowl (Oscillating About the Bottom)
الفكرة: تتذبذب الكرة على القوس حول موضع التوازن؛ سرعتها أكبر قرب المركز وتنعدم عند الطرفين.
Idea: the ball oscillates on the arc about the equilibrium position; its speed is greatest near the center and zero at the ends.
أجب عن الأسئلة التالية:
- هل تتحرك الكرة باتجاه واحد مقارنة بالنقطة \(A\)؟
- ماذا تمثل النقطة \(A\) مقارنة بحركة الكرة؟
- هل سرعة الكرة ثابتة وهي تتحرك؟
- في أي موضع تنعدم سرعة الكرة؟
Answer the following questions:
- Does the ball move in one direction only, compared with point \(A\)?
- What does point \(A\) represent, compared with the ball’s motion?
- Is the ball’s speed constant as it moves?
- At what position does the ball’s speed vanish?
- س1 — لا؛ حركة الكرة ليست باتجاه واحد مقارنة بالنقطة \(A\)، بل ذهاب وإياب على القوس.
- س2 — النقطة \(A\) تمثل موضعًا طرفيًا (حدّيًا) من حركة الاهتزاز (موضع أقصى إزاحة على الحافة).
- س3 — لا، السرعة ليست ثابتة بل تتغير.
- س4 — تنعدم السرعة عند موضعي الحدّين (النهايتين)، وتكون أعظمية قرب القاع (مركز الاهتزاز).
- Q1 — No; the ball does not move in one direction relative to point \(A\), but back and forth on the arc.
- Q2 — Point \(A\) represents an end (extreme) position of the oscillation (the position of maximum displacement at the edge).
- Q3 — No, the speed is not constant; it changes.
- Q4 — The speed vanishes at the two end positions, and is greatest near the bottom (the center of oscillation).
نشاط (4): حركة دائرية منتظمة + إسقاط على المحور x (اشتقاق SHM)
Activity (4): Uniform Circular Motion + Projection onto the x-Axis (Deriving SHM)
الفكرة: \(x\) هو مسقط \(\vec{OM}\) على المحور، فينتج \(x(t)=X_{max}\cos(\omega t+\varphi_0)\)، ونتعرّف على الطور والسعة والنبض.
Idea: \(x\) is the projection of \(\vec{OM}\) onto the axis, giving \(x(t)=X_{max}\cos(\omega t+\varphi_0)\); we identify the phase, amplitude and angular frequency.
أجب عن الأسئلة التالية:
- هل تتحرك النقطة على المحور باتجاه واحد مقارنة بالحركة الدائرية؟
- أسمّي الزاوية التي يصنعها \(\vec{OM}\) مع المحور \(\vec X\) في اللحظة \(t\).
- أبيّن هل طول الشعاع \(\vec{OM}\) ثابت أم متغيّر أثناء الدوران.
- أوضّح هل مسقط الشعاع \(\vec{OM}\) على المحور \(\vec X\) يتغيّر عند الدوران؟
- أكتب العلاقة \(\cos(\omega_0 t+\varphi)\) بدلالة \(x\) و\(X_{max}\).
Answer the following questions:
- Does the point on the axis move in one direction, compared with the circular motion?
- Name the angle that \(\vec{OM}\) makes with the axis \(\vec X\) at time \(t\).
- Show whether the length of \(\vec{OM}\) is constant or variable during the rotation.
- Explain whether the projection of \(\vec{OM}\) onto the axis \(\vec X\) changes as the disk rotates.
- Write the relation \(\cos(\omega_0 t+\varphi)\) in terms of \(x\) and \(X_{max}\).
1) عند \(t=0\) الزاوية بين \(OM\) ومحور \(x\) هي \(\varphi_0\) (الطور الابتدائي).
2) عند الزمن \(t\) الزاوية هي \(\varphi(t)=\omega t+\varphi_0\).
3) طول \(OM=X_{max}\) وهو ثابت، ويُدعى السعة.
4) المسقط على محور \(x\) يتغيّر مع الدوران: \(x=OM\cdot\cos(\varphi)\).
5) إذًا \(x(t)=X_{max}\cos(\omega t+\varphi_0)\) ⇒ تابع جيبي لحركة انسحابية توافقية بسيطة.
تعريفات: \(X_{max}\) السعة، \(\omega\) النبض (يقابل السرعة الزاوية)، \(\varphi_0\) الطور الابتدائي، \(\varphi(t)\) طور الحركة.
1) At \(t=0\) the angle between \(OM\) and the \(x\)-axis is \(\varphi_0\) (the initial phase).
2) At time \(t\) the angle is \(\varphi(t)=\omega t+\varphi_0\).
3) The length \(OM=X_{max}\) is constant, called the amplitude.
4) The projection on the \(x\)-axis changes as the point rotates: \(x=OM\cdot\cos(\varphi)\).
5) Hence \(x(t)=X_{max}\cos(\omega t+\varphi_0)\) ⇒ a sinusoidal function describing simple harmonic translational motion.
Definitions: \(X_{max}\) amplitude, \(\omega\) angular frequency (analogous to angular velocity), \(\varphi_0\) initial phase, \(\varphi(t)\) phase of the motion.
نشاط (5): نابض + كرة (قوة الإرجاع – السعة – الطاقة)
Activity (5): Spring + Ball (Restoring Force – Amplitude – Energy)
الكلمات المفتاحية: نابض، قوة الإرجاع، المطال، السعة، الدور، التواتر، الطاقة الكامنة المرونية، الطاقة الحركية.
Key terms: spring, restoring force, elongation, amplitude, period, frequency, elastic potential energy, kinetic energy.
أجب عن الأسئلة التالية:
- كرة كتلتها \(m\) مُعلَّقة بنابض مرن مهمل الكتلة، ثابت صلابته \(k\)، حلقات النابض متباعدة. عند وضع الكرة، ماذا تلاحظ؟
- أحدد القوى المؤثرة على الكرة بعد وصولها إلى وضع التوازن.
- أشدّ الكرة نحو الأسفل مسافة \(x_0\) مناسبة (ضمن حدود مرونة النابض) دون أن أتركها، وأحدد القوى المؤثرة على الكرة في هذه الحالة.
- أقارن بين قوة توتر النابض في حالة التوازن، وقوة توتره في الحالة المشدودة للأسفل.
- أترك الكرة لتتحرك، وألاحظ شكل مسار حركتها.
- ما طبيعة حركة الكرة عند اقترابها من مركز الاهتزاز (موضع التوازن)؟ وعند ابتعادها عنه؟
- أحدد المواضع التي تنعدم فيها سرعة الكرة.
Answer the following questions:
- A ball of mass \(m\) hangs from a massless spring of stiffness \(k\), whose coils are spaced apart. What do you notice when the ball is attached?
- Determine the forces acting on the ball once it reaches equilibrium.
- I pull the ball down a suitable distance \(x_0\) (within the spring’s elastic limit) without releasing it. Determine the forces acting on the ball in this case.
- Compare the spring tension at equilibrium with its tension when pulled down.
- I release the ball and observe the shape of its path.
- What is the nature of the ball’s motion as it approaches the center of oscillation (equilibrium)? And as it moves away from it?
- Determine the positions where the ball’s speed vanishes.
- 1) عند التعليق والتوازن: يتمدد النابض حتى تتوازن القوى.
- 2) القوى على الكرة بعد التوازن: الوزن \(mg\) للأسفل، وقوة توتر النابض للأعلى.
- 3) عند شدّ الكرة للأسفل مسافة \(A\) (ضمن المرونة): تصبح الإزاحة عن موضع التوازن \(x=A\).
- 4) توتر النابض عند الشدّ للأسفل أكبر من توتره عند التوازن.
- 5) عند ترك الكرة: مسارها خط مستقيم شاقولي (اهتزاز).
- 6) قرب مركز الاهتزاز (موضع التوازن): السرعة أكبر. بعيدًا عنه: السرعة تتناقص.
- 7) تنعدم السرعة عند موضعي الحدّين \(\pm A\).
الطاقة: \(E_p=\tfrac12kx^2\) أعظمية عند الحدّين، و\(E_k=\tfrac12mv^2\) أعظمية عند مركز الاهتزاز. الطاقة الميكانيكية ثابتة (بدون احتكاك).
الدور والتواتر: \(\omega=\sqrt{k/m}\)، الدور \(T=2\pi/\omega\)، التواتر \(f=1/T\).
- 1) On attaching and reaching equilibrium: the spring stretches until the forces balance.
- 2) Forces on the ball at equilibrium: weight \(mg\) downward, and spring tension upward.
- 3) Pulling the ball down a distance \(A\) (within elasticity): the displacement from equilibrium becomes \(x=A\).
- 4) The spring tension when pulled down is greater than its tension at equilibrium.
- 5) On release: the ball’s path is a straight vertical line (oscillation).
- 6) Near the center of oscillation (equilibrium): the speed is greatest. Farther from it: the speed decreases.
- 7) The speed vanishes at the two end positions \(\pm A\).
Energy: \(E_p=\tfrac12kx^2\) is maximum at the ends, and \(E_k=\tfrac12mv^2\) is maximum at the center of oscillation. Mechanical energy is conserved (no friction).
Period and frequency: \(\omega=\sqrt{k/m}\), period \(T=2\pi/\omega\), frequency \(f=1/T\).
النوّاس المرن (كتلة + نابض)
The Spring–Mass Oscillator
حالة السكون وحالة الحركة — استنتاج الحركة التوافقية البسيطة
The rest state and the motion state — deriving simple harmonic motion
1) حالة السكون (بعد تعليق الجسم وتركه حتى يتوازن)
1) The Rest State (after hanging the body and letting it settle)
- يستطيل النابض مسافة \(x_0\) (الاستطالة السكونية).
- القوى: الوزن للأسفل \(w=mg\)، توتر النابض للأعلى \(F_{s_0}\).
- شرط التوازن (المحصلة = صفر): \(F_{s_0}-w=0 \Rightarrow F_{s_0}=w\)
- وبحسب قانون هوك: \(F_{s_0}=kx_0\) ⇒ \(x_0=\dfrac{w}{k}=\dfrac{mg}{k}\)
- The spring stretches a distance \(x_0\) (the static elongation).
- Forces: weight downward \(w=mg\), spring tension upward \(F_{s_0}\).
- Equilibrium condition (net force = zero): \(F_{s_0}-w=0 \Rightarrow F_{s_0}=w\)
- By Hooke’s law: \(F_{s_0}=kx_0\) ⇒ \(x_0=\dfrac{w}{k}=\dfrac{mg}{k}\)
2) حالة الحركة (عند إزاحة الجسم عن موضع التوازن وتركه)
2) The Motion State (when the body is displaced from equilibrium and released)
- ليكن \(x\) هو المطال (الإزاحة) مقاسًا من موضع التوازن (مركز الاهتزاز).
- توتر النابض لحظة الحركة: \(F_s=k(x_0+x)\)
- بتطبيق نيوتن على المحور الشاقولي الموجب نحو الأسفل: \(ma=w-F_s\)
- نعوّض: \(ma=mg-k(x_0+x)\)
- لكن \(mg=kx_0\) ⇒ تختفي الحدود الثابتة فنحصل على: \(ma=-kx\)
- \(F=-kx\) وهي قوة إرجاع؛ الإشارة السالبة لأنها تعاكس الإزاحة وتعيد الجسم نحو مركز الاهتزاز.
- إذًا: \(a=-\left(\dfrac{k}{m}\right)x\)
- Let \(x\) be the elongation (displacement) measured from the equilibrium position (the center of oscillation).
- Spring tension during motion: \(F_s=k(x_0+x)\)
- Applying Newton’s law along the vertical axis, positive downward: \(ma=w-F_s\)
- Substituting: \(ma=mg-k(x_0+x)\)
- But \(mg=kx_0\) ⇒ the constant terms cancel, leaving: \(ma=-kx\)
- \(F=-kx\) is a restoring force; the minus sign means it opposes the displacement and pulls the body back toward the center of oscillation.
- Hence: \(a=-\left(\dfrac{k}{m}\right)x\)
3) طبيعة الحركة (استنتاج الحركة التوافقية البسيطة)
3) The Nature of the Motion (deriving simple harmonic motion)
- المعادلة التفاضلية: \(x''+\left(\dfrac{k}{m}\right)x=0\)
- حلها الجيبي: \(x(t)=X_{max}\cos(\omega t+\varphi_0)\)
- حيث \(\omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\) (النبض الخاص)، و\(\omega_0>0\) محقق لأن \(m,k\) موجبان.
- \(X_{max}\) السعة، و\(\varphi_0\) الطور الابتدائي.
- السرعة: \(v(t)=x'(t)=-\omega_0X_{max}\sin(\omega t+\varphi_0)\)
- التسارع: \(a(t)=x''(t)=-\omega_0^2X_{max}\cos(\omega t+\varphi_0)=-\omega_0^2x\)
- Differential equation: \(x''+\left(\dfrac{k}{m}\right)x=0\)
- Its sinusoidal solution: \(x(t)=X_{max}\cos(\omega t+\varphi_0)\)
- where \(\omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}\) (the natural angular frequency), and \(\omega_0>0\) since \(m,k\) are both positive.
- \(X_{max}\) is the amplitude, and \(\varphi_0\) is the initial phase.
- Velocity: \(v(t)=x'(t)=-\omega_0X_{max}\sin(\omega t+\varphi_0)\)
- Acceleration: \(a(t)=x''(t)=-\omega_0^2X_{max}\cos(\omega t+\varphi_0)=-\omega_0^2x\)
4) الدور والتواتر
4) The Period and Frequency
- الدور: الزمن اللازم لإتمام حركة كاملة \(T\).
- \(T=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}\)
- التواتر: عدد الاهتزازات الكاملة في الثانية الواحدة \(f\).
- \(f=\dfrac{1}{T}\)
- مهم: \(T\) لا يعتمد على السعة \(X_{max}\) (نواس مرن غير مخمَّد وضمن المرونة).
- The period: the time needed to complete one full cycle \(T\).
- \(T=\dfrac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{k}}\)
- The frequency: the number of complete oscillations per second \(f\).
- \(f=\dfrac{1}{T}\)
- Important: \(T\) does not depend on the amplitude \(X_{max}\) (undamped spring oscillator, within its elastic limit).
5) الطاقة في النواس المرن (بدون احتكاك)
5) Energy in the Spring Oscillator (no friction)
- الطاقة الكامنة المرونية: \(E_p=\tfrac12kx^2\)
- الطاقة الحركية: \(E_k=\tfrac12mv^2\)
- الطاقة الميكانيكية ثابتة: \(E=E_p+E_k=\tfrac12kX_{max}^2\)
- عند \(x=\pm X_{max}\): \(v=0\) ⇒ \(E_k=0\) و\(E_p\) أعظمية.
- عند \(x=0\): \(E_p=0\) ⇒ \(E_k\) أعظمية والسرعة أعظمية.
- Elastic potential energy: \(E_p=\tfrac12kx^2\)
- Kinetic energy: \(E_k=\tfrac12mv^2\)
- Mechanical energy is constant: \(E=E_p+E_k=\tfrac12kX_{max}^2\)
- At \(x=\pm X_{max}\): \(v=0\) ⇒ \(E_k=0\) and \(E_p\) is maximum.
- At \(x=0\): \(E_p=0\) ⇒ \(E_k\) is maximum and the speed is maximum.
أسئلة الاختيار من متعدد (10 أسئلة) ومسائل عالية المستوى
Multiple-Choice Questions (10) and Advanced Problems
اختبار تفاعلي مع شرح مفصّل للحلول.
An interactive quiz with detailed solutions.
في حالة السكون، يكون الوزن متوازنًا مع قوة النابض: \(mg=kx_0 \Rightarrow x_0=mg/k\).
الإجابة: mg/k
At rest, the weight balances the spring force: \(mg=kx_0 \Rightarrow x_0=mg/k\).
Answer: mg/k
من قانون نيوتن الثاني: \(ma=-kx\). بالتعويض \(a=x''\) نحصل على \(mx''=-kx \Rightarrow x''+(k/m)x=0\).
الإجابة: x''+(k/m)x=0
From Newton’s second law: \(ma=-kx\). Substituting \(a=x''\) gives \(mx''=-kx \Rightarrow x''+(k/m)x=0\).
Answer: x''+(k/m)x=0
من حل المعادلة التفاضلية \(x''+(k/m)x=0\)، نجد \(\omega^2=k/m \Rightarrow \omega=\sqrt{k/m}\).
الإجابة: ω=√(k/m)
From solving the differential equation \(x''+(k/m)x=0\), we get \(\omega^2=k/m \Rightarrow \omega=\sqrt{k/m}\).
Answer: ω=√(k/m)
الدور \(T\) مقلوب التردد \(f\)، وعلاقته بالنبض \(\omega\): \(T=2\pi/\omega=2\pi/\sqrt{k/m}=2\pi\sqrt{m/k}\).
الإجابة: T=2π√(m/k)
The period \(T\) is the reciprocal of the frequency \(f\), related to \(\omega\) by \(T=2\pi/\omega=2\pi/\sqrt{k/m}=2\pi\sqrt{m/k}\).
Answer: T=2π√(m/k)
عند النقاط القصوى \((x=\pm X_{max})\)، يتوقف الجسم لحظيًا قبل أن يعكس اتجاه حركته، لذا السرعة لحظيًا صفر.
الإجابة: مساوية للصفر
At the extreme points \((x=\pm X_{max})\), the body momentarily stops before reversing direction, so the speed is instantaneously zero.
Answer: Equal to zero
في النواس المرن المثالي (بدون قوى مبدِّدة كالاحتكاك)، الطاقة الميكانيكية الكلية تبقى محفوظة: \(E=E_k+E_p=\tfrac12kX_{max}^2=\)ثابت.
الإجابة: ثابتة
In the ideal spring oscillator (no dissipative forces such as friction), the total mechanical energy is conserved: \(E=E_k+E_p=\tfrac12kX_{max}^2=\)constant.
Answer: Constant
عند موضع التوازن \((x=0)\): الطاقة الكامنة \(E_p=\tfrac12kx^2=0\)، والسرعة أعظمية ⇒ الطاقة الحركية أعظمية، والقوة \(F=-kx=0\).
الإجابة: الطاقة الحركية أعظمية
At equilibrium \((x=0)\): the potential energy \(E_p=\tfrac12kx^2=0\), and the speed is maximum ⇒ the kinetic energy is maximum, and the force \(F=-kx=0\).
Answer: The kinetic energy is maximum
الدور \(T=2\pi\sqrt{m/k}\). إذا زادت \(m\) إلى \(4m\): \(T'=2\pi\sqrt{4m/k}=2\times2\pi\sqrt{m/k}=2T\).
الإجابة: يزداد مرتين
The period \(T=2\pi\sqrt{m/k}\). If \(m\) becomes \(4m\): \(T'=2\pi\sqrt{4m/k}=2\times2\pi\sqrt{m/k}=2T\).
Answer: Doubles
التردد \(f=\tfrac{1}{2\pi}\sqrt{k/m}\). إذا زاد \(k\) إلى \(4k\): \(f'=\tfrac{1}{2\pi}\sqrt{4k/m}=2f\).
الإجابة: يزداد مرتين
The frequency \(f=\tfrac{1}{2\pi}\sqrt{k/m}\). If \(k\) becomes \(4k\): \(f'=\tfrac{1}{2\pi}\sqrt{4k/m}=2f\).
Answer: Doubles
من معادلة الحركة: \(v(t)=-\omega X_{max}\sin(\omega t+\varphi_0)\). القيمة القصوى تحدث عندما \(|\sin(\cdot)|=1\)، إذًا \(v_{max}=\omega X_{max}\).
الإجابة: vmax=ωXmax
From the equation of motion: \(v(t)=-\omega X_{max}\sin(\omega t+\varphi_0)\). The maximum occurs when \(|\sin(\cdot)|=1\), so \(v_{max}=\omega X_{max}\).
Answer: vmax=ωXmax
مسائل عالية المستوى (5 مسائل)
Advanced Problems (5 Problems)
المسألة 1:
Problem 1:
نواس مرن كتلته \(0.5\;kg\) وثابت مرونة نابضه \(200\;N/m\). إذا سُحبت الكتلة مسافة \(0.1\;m\) من موضع التوازن ثم تُركت لتهتز، احسب: (أ) التردد الزاوي والدور والتردد. (ب) السرعة القصوى والعجلة القصوى. (جـ) الطاقة الكلية للنظام. (د) السرعة عندما تكون الإزاحة \(0.05\;m\).A spring oscillator has mass \(0.5\;kg\) and spring stiffness \(200\;N/m\). The mass is pulled \(0.1\;m\) from equilibrium and released. Find: (a) angular frequency, period and frequency. (b) maximum speed and maximum acceleration. (c) total energy. (d) the speed when the displacement is \(0.05\;m\).
\(m=0.5\;kg,\;k=200\;N/m,\;X_{max}=0.1\;m\)
\(\omega=\sqrt{k/m}=\sqrt{200/0.5}=\sqrt{400}=20\;rad/s\)
\(T=2\pi/\omega=2\pi/20\approx0.314\;s\)
\(f=1/T\approx3.18\;Hz\)
\(v_{max}=\omega X_{max}=20\times0.1=2\;m/s\)
\(a_{max}=\omega^2X_{max}=400\times0.1=40\;m/s^2\)
\(E=\tfrac12kX_{max}^2=\tfrac12\times200\times0.01=1\;J\)
عند \(x=0.05\): \(v=\omega\sqrt{X_{max}^2-x^2}=20\sqrt{0.01-0.0025}=20\sqrt{0.0075}\approx1.732\;m/s\)
\(m=0.5\;kg,\;k=200\;N/m,\;X_{max}=0.1\;m\)
\(\omega=\sqrt{k/m}=\sqrt{200/0.5}=\sqrt{400}=20\;rad/s\)
\(T=2\pi/\omega=2\pi/20\approx0.314\;s\)
\(f=1/T\approx3.18\;Hz\)
\(v_{max}=\omega X_{max}=20\times0.1=2\;m/s\)
\(a_{max}=\omega^2X_{max}=400\times0.1=40\;m/s^2\)
\(E=\tfrac12kX_{max}^2=\tfrac12\times200\times0.01=1\;J\)
At \(x=0.05\): \(v=\omega\sqrt{X_{max}^2-x^2}=20\sqrt{0.01-0.0025}=20\sqrt{0.0075}\approx1.732\;m/s\)
المسألة 2:
Problem 2:
نواس مرن يهتز بحيث تكون عجلته القصوى \(50\;m/s^2\) عندما تكون سرعته القصوى \(2\;m/s\). احسب سعة الاهتزاز والتردد الزاوي.A spring oscillator has maximum acceleration \(50\;m/s^2\) and maximum speed \(2\;m/s\). Find the amplitude and the angular frequency.
\(a_{max}=50,\;v_{max}=2\)
\(\omega=a_{max}/v_{max}=50/2=25\;rad/s\)
\(X_{max}=v_{max}/\omega=2/25=0.08\;m\)
\(a_{max}=50,\;v_{max}=2\)
\(\omega=a_{max}/v_{max}=50/2=25\;rad/s\)
\(X_{max}=v_{max}/\omega=2/25=0.08\;m\)
المسألة 3:
Problem 3:
نواس مرن طاقته الكلية \(8\;J\) وكتلته \(2\;kg\) وتردده \(2\;Hz\). احسب: (أ) ثابت مرونة النابض. (ب) سعة الاهتزاز. (جـ) السرعة عندما تكون الطاقة الحركية ضعف الطاقة الكامنة.A spring oscillator has total energy \(8\;J\), mass \(2\;kg\), frequency \(2\;Hz\). Find: (a) the spring stiffness. (b) the amplitude. (c) the speed when the kinetic energy is twice the potential energy.
\(E=8J,\;m=2kg,\;f=2Hz\)
\(\omega=2\pi f=4\pi\;rad/s\)
\(k=m\omega^2=2(4\pi)^2=32\pi^2\approx315.8\;N/m\)
\(X_{max}=\sqrt{2E/k}=\sqrt{16/(32\pi^2)}=1/(\pi\sqrt2)\approx0.225\;m\)
عندما \(E_k=2E_p\) ⇒ \(E_p=E/3\) ⇒ \(E_k=2E/3\)
\(\tfrac12mv^2=2E/3 \Rightarrow v=\sqrt{4E/(3m)}=\sqrt{32/6}=\sqrt{16/3}\approx2.31\;m/s\)
\(E=8J,\;m=2kg,\;f=2Hz\)
\(\omega=2\pi f=4\pi\;rad/s\)
\(k=m\omega^2=2(4\pi)^2=32\pi^2\approx315.8\;N/m\)
\(X_{max}=\sqrt{2E/k}=\sqrt{16/(32\pi^2)}=1/(\pi\sqrt2)\approx0.225\;m\)
When \(E_k=2E_p\) ⇒ \(E_p=E/3\) ⇒ \(E_k=2E/3\)
\(\tfrac12mv^2=2E/3 \Rightarrow v=\sqrt{4E/(3m)}=\sqrt{32/6}=\sqrt{16/3}\approx2.31\;m/s\)
المسألة 4:
Problem 4:
نواس مرن يهتز بحيث تكون سرعته \(1\;m/s\) عندما تكون إزاحته \(0.05\;m\)، وسرعته \(0.5\;m/s\) عندما تكون إزاحته \(0.08\;m\). احسب سعة الاهتزاز والتردد الزاوي.A spring oscillator has speed \(1\;m/s\) at displacement \(0.05\;m\), and speed \(0.5\;m/s\) at displacement \(0.08\;m\). Find the amplitude and the angular frequency.
\(v=\omega\sqrt{X^2-x^2}\)
\(1=\omega\sqrt{X^2-0.0025}\) …(1)
\(0.5=\omega\sqrt{X^2-0.0064}\) …(2)
بقسمة (1)/(2): \(2=\sqrt{(X^2-0.0025)/(X^2-0.0064)}\)
\(4(X^2-0.0064)=X^2-0.0025 \Rightarrow 3X^2=0.0231 \Rightarrow X^2=0.0077 \Rightarrow X\approx0.08775\;m\)
\(\omega=1/\sqrt{0.0077-0.0025}\approx13.87\;rad/s\)
\(v=\omega\sqrt{X^2-x^2}\)
\(1=\omega\sqrt{X^2-0.0025}\) …(1)
\(0.5=\omega\sqrt{X^2-0.0064}\) …(2)
Dividing (1)/(2): \(2=\sqrt{(X^2-0.0025)/(X^2-0.0064)}\)
\(4(X^2-0.0064)=X^2-0.0025 \Rightarrow 3X^2=0.0231 \Rightarrow X^2=0.0077 \Rightarrow X\approx0.08775\;m\)
\(\omega=1/\sqrt{0.0077-0.0025}\approx13.87\;rad/s\)
المسألة 5:
Problem 5:
نواس مرن مكوَّن من كتلة \(0.2\;kg\) معلَّقة بنابض. عندما نزيح الكتلة \(0.05\;m\) من موضع التوازن ونتركها، نجد أنها تكمل \(20\) اهتزازة كاملة في \(10\) ثوانٍ. احسب: (أ) ثابت مرونة النابض. (ب) الطاقة الكلية للنظام. (جـ) معادلة الحركة إذا بدأت الحركة من السكون عند الإزاحة القصوى.A spring oscillator has mass \(0.2\;kg\). When displaced \(0.05\;m\) from equilibrium and released, it completes \(20\) full oscillations in \(10\) seconds. Find: (a) the spring stiffness. (b) the total energy. (c) the equation of motion if it starts from rest at maximum displacement.
\(m=0.2kg,\;X_{max}=0.05m\)، 20 اهتزازة في 10s
\(T=10/20=0.5\;s \Rightarrow f=2\;Hz\)
\(\omega=2\pi f=4\pi\approx12.57\;rad/s\)
\(k=m\omega^2=0.2(4\pi)^2=3.2\pi^2\approx31.58\;N/m\)
\(E=\tfrac12kX^2=\tfrac12\times31.58\times(0.05)^2\approx0.0395\;J\)
\(x(t)=0.05\cos(4\pi t)\)
\(v(t)=-0.2\pi\sin(4\pi t)\)
\(a(t)=-0.8\pi^2\cos(4\pi t)\)
\(m=0.2kg,\;X_{max}=0.05m\), 20 oscillations in 10s
\(T=10/20=0.5\;s \Rightarrow f=2\;Hz\)
\(\omega=2\pi f=4\pi\approx12.57\;rad/s\)
\(k=m\omega^2=0.2(4\pi)^2=3.2\pi^2\approx31.58\;N/m\)
\(E=\tfrac12kX^2=\tfrac12\times31.58\times(0.05)^2\approx0.0395\;J\)
\(x(t)=0.05\cos(4\pi t)\)
\(v(t)=-0.2\pi\sin(4\pi t)\)
\(a(t)=-0.8\pi^2\cos(4\pi t)\)
الشكل العام لتابع المطال
The General Form of the Elongation Function
حيث: \(x(t)\): المطال (الإزاحة) عند الزمن \(t\). \(X_{max}\): السعة القصوى (المطال الأعظمي). \(\omega_0\): النبض الزاوي (التردد الزاوي). \(\varphi\): الطور الابتدائي.
Where: \(x(t)\): the elongation (displacement) at time \(t\). \(X_{max}\): the maximum amplitude. \(\omega_0\): the angular frequency. \(\varphi\): the initial phase.
حالة خاصة: عندما يكون الجسم في مطاله الأعظمي الموجب عند t=0
Special Case: the Body Is at Its Maximum Positive Elongation at t=0
إذا كان الجسم عند \(x=+X_{max}\) في اللحظة \(t=0\)، فإن:
If the body is at \(x=+X_{max}\) at \(t=0\), then:
وبالتالي يصبح التابع مختزلًا إلى:
The function then reduces to:
وبما أن \(\omega_0=2\pi/T\)، حيث \(T\) هو الدور، يصبح:
And since \(\omega_0=2\pi/T\), where \(T\) is the period, this becomes:
محاكاة تفاعلية للحركة التوافقية
Interactive Simulation of the Harmonic Motion
جدول تغيّرات المطال بدلالة الزمن
Table of Elongation vs. Time
| الزمن tTime t | 0 | T/4 | T/2 | 3T/4 | T |
|---|---|---|---|---|---|
| المطال xElongation x | +Xmax | 0 | -Xmax | 0 | +Xmax |
الأسئلة التفاعلية:
Interactive Questions:
- أرسم المنحنى البياني لتغيّرات المطال بدلالة الزمن خلال دور كامل.
- أحدد المواضع التي يأخذ فيها المطال: قيمة عظمى (طولية)، وقيمة معدومة.
- أحدد مطال الجسم في اللحظة \(t=3T/2\).
- Sketch the graph of elongation vs. time over one full period.
- Identify the positions where the elongation takes: a maximum value, and a zero value.
- Find the body’s elongation at time \(t=3T/2\).
الاستنتاج:
- المطال أعظمي \(|x|=X_{max}\) في الموضعين الطرفيين.
- المطال معدوم \(x=0\) في مركز الاهتزاز.
Conclusion:
- The elongation is maximum \(|x|=X_{max}\) at the two end positions.
- The elongation is zero \(x=0\) at the center of oscillation.
تابع السرعة
The Velocity Function
تابع السرعة هو المشتق الأول لتابع المطال بالنسبة للزمن:
The velocity function is the first time-derivative of the elongation function:
| الزمن tTime t | 0 | T/4 | T/2 | 3T/4 | T |
|---|---|---|---|---|---|
| السرعة vVelocity v | 0 | -Xmax·ω0 | 0 | +Xmax·ω0 | 0 |
الأسئلة التفاعلية:
Interactive Questions:
- أرسم المنحنى البياني لتغيّرات السرعة بدلالة الزمن خلال دور كامل.
- أحدد المواضع التي تأخذ فيها السرعة: قيمة عظمى (طولية)، وقيمة معدومة.
- أحدد قيمة سرعة الجسم وجهة حركته في اللحظة \(t=5T/4\).
- Sketch the graph of velocity vs. time over one full period.
- Identify the positions where the velocity takes: a maximum value, and a zero value.
- Find the body’s speed and direction of motion at time \(t=5T/4\).
الاستنتاج:
- السرعة أعظمية \(|v|=X_{max}\omega_0\) لحظة المرور في مركز الاهتزاز.
- السرعة معدومة \(v=0\) لحظة الوجود في المطالين الأعظميين (الموضعين الطرفيين).
Conclusion:
- The speed is maximum \(|v|=X_{max}\omega_0\) at the instant of passing through the center of oscillation.
- The speed is zero \(v=0\) at the instant the body is at the two extreme elongations.
تابع التسارع
The Acceleration Function
تابع التسارع هو المشتق الأول لتابع السرعة بالنسبة للزمن، وهو المشتق الثاني لتابع المطال:
The acceleration function is the first time-derivative of the velocity function, and the second derivative of the elongation function:
| الزمن tTime t | 0 | T/4 | T/2 | 3T/4 | T |
|---|---|---|---|---|---|
| التسارع aAcceleration a | -Xmax·ω0² | 0 | +Xmax·ω0² | 0 | -Xmax·ω0² |
الأسئلة التفاعلية:
Interactive Questions:
- أرسم المنحنى البياني لتغيّرات التسارع بدلالة الزمن خلال دور كامل.
- أحدد المواضع التي يأخذ فيها التسارع: قيمة عظمى (طولية)، وقيمة معدومة.
- أحدد قيمة تسارع الجسم في اللحظة \(t=5T/2\).
- أتساءل: أثناء حركة الجسم، هل قيمة التسارع ثابتة أم متغيّرة؟
- Sketch the graph of acceleration vs. time over one full period.
- Identify the positions where the acceleration takes: a maximum value, and a zero value.
- Find the body’s acceleration at time \(t=5T/2\).
- Question: as the body moves, is the acceleration constant or variable?
الاستنتاج:
- التسارع أعظمي \(|a|=X_{max}\omega_0^2\) لحظة الوجود في المطالين الأعظميين (الموضعين الطرفيين).
- التسارع معدوم \(a=0\) عند المرور في مركز الاهتزاز.
- التسارع غير ثابت، تتغيّر قيمته بتغيّر قيمة المطال.
Conclusion:
- The acceleration is maximum \(|a|=X_{max}\omega_0^2\) at the two extreme elongations.
- The acceleration is zero \(a=0\) at the instant of passing through the center of oscillation.
- The acceleration is not constant; it varies with the elongation.
الطاقة في الحركة التوافقية البسيطة
Energy in Simple Harmonic Motion
الطاقة الميكانيكية للنواس المرن (غير المتخامد) هي مجموع الطاقتين: الكامنة المرونية والحركية:
The mechanical energy of the (undamped) spring oscillator is the sum of two energies: elastic potential and kinetic:
الطاقة الكامنة المرونية للنابض:
The elastic potential energy of the spring:
الطاقة الحركية للجسم:
The kinetic energy of the body:
وبما أن \(\omega_0^2=k/m\)، تصبح الطاقة الكلية:
And since \(\omega_0^2=k/m\), the total energy becomes:
نشاط تفاعلي:
Interactive Activity:
- أحدد المواضع التي تكون فيها كل من الطاقتين الحركية والكامنة المرونية: عظمى، ومعدومة.
- Identify the positions at which each of the kinetic and elastic potential energies is: maximum, and zero.
تطبيق عملي
Practical Application
نواس مرن أفقي مكوَّن من جسم ونابض مرن، تابعه الزمني للمطال:
A horizontal spring oscillator (body + spring) has the following elongation function:
المطلوب:
Required:
- حدد ثوابت الحركة لهذا النواس.
- احسب دور الحركة \(T_0\).
- حدد موضع المتحرك (الجسم) في لحظة بدء الزمن.
- Identify the constants of motion for this oscillator.
- Find the period \(T_0\).
- Find the position of the body at the initial instant.
اكتب ثوابت الحركة في الحقول أدناه ثم اضغط على "تحقق من الحل".
Enter the constants of motion in the fields below, then click "Check Solution".
ملخص القوانين الهامة:
- قوة الإرجاع: \(F=-kx\) (تتناسب طرديًا مع المطال وتعاكسه بالإشارة)
- حركة النواس المرن: حركة انسحابية جيبية الشكل
- دور النواس المرن: \(T=2\pi\sqrt{m/k}\) أو \(\omega_0=\sqrt{k/m}\)
- الطاقة الحركية: \(E_k=\tfrac12mv^2=\tfrac12mX_{max}^2\omega_0^2\sin^2(\omega_0 t+\varphi)\)
- الطاقة الكامنة المرونية: \(E_p=\tfrac12kx^2=\tfrac12kX_{max}^2\cos^2(\omega_0 t+\varphi)\)
Summary of the Key Laws:
- Restoring force: \(F=-kx\) (directly proportional to the elongation, opposite in sign)
- Motion of the spring oscillator: sinusoidal translational motion
- Period of the spring oscillator: \(T=2\pi\sqrt{m/k}\), or \(\omega_0=\sqrt{k/m}\)
- Kinetic energy: \(E_k=\tfrac12mv^2=\tfrac12mX_{max}^2\omega_0^2\sin^2(\omega_0 t+\varphi)\)
- Elastic potential energy: \(E_p=\tfrac12kx^2=\tfrac12kX_{max}^2\cos^2(\omega_0 t+\varphi)\)
أسئلة فيزياء مع الحلول التفاعلية
Physics Questions with Interactive Solutions
الجزء الأول: اختر الإجابة الصحيحة
Part One: Choose the Correct Answer
(شكل يوضح حركة هزازة جيبية مع البيانات: \(\omega=1\;rad/s\)، \(X_{max}=8\;cm\)، \(v_0=0\) عند \(t=0\))
(Figure showing a sinusoidal oscillator with the data: \(\omega=1\;rad/s\), \(X_{max}=8\;cm\), \(v_0=0\) at \(t=0\))
الشرح: من الشكل نلاحظ أن عند \(t=0\) يكون \(x=0\)، والجسم يتحرك في الاتجاه الموجب.
المعادلة العامة: \(x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)\)، حيث \(A=0.08\;m,\;\omega=1\;rad/s\).
عند \(t=0\): \(x(0)=0.08\cos(\varphi)=0 \Rightarrow \cos(\varphi)=0 \Rightarrow \varphi=\pm\pi/2\).
السرعة: \(v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)\). عند \(t=0\): \(v(0)=-0.08\sin(\varphi)>0\) (الجسم يتحرك في الاتجاه الموجب).
إذًا: \(-0.08\sin(\varphi)>0 \Rightarrow \sin(\varphi)<0 \Rightarrow \varphi=-\pi/2\) (أي ما يكافئ \(+\pi/2\) بإشارة السرعة المعاكسة).
بالتالي: \(x(t)=0.08\cos(t+\pi/2)\).
Explanation: From the figure, at \(t=0\) we have \(x=0\), and the body moves in the positive direction.
General equation: \(x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)\), where \(A=0.08\;m,\;\omega=1\;rad/s\).
At \(t=0\): \(x(0)=0.08\cos(\varphi)=0 \Rightarrow \cos(\varphi)=0 \Rightarrow \varphi=\pm\pi/2\).
Velocity: \(v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)\). At \(t=0\): \(v(0)=-0.08\sin(\varphi)>0\) (positive direction).
So: \(-0.08\sin(\varphi)>0 \Rightarrow \sin(\varphi)<0\), consistent with \(\varphi=+\pi/2\) once the sign convention is applied.
Hence: \(x(t)=0.08\cos(t+\pi/2)\).
رسم بياني يوضح تغيّر السرعة مع الزمن: منحنى جيبي، السرعة القصوى \(v_{max}=0.2\pi\;m/s\)، الدور \(T=2\;s\)
A graph of velocity vs. time: a sinusoidal curve with maximum speed \(v_{max}=0.2\pi\;m/s\) and period \(T=2\;s\)
الشرح: من الرسم: \(v_{max}=0.2\pi\;m/s\)، \(T=2\;s\)، وعند \(t=0\) السرعة صفر وتتحرك في الاتجاه السالب (الميل سالب).
\(\omega=2\pi/T=2\pi/2=\pi\;rad/s\).
\(v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)\)، حيث \(A\omega=v_{max}=0.2\pi \Rightarrow A=0.2\;m\).
عند \(t=0\): \(v(0)=-0.2\pi\sin(\varphi)=0 \Rightarrow \varphi=0\) أو \(\pi\).
بما أن السرعة تتناقص عند \(t=0\) (التسارع سالب): \(a(0)=-A\omega^2\cos(\varphi)<0 \Rightarrow \cos(\varphi)>0 \Rightarrow \varphi=0\).
بالتالي: \(v(t)=-0.2\pi\sin(\pi t)\).
Explanation: From the graph: \(v_{max}=0.2\pi\;m/s\), \(T=2\;s\), and at \(t=0\) the velocity is zero and decreasing (negative slope).
\(\omega=2\pi/T=2\pi/2=\pi\;rad/s\).
\(v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)\), where \(A\omega=v_{max}=0.2\pi \Rightarrow A=0.2\;m\).
At \(t=0\): \(v(0)=-0.2\pi\sin(\varphi)=0 \Rightarrow \varphi=0\) or \(\pi\).
Since the velocity is decreasing at \(t=0\) (negative acceleration): \(a(0)=-A\omega^2\cos(\varphi)<0 \Rightarrow \cos(\varphi)>0 \Rightarrow \varphi=0\).
Hence: \(v(t)=-0.2\pi\sin(\pi t)\).
شكل يوضح هزازتين: الأولى كتلتها \(m_1=0.5\;kg\) وثابت النابض \(k_1=20\;N/m\)، والثانية كتلتها \(m_2=1\;kg\) وثابت النابض \(k_2=10\;N/m\)
Figure showing two oscillators: the first has mass \(m_1=0.5\;kg\) and spring constant \(k_1=20\;N/m\); the second has mass \(m_2=1\;kg\) and spring constant \(k_2=10\;N/m\)
الشرح:
\(T_1=2\pi\sqrt{m_1/k_1}=2\pi\sqrt{0.5/20}=2\pi\sqrt{0.025}\approx1\;s\)
\(T_2=2\pi\sqrt{m_2/k_2}=2\pi\sqrt{1/10}=2\pi\sqrt{0.1}\approx2\;s\)
\(\omega_1=2\pi/T_1=2\pi\;rad/s,\quad \omega_2=2\pi/T_2=\pi\;rad/s\)
بافتراض أن الحركتين تبدآن من مركز الاهتزاز باتجاه موجب: \(x_1(t)=A\sin(2\pi t),\;x_2(t)=A\sin(\pi t)\).
عند \(t=3\;s\): \(x_1(3)=A\sin(6\pi)=0,\quad x_2(3)=A\sin(3\pi)=0\).
إذًا كلا الجسمين في مركز الاهتزاز عند \(t=3\;s\)، فيلتقيان هناك.
Explanation:
\(T_1=2\pi\sqrt{m_1/k_1}=2\pi\sqrt{0.5/20}=2\pi\sqrt{0.025}\approx1\;s\)
\(T_2=2\pi\sqrt{m_2/k_2}=2\pi\sqrt{1/10}=2\pi\sqrt{0.1}\approx2\;s\)
\(\omega_1=2\pi/T_1=2\pi\;rad/s,\quad \omega_2=2\pi/T_2=\pi\;rad/s\)
Assuming both start from the center of oscillation moving in the positive direction: \(x_1(t)=A\sin(2\pi t),\;x_2(t)=A\sin(\pi t)\).
At \(t=3\;s\): \(x_1(3)=A\sin(6\pi)=0,\quad x_2(3)=A\sin(3\pi)=0\).
So both bodies are at the center of oscillation at \(t=3\;s\), and they meet there.
الجزء الثاني: الإجابة عن الأسئلة
Part Two: Answer the Questions
الخطوات:
نبدأ من معادلة الحركة التوافقية البسيطة: \(x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)\)
نوجد السرعة بمفاضلة الإزاحة بالنسبة للزمن: \(v(t)=dx/dt=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)\)
نستخدم العلاقة المثلثية \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\): من معادلة الإزاحة \(\cos(\omega t+\varphi)=x/A\)، ومن معادلة السرعة \(\sin(\omega t+\varphi)=-v/(A\omega)\).
بالتعويض: \((-v/(A\omega))^2+(x/A)^2=1\)
نبسّط: \(v^2/(A^2\omega^2)+x^2/A^2=1 \Rightarrow v^2/(A^2\omega^2)=(A^2-x^2)/A^2\)
نضرب الطرفين في \(A^2\omega^2\): \(v^2=\omega^2(A^2-x^2)\)، وهو المطلوب إثباته.
Steps:
Start from the SHM equation: \(x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)\)
Differentiate to get the velocity: \(v(t)=dx/dt=-A\omega\sin(\omega t+\varphi)\)
Use \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\): from the displacement equation \(\cos(\omega t+\varphi)=x/A\), and from the velocity equation \(\sin(\omega t+\varphi)=-v/(A\omega)\).
Substitute: \((-v/(A\omega))^2+(x/A)^2=1\)
Simplify: \(v^2/(A^2\omega^2)+x^2/A^2=1 \Rightarrow v^2/(A^2\omega^2)=(A^2-x^2)/A^2\)
Multiplying both sides by \(A^2\omega^2\): \(v^2=\omega^2(A^2-x^2)\), which is the required identity.
أ) ادرس حركة الجسم، واستنتج التابع الزمني للمطال.
ب) استنتج علاقة الطاقة الحركية للجسم بدلالة \(X_{max}\) في كل من الموضعين \(A\) و\(B\) حيث \(x_A=-\dfrac{X_{max}}{2}\) و\(x_B=+\dfrac{X_{max}}{\sqrt2}\)
In the adjacent figure, a massless spring of stiffness \(k\) is attached to a body of mass \(m\) that can move on a smooth horizontal surface. The body is pulled a suitable distance and released from rest.(a) Study the body’s motion and derive the elongation function.
(b) Derive the kinetic energy of the body in terms of \(X_{max}\) at each of positions \(A\) and \(B\), where \(x_A=-\dfrac{X_{max}}{2}\) and \(x_B=+\dfrac{X_{max}}{\sqrt2}\)
الجزء (أ): دراسة حركة الجسم واستنتاج التابع الزمني للمطال
القوة المؤثرة على الجسم هي القوة المرنة للنابض: \(F=-kx\). بتطبيق قانون نيوتن الثاني \(F=ma\)، نحصل على \(-kx=ma\) أو \(a=-(k/m)x\).
بما أن \(a=d^2x/dt^2\)، تصبح المعادلة: \(d^2x/dt^2=-(k/m)x\)، وهي معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية تمثل حركة اهتزازية بسيطة.
حل المعادلة: \(x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)\) حيث \(\omega=\sqrt{k/m}\) هو التردد الزاوي للحركة، \(A\) سعة الاهتزاز، \(\varphi\) ثابت الطور.
النتيجة: التابع الزمني للمطال هو \(x(t)=X_0\cos(\sqrt{k/m}\,t)\) حيث \(X_0\) هي السعة الابتدائية (أقصى إزاحة).
الجزء (ب): الطاقة الحركية
عند النقطة \(A\): \(x_A=-X_{max}/2\)
\(K_A=\tfrac12k\left[X_{max}^2-\left(\dfrac{X_{max}}{2}\right)^2\right]=\tfrac12k\left[X_{max}^2-\dfrac{X_{max}^2}{4}\right]=\dfrac{3}{8}kX_{max}^2\)
عند النقطة \(B\): \(x_B=+X_{max}/\sqrt2\)
\(K_B=\tfrac12k\left[X_{max}^2-\left(\dfrac{X_{max}}{\sqrt2}\right)^2\right]=\tfrac12k\left[X_{max}^2-\dfrac{X_{max}^2}{2}\right]=\dfrac{1}{4}kX_{max}^2\)
الاستنتاج: الطاقة الحركية عند \(A\) أكبر منها عند \(B\) لأن \(A\) أقرب إلى موضع الاتزان.
Part (a): Studying the motion and deriving the elongation function
The force on the body is the spring’s elastic force: \(F=-kx\). Applying Newton’s second law \(F=ma\) gives \(-kx=ma\), i.e. \(a=-(k/m)x\).
Since \(a=d^2x/dt^2\), the equation becomes \(d^2x/dt^2=-(k/m)x\) — a second-order differential equation describing simple oscillatory motion.
Its solution is \(x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)\), where \(\omega=\sqrt{k/m}\) is the angular frequency, \(A\) the amplitude, and \(\varphi\) the phase constant.
Result: the elongation function is \(x(t)=X_0\cos(\sqrt{k/m}\,t)\), where \(X_0\) is the initial amplitude (maximum displacement).
Part (b): Kinetic energy
At point \(A\): \(x_A=-X_{max}/2\)
\(K_A=\tfrac12k\left[X_{max}^2-\left(\dfrac{X_{max}}{2}\right)^2\right]=\tfrac12k\left[X_{max}^2-\dfrac{X_{max}^2}{4}\right]=\dfrac{3}{8}kX_{max}^2\)
At point \(B\): \(x_B=+X_{max}/\sqrt2\)
\(K_B=\tfrac12k\left[X_{max}^2-\left(\dfrac{X_{max}}{\sqrt2}\right)^2\right]=\tfrac12k\left[X_{max}^2-\dfrac{X_{max}^2}{2}\right]=\dfrac{1}{4}kX_{max}^2\)
Conclusion: the kinetic energy at \(A\) is greater than at \(B\), because \(A\) is closer to the equilibrium position.
الجزء الثالث: حل المسائل
Part Three: Solve the Problems
المسألة الأولى:
Problem One:
المطلوب: 1) أوجد قيم ثوابت الحركة ودورها الخاص. 2) احسب كتلة الجسم \(m\). 3) احسب قيمة السرعة في موضع المطال والجسم يتحرك بالاتجاه الموجب. 4) حدد موضع الجسم وجهة حركته لحظة بدء الزمن.
Required: 1) find the constants of motion and the natural period. 2) find the mass \(m\). 3) find the speed at the elongation position while the body moves in the positive direction. 4) find the body’s position and direction of motion at the initial instant.
1) ثوابت الحركة والدور الخاص: من المعادلة \(x(t)=0.1\cos(2t+\pi/2)\): المطال \(A=0.1\;m\)، النبض \(\omega=2\;rad/s\)، الطور الابتدائي \(\varphi=\pi/2\;rad\).
الدور: \(T=2\pi/\omega=2\pi/2=\pi\approx3.14\;s\)
2) كتلة الجسم: \(\omega=\sqrt{k/m} \Rightarrow m=k/\omega^2=10/4=2.5\;kg\)
3) السرعة في موضع المطال: في موضع المطال \((x=\pm A)\)، تكون السرعة صفرًا لأن كل الطاقة كامنة. السرعة العامة: \(v(t)=-0.2\sin(2t+\pi/2)\).
4) الموضع والاتجاه عند t=0: \(x(0)=0.1\cos(\pi/2)=0\)، و\(v(0)=-0.2\sin(\pi/2)=-0.2\;m/s\). إذًا الجسم عند مركز الاهتزاز \((x=0)\) ويتحرك في الاتجاه السالب.
1) Constants of motion and natural period: from \(x(t)=0.1\cos(2t+\pi/2)\): amplitude \(A=0.1\;m\), angular frequency \(\omega=2\;rad/s\), initial phase \(\varphi=\pi/2\;rad\).
Period: \(T=2\pi/\omega=2\pi/2=\pi\approx3.14\;s\)
2) The mass: \(\omega=\sqrt{k/m} \Rightarrow m=k/\omega^2=10/4=2.5\;kg\)
3) Speed at maximum elongation: at \(x=\pm A\), the speed is zero since all the energy is potential. General speed: \(v(t)=-0.2\sin(2t+\pi/2)\).
4) Position and direction at t=0: \(x(0)=0.1\cos(\pi/2)=0\), and \(v(0)=-0.2\sin(\pi/2)=-0.2\;m/s\). So the body is at the center of oscillation \((x=0)\), moving in the negative direction.
المسألة الثانية:
Problem Two:
المطلوب: 1) استنتج قيمة ثابت صلابة النابض \(k\). 2) احسب الدور الخاص للحركة. 3) احسب قيمة السرعة عند المرور في مركز الاهتزاز.
Required: 1) find the spring stiffness \(k\). 2) find the natural period of the motion. 3) find the speed when passing through the center of oscillation.
1) ثابت الصلابة k: \(U=\tfrac12kx^2\). من الرسم: عند \(x=0.1\;m\)، \(U=0.05\;J\).
\(0.05=\tfrac12k(0.1)^2=0.005k \Rightarrow k=10\;N/m\)
2) الدور الخاص: \(\omega=\sqrt{k/m}=\sqrt{10/0.4}=\sqrt{25}=5\;rad/s\)، \(T=2\pi/\omega=2\pi/5\approx1.257\;s\)
3) السرعة في مركز الاهتزاز: عند \(x=0\)، تتحول كل الطاقة الكامنة إلى طاقة حركية: \(\tfrac12mv_{max}^2=U_{max}=0.05\;J\)
\(\tfrac12\times0.4\times v_{max}^2=0.05 \Rightarrow v_{max}^2=0.25 \Rightarrow v_{max}=0.5\;m/s\)
1) Spring stiffness k: \(U=\tfrac12kx^2\). From the graph: at \(x=0.1\;m\), \(U=0.05\;J\).
\(0.05=\tfrac12k(0.1)^2=0.005k \Rightarrow k=10\;N/m\)
2) Natural period: \(\omega=\sqrt{k/m}=\sqrt{10/0.4}=\sqrt{25}=5\;rad/s\), \(T=2\pi/\omega=2\pi/5\approx1.257\;s\)
3) Speed at the center of oscillation: at \(x=0\), all potential energy converts to kinetic energy: \(\tfrac12mv_{max}^2=U_{max}=0.05\;J\)
\(\tfrac12\times0.4\times v_{max}^2=0.05 \Rightarrow v_{max}^2=0.25 \Rightarrow v_{max}=0.5\;m/s\)
المسألة الثالثة:
Problem Three:
المطلوب: 1) استنتج علاقة الاستطالة السكونية لهذا النابض، ثم احسب قيمتها. 2) احسب قيمة السرعة العظمى (طويلة). 3) احسب قيمة التسارع في موضع \(x=6\;cm\). 4) احسب الطاقة الكامنة المرونية في موضع \(x=-4\;cm\) واحسب الطاقة الحركية عندئذ.
Required: 1) derive the relation for the static elongation of this spring, then find its value. 2) find the maximum speed. 3) find the acceleration at \(x=6\;cm\). 4) find the elastic potential energy at \(x=-4\;cm\) and the kinetic energy at that instant.
1) الاستطالة السكونية: \(f=10/10=1\;Hz\)، \(T=1/f=1\;s\). \(T=2\pi\sqrt{m/k} \Rightarrow k=4\pi^2\approx39.48\;N/m\)
عند التوازن: \(mg=k\Delta y \Rightarrow \Delta y=mg/k=(1\times9.8)/39.48\approx0.248\;m\approx24.8\;cm\)
2) السرعة العظمى: \(\omega=2\pi f=2\pi\;rad/s\)، والسعة معطاة \(X_{max}=0.1\;m\): \(v_{max}=X_{max}\omega=0.1\times2\pi\approx0.628\;m/s\)
3) التسارع عند x=6 cm=0.06 m: \(a=-\omega^2x=-(2\pi)^2\times0.06\approx-2.37\;m/s^2\)
4) الطاقة عند x=-4 cm=-0.04 m: \(U=\tfrac12kx^2=\tfrac12\times39.48\times(0.04)^2\approx0.0316\;J\)
الطاقة الحركية عند هذا الموضع (\(X_{max}=0.1\;m\)): \(K=\tfrac12k(X_{max}^2-x^2)=\tfrac12\times39.48\times(0.01-0.0016)\approx0.1658\;J\)
للتحقق: \(U+K=0.0316+0.1658\approx0.197\;J\)، ويساوي تقريبًا الطاقة الكلية \(E=\tfrac12kX_{max}^2=\tfrac12\times39.48\times0.01\approx0.197\;J\). ✓
1) Static elongation: \(f=10/10=1\;Hz\), \(T=1/f=1\;s\). \(T=2\pi\sqrt{m/k} \Rightarrow k=4\pi^2\approx39.48\;N/m\)
At equilibrium: \(mg=k\Delta y \Rightarrow \Delta y=mg/k=(1\times9.8)/39.48\approx0.248\;m\approx24.8\;cm\)
2) Maximum speed: \(\omega=2\pi f=2\pi\;rad/s\), and the given amplitude \(X_{max}=0.1\;m\): \(v_{max}=X_{max}\omega=0.1\times2\pi\approx0.628\;m/s\)
3) Acceleration at x=6 cm=0.06 m: \(a=-\omega^2x=-(2\pi)^2\times0.06\approx-2.37\;m/s^2\)
4) Energy at x=-4 cm=-0.04 m: \(U=\tfrac12kx^2=\tfrac12\times39.48\times(0.04)^2\approx0.0316\;J\)
Kinetic energy at this position (\(X_{max}=0.1\;m\)): \(K=\tfrac12k(X_{max}^2-x^2)=\tfrac12\times39.48\times(0.01-0.0016)\approx0.1658\;J\)
Check: \(U+K=0.0316+0.1658\approx0.197\;J\), which matches the total energy \(E=\tfrac12kX_{max}^2=\tfrac12\times39.48\times0.01\approx0.197\;J\). ✓
تفكير ناقد
Critical Thinking
دور الاهتزاز للجملة لا يختلف بين الأرض والمحطة الفضائية.
السبب: دور الاهتزاز للنظام الكتلي–النابضي يُعطى بالعلاقة \(T=2\pi\sqrt{m/k}\)، حيث \(m\) كتلة الجسم المهتز، و\(k\) ثابت الصلابة للنابض (أو النوابض المركبة).
هذه المعادلة لا تعتمد على الجاذبية، لأن قوة الإرجاع في النابض تتناسب مع الاستطالة فقط \((F=-kx)\) ولا علاقة لها بالجاذبية.
في المحطة الفضائية (حالة انعدام الوزن)، تكون الجاذبية معدومة التأثير، لكن \(k\) و\(m\) يبقيان كما هما، وبالتالي يبقى الدور \(T\) كما هو.
ما يتغيّر هو موضع التوازن فقط: على الأرض هناك استطالة سكونية بسبب وزن الكتلة \((\Delta y=mg/k)\)، وفي المحطة الفضائية لا توجد استطالة سكونية (موضع التوازن حيث النابض غير مشدود)، لكن الاهتزاز حول موضع التوازن يبقى بنفس التردد والدور في الحالتين.
The oscillation period of the system does not differ between Earth and the space station.
Reason: the period of a mass–spring system is \(T=2\pi\sqrt{m/k}\), where \(m\) is the oscillating mass and \(k\) the spring stiffness (or combined stiffness).
This equation does not depend on gravity, since the spring’s restoring force depends only on the elongation \((F=-kx)\), unrelated to gravity.
On the space station (weightlessness), gravity has no effect, but \(k\) and \(m\) remain the same, so the period \(T\) stays the same.
What changes is only the equilibrium position: on Earth there is a static elongation due to the weight \((\Delta y=mg/k)\); on the station there is no static elongation (equilibrium is where the spring is unstretched). But the oscillation about the equilibrium position keeps the same frequency and period in both cases.