المقذوف الرأسي — The Vertical Projectile

للتواصل: 00971504825082

🎯 نواتج التعلم

🎯 Learning Outcomes

بعد هذه التجربة ستكون قادرًا على أن:

After this experiment you will be able to:

تصف حركة جسم يُقذف رأسيًا: يتباطأ صعودًا حتى يتوقف لحظيًا في أعلى نقطة ثم يتسارع هبوطًا بتسارع الجاذبية \(g\).Describe the motion of a body thrown vertically: it slows down while rising until it stops for an instant at the top, then speeds up while falling with the gravitational acceleration \(g\).
تطبّق \(h=v_0t-\tfrac12gt^2\) و\(v=v_0-gt\) وتحسب أقصى ارتفاع وزمن الصعود وزمن الوصول للأرض وسرعة الارتطام.Apply \(h=v_0t-\tfrac12gt^2\) and \(v=v_0-gt\) and calculate the maximum height, the time of rise, the time to reach the ground and the impact speed.
تقرأ الرسوم \(s\)–\(t\) و\(v\)–\(t\) و\(a\)–\(t\) لحركة المقذوف الرأسي وتفسّرها.Read and interpret the \(s\)–\(t\), \(v\)–\(t\) and \(a\)–\(t\) graphs of vertical projectile motion.

🎬 شاهد الفيديو

🎬 Watch the Video

⬆️ حركة المقذوف الرأسي

⬆️ Vertical Projectile Motion

المقذوف الرأسي جسم يُقذف رأسيًا إلى أعلى (أو إلى أسفل) فتؤثر فيه الجاذبية الأرضية فقط (نهمل مقاومة الهواء). تسارعه ثابت المقدار \(g\) واتجاهه إلى أسفل دائمًا، سواء كان الجسم صاعدًا أم هابطًا أم عند أعلى نقطة. نعتبر الاتجاه إلى أعلى موجبًا، فيكون التسارع \(a=-g\).

A vertical projectile is a body thrown straight up (or down) so that only gravity acts on it (we neglect air resistance). Its acceleration has a constant magnitude \(g\) and always points downward, whether the body is rising, falling or at the top. We take upward as positive, so \(a=-g\).

📘 معادلات المقذوف الرأسي (من الأرض: \(h_0=0\))

📘 Equations of the vertical projectile (from the ground: \(h_0=0\))

\[h=v_0t-\tfrac12gt^2\qquad v=v_0-gt\qquad v^2=v_0^2-2gh\]

\[h_{max}=\dfrac{v_0^2}{2g}\qquad t_{up}=\dfrac{v_0}{g}\qquad t_{total}=\dfrac{2v_0}{g}\qquad v_{impact}=-v_0\]

حيث \(v_0\) السرعة الابتدائية (m/s)، و\(g\) تسارع الجاذبية (\(9.8\ \mathrm{m/s^2}\)، وتُقرَّب أحيانًا إلى \(10\ \mathrm{m/s^2}\))، و\(t\) الزمن (s)، و\(h\) الارتفاع (m). عند أعلى نقطة \(v=0\) لحظيًا لكن \(a=-g\) لا تنعدم.

Here \(v_0\) is the initial speed (m/s), \(g\) the gravitational acceleration (\(9.8\ \mathrm{m/s^2}\), sometimes rounded to \(10\ \mathrm{m/s^2}\)), \(t\) the time (s) and \(h\) the height (m). At the top \(v=0\) only for an instant but \(a=-g\) does not vanish.

💡 شرح إضافي: خصائص الحركة

💡 Extra explanation: properties of the motion

يتباطأ الجسم صعودًا لأن \(a\) عكس \(v\) فتقل السرعة بمقدار \(g\) كل ثانية، ثم يتوقف لحظيًا في أعلى نقطة ويسقط حرًّا.The body slows down while rising because \(a\) is opposite to \(v\), so the speed decreases by \(g\) every second; it stops for an instant at the top and then falls freely.
إذا انطلق من الأرض وعاد إليها فزمن الصعود = زمن الهبوط \(=\dfrac{v_0}{g}\)، وسرعة الارتطام تساوي مقدار السرعة الابتدائية لكن باتجاه معاكس.If it starts from the ground and returns to it, the time of rise equals the time of fall \(=\dfrac{v_0}{g}\), and the impact speed equals the initial speed in magnitude but in the opposite direction.
الرسوم: \(s\)–\(t\) قطع مكافئ، و\(v\)–\(t\) خط مستقيم ميله \(-g\) يقطع محور الزمن عند أعلى نقطة، و\(a\)–\(t\) خط أفقي عند \(-g\).The graphs: \(s\)–\(t\) is a parabola, \(v\)–\(t\) is a straight line of slope \(-g\) that crosses the time axis at the top, and \(a\)–\(t\) is a horizontal line at \(-g\).
إذا قُذف من ارتفاع \(h_0\) فإن زمن الوصول للأرض \(t=\dfrac{v_0+\sqrt{v_0^2+2gh_0}}{g}\) وسرعة الارتطام \(-\sqrt{v_0^2+2gh_0}\).If it is thrown from a height \(h_0\), the time to reach the ground is \(t=\dfrac{v_0+\sqrt{v_0^2+2gh_0}}{g}\) and the impact velocity is \(-\sqrt{v_0^2+2gh_0}\).

🧪 تجربة 1: أطلق المقذوف الرأسي وراقب الموضع والسرعة والتسارع

🧪 Experiment 1: Launch the vertical projectile and watch position, velocity and acceleration

يُقذف الجسم إلى أعلى بسرعة \(v_0\) فيتباطأ بمقدار \(g\) كل ثانية حتى تنعدم سرعته في أعلى نقطة ثم يسقط. السهم الأحمر هو السرعة \(v\) والأزرق هو التسارع \(a=-g\) (ثابت دائمًا)، والنقاط الرمادية مواضع الجسم كل \(0.5\ \mathrm{s}\). تُرسم الرسوم \(s\)–\(t\) و\(v\)–\(t\) و\(a\)–\(t\) لحظة بلحظة. غيّر \(v_0\) أو \(g\) أو ارتفاع نقطة القذف \(h_0\)، أو اسحب مؤشر الزمن بنفسك. (التجربة متحركة وتعيد القذف تلقائيًا.)

The body is thrown upward at speed \(v_0\) and slows down by \(g\) every second until its velocity is zero at the top, then it falls. The red arrow is the velocity \(v\) and the blue one is the acceleration \(a=-g\) (always constant); the grey dots are the positions every \(0.5\ \mathrm{s}\). The \(s\)–\(t\), \(v\)–\(t\) and \(a\)–\(t\) graphs are drawn moment by moment. Change \(v_0\), \(g\) or the launch height \(h_0\), or drag the time slider yourself. (The experiment is animated and re-launches automatically.)

السرعة الابتدائية \(v_0\) (m/s)Initial speed \(v_0\) (m/s)15

ارتفاع نقطة القذف \(h_0\) (m)Launch height \(h_0\) (m)0

تسارع الجاذبية \(g\)Gravitational acceleration \(g\)

سرعة العرضPlayback speed

الزمن \(t\) (s)Time \(t\) (s)0

الزمن \(t\) (s)Time \(t\) (s)—

الارتفاع \(h\) (m)Height \(h\) (m)—

السرعة \(v\) (m/s)Velocity \(v\) (m/s)—

أقصى ارتفاع \(h_{max}\) (m)Max height \(h_{max}\) (m)—

زمن الصعود \(t_{up}\) (s)Time of rise \(t_{up}\) (s)—

الزمن الكلي (s)Total time (s)—

سرعة الارتطام (m/s)Impact velocity (m/s)—

🧪 تجربة 2: حاسبة التحقق: حلّ المسألة ثم صحّح إجاباتك

🧪 Experiment 2: Checker: solve the problem and check your answers

مسألة جديدة في كل مرة (\(g=9.8\ \mathrm{m/s^2}\) والاتجاه إلى أعلى موجب). احسب القيم الأربع بنفسك ثم اضغط «صحّح». السرعة السالبة تعني أن الجسم يتحرك إلى أسفل.

A new problem every time (\(g=9.8\ \mathrm{m/s^2}\) and upward is positive). Calculate the four values yourself and press “Check”. A negative velocity means the body moves downward.

أقصى ارتفاع (m) =Maximum height (m) =

السرعة عند الزمن المعطى (m/s) =Velocity at the given time (m/s) =

الزمن حتى يعود للأرض (s) =Time to return to the ground (s) =

سرعة الارتطام بالأرض (m/s) =Impact velocity (m/s) =

🛠️ تطبيقات عملية

🛠️ Practical applications

قذف الكرة إلى أعلى: حساب ارتفاع الكرة وزمن بقائها في الهواء في الرياضة.Throwing a ball upward: finding the height of the ball and its time in the air in sports.
النوافير والمياه المنطلقة رأسيًا: أقصى ارتفاع للماء \(\dfrac{v_0^2}{2g}\) من سرعة خروجه.Fountains and water jets: the maximum height of the water \(\dfrac{v_0^2}{2g}\) from its exit speed.
الألعاب الصاروخية والمقذوفات: تقدير زمن الصعود والهبوط عندما تكون مقاومة الهواء صغيرة.Fireworks and projectiles: estimating the times of rise and fall when air resistance is small.

✍️ أمثلة محلولة

✍️ Worked Examples

❓ مثال 1Example 1

قُذف جسم رأسيًا إلى أعلى من سطح الأرض بسرعة \(20\ \mathrm{m/s}\) (\(g=9.8\ \mathrm{m/s^2}\)). احسب أقصى ارتفاع وزمن الصعود وزمن عودته للأرض وسرعة ارتطامه.

A body is thrown vertically upward from the ground at \(20\ \mathrm{m/s}\) (\(g=9.8\ \mathrm{m/s^2}\)). Calculate the maximum height, the time of rise, the time to return to the ground and the impact velocity.

الحل

\(h_{max}=\dfrac{v_0^2}{2g}=\dfrac{400}{19.6}\approx20.4\ \mathrm{m}\)

\(t_{up}=\dfrac{v_0}{g}=\dfrac{20}{9.8}\approx2.04\ \mathrm{s}\)

\(t_{total}=2t_{up}\approx4.08\ \mathrm{s}\)

\(v_{impact}=-v_0=-20\ \mathrm{m/s}\)

✅ \(h_{max}\approx20.4\ \mathrm{m}\) ، \(t_{total}\approx4.08\ \mathrm{s}\) ، \(v=-20\ \mathrm{m/s}\)

Solution

\(h_{max}=\dfrac{v_0^2}{2g}=\dfrac{400}{19.6}\approx20.4\ \mathrm{m}\)

\(t_{up}=\dfrac{v_0}{g}=\dfrac{20}{9.8}\approx2.04\ \mathrm{s}\)

\(t_{total}=2t_{up}\approx4.08\ \mathrm{s}\)

\(v_{impact}=-v_0=-20\ \mathrm{m/s}\)

✅ \(h_{max}\approx20.4\ \mathrm{m}\) , \(t_{total}\approx4.08\ \mathrm{s}\) , \(v=-20\ \mathrm{m/s}\)

❓ مثال 2Example 2

كما في صورة المحاكاة الأصلية (\(g=10\ \mathrm{m/s^2}\)): قُذف جسم رأسيًا إلى أعلى بسرعة \(15\ \mathrm{m/s}\). احسب سرعته وارتفاعه بعد \(3\ \mathrm{s}\).

As in the original simulation image (\(g=10\ \mathrm{m/s^2}\)): a body is thrown vertically upward at \(15\ \mathrm{m/s}\). Calculate its velocity and its height after \(3\ \mathrm{s}\).

الحل

\(v=v_0-gt=15-10\times3=-15\ \mathrm{m/s}\)

\(h=v_0t-\tfrac12gt^2=15\times3-5\times9=0\)

السرعة سالبة (إلى أسفل) والارتفاع صفر: عاد الجسم إلى نقطة القذف بعد \(\dfrac{2v_0}{g}=3\ \mathrm{s}\).

✅ \(v=-15\ \mathrm{m/s}\) ، \(h=0\)

Solution

\(v=v_0-gt=15-10\times3=-15\ \mathrm{m/s}\)

\(h=v_0t-\tfrac12gt^2=15\times3-5\times9=0\)

The velocity is negative (downward) and the height is zero: the body is back at the launch point after \(\dfrac{2v_0}{g}=3\ \mathrm{s}\).

✅ \(v=-15\ \mathrm{m/s}\) , \(h=0\)

❓ مثال 3Example 3

قُذفت كرة رأسيًا إلى أعلى بسرعة \(10\ \mathrm{m/s}\) من حافة جرف ارتفاعه \(20\ \mathrm{m}\) عن الأرض (\(g=10\ \mathrm{m/s^2}\)). احسب أقصى ارتفاع عن الأرض وسرعة وصولها للأرض.

A ball is thrown vertically upward at \(10\ \mathrm{m/s}\) from the edge of a cliff \(20\ \mathrm{m}\) above the ground (\(g=10\ \mathrm{m/s^2}\)). Calculate the maximum height above the ground and the speed with which it reaches the ground.

الحل

\(\Delta h=\dfrac{v_0^2}{2g}=\dfrac{100}{20}=5\ \mathrm{m}\ \Rightarrow\ h_{max}=20+5=25\ \mathrm{m}\)

\(v^2=v_0^2-2g(0-20)=100+400=500\)

\(v=-\sqrt{500}\approx-22.4\ \mathrm{m/s}\)

✅ \(h_{max}=25\ \mathrm{m}\) ، \(v\approx-22.4\ \mathrm{m/s}\)

Solution

\(\Delta h=\dfrac{v_0^2}{2g}=\dfrac{100}{20}=5\ \mathrm{m}\ \Rightarrow\ h_{max}=20+5=25\ \mathrm{m}\)

\(v^2=v_0^2-2g(0-20)=100+400=500\)

\(v=-\sqrt{500}\approx-22.4\ \mathrm{m/s}\)

✅ \(h_{max}=25\ \mathrm{m}\) , \(v\approx-22.4\ \mathrm{m/s}\)

❓ مثال 4Example 4

بلغت كرة مقذوفة رأسيًا أقصى ارتفاع \(11.25\ \mathrm{m}\) (\(g=10\ \mathrm{m/s^2}\)). ما سرعة قذفها وكم ثانية بقيت في الهواء؟

A ball thrown vertically reaches a maximum height of \(11.25\ \mathrm{m}\) (\(g=10\ \mathrm{m/s^2}\)). What was its launch speed and how long was it in the air?

الحل

\(v_0=\sqrt{2gh_{max}}=\sqrt{2\times10\times11.25}=15\ \mathrm{m/s}\)

\(t_{total}=\dfrac{2v_0}{g}=\dfrac{30}{10}=3\ \mathrm{s}\)

✅ \(v_0=15\ \mathrm{m/s}\) ، \(t_{total}=3\ \mathrm{s}\)

Solution

\(v_0=\sqrt{2gh_{max}}=\sqrt{2\times10\times11.25}=15\ \mathrm{m/s}\)

\(t_{total}=\dfrac{2v_0}{g}=\dfrac{30}{10}=3\ \mathrm{s}\)

✅ \(v_0=15\ \mathrm{m/s}\) , \(t_{total}=3\ \mathrm{s}\)

⭐ 1

عند أعلى نقطة في مسار مقذوف رأسي تكون سرعته وتسارعه:

At the top of the path of a vertical projectile its velocity and acceleration are:

Aالسرعة صفر والتسارع صفرboth zero

Bالسرعة صفر والتسارع \(g\) إلى أسفلvelocity zero and acceleration \(g\) downward

Cالسرعة أكبر ما يمكن والتسارع صفرmaximum velocity and zero acceleration

Dالسرعة \(v_0\) والتسارع \(g\) إلى أعلىvelocity \(v_0\) and acceleration \(g\) upward

الحل

\(v=v_0-gt_{up}=0,\quad a=-g\)

✅ السرعة صفر والتسارع \(g\) إلى أسفل.

Solution

\(v=v_0-gt_{up}=0,\quad a=-g\)

✅ velocity zero and acceleration \(g\) downward.

⭐ 2

قُذف جسم من الأرض رأسيًا إلى أعلى وعاد إليها. زمن صعوده مقارنة بزمن هبوطه:

A body thrown vertically up from the ground returns to it. Its time of rise compared with its time of fall is:

Aأكبر منهlarger

Bأصغر منهsmaller

Cنصفهhalf of it

Dيساويهequal to it

الحل

\(t_{up}=t_{down}=\dfrac{v_0}{g}\)

✅ يساويه.

Solution

\(t_{up}=t_{down}=\dfrac{v_0}{g}\)

✅ equal to it.

⭐ 3

إذا تضاعفت السرعة الابتدائية لمقذوف رأسي فإن أقصى ارتفاع يصبح:

If the initial speed of a vertical projectile doubles, its maximum height becomes:

A4 أمثاله4 times

Bمثلين2 times

Cنصفهhalf

Dلا يتغيرunchanged

الحل

\(h_{max}\propto v_0^2\ \Rightarrow\ (2)^2=4\)

✅ 4 أمثاله.

Solution

\(h_{max}\propto v_0^2\ \Rightarrow\ (2)^2=4\)

✅ 4 times.

⭐ 4

قُذف جسم رأسيًا إلى أعلى بسرعة \(12\ \mathrm{m/s}\) من الأرض. سرعة ارتطامه بالأرض (بإهمال الهواء):

A body is thrown vertically up at \(12\ \mathrm{m/s}\) from the ground. Its impact velocity (neglecting air) is:

A\(12\ \mathrm{m/s}\) إلى أعلى\(12\ \mathrm{m/s}\) upward

Bصفرzero

C\(12\ \mathrm{m/s}\) إلى أسفل\(12\ \mathrm{m/s}\) downward

D\(24\ \mathrm{m/s}\) إلى أسفل\(24\ \mathrm{m/s}\) downward

الحل

\(v_{impact}=-v_0=-12\ \mathrm{m/s}\)

✅ \(12\ \mathrm{m/s}\) إلى أسفل.

Solution

\(v_{impact}=-v_0=-12\ \mathrm{m/s}\)

✅ \(12\ \mathrm{m/s}\) downward.

📚 ملخص

📚 Summary

الكميةQuantity	القانون (من الأرض)Formula (from the ground)
الارتفاعHeight	\(h=v_0t-\tfrac12gt^2\)\(h=v_0t-\tfrac12gt^2\)
السرعةVelocity	\(v=v_0-gt\)\(v=v_0-gt\)
أقصى ارتفاعMaximum height	\(h_{max}=\dfrac{v_0^2}{2g}\)\(h_{max}=\dfrac{v_0^2}{2g}\)
زمن الصعود / الزمن الكليTime of rise / total time	\(t_{up}=\dfrac{v_0}{g}\ ,\ t_{total}=\dfrac{2v_0}{g}\)\(t_{up}=\dfrac{v_0}{g}\ ,\ t_{total}=\dfrac{2v_0}{g}\)
سرعة الارتطامImpact velocity	\(v=-v_0\)\(v=-v_0\)

⚠️ أخطاء شائعة

⚠️ Common mistakes

الظن بأن التسارع ينعدم عند أعلى نقطة؛ السرعة فقط تنعدم لحظيًا و\(a=-g\) ثابت.Thinking the acceleration vanishes at the top; only the velocity is zero for an instant and \(a=-g\) stays constant.
إهمال الإشارات: إذا اعتبرنا الأعلى موجبًا فإن \(g\) تدخل بإشارة سالبة والسرعة الهابطة سالبة.Ignoring signs: if upward is positive then \(g\) enters with a negative sign and the downward velocity is negative.
استعمال معادلة الزمن بعد وصول الجسم للأرض؛ تنتهي الحركة عند \(t_{total}\).Using the time equations after the body has reached the ground; the motion ends at \(t_{total}\).

🔗 محاكيات GeoGebra للاستعانة بها عند اللزوم

🔗 GeoGebra Simulations to Use When Needed

اضغط «تشغيل» لتعمل المحاكاة هنا داخل الدرس؛ ويمكن للطالب الرجوع إليها لتجربة الفكرة بطريقة أخرى.

Press “Run” to run the simulation right here inside the lesson; the student can use it to try the idea in another way.

المقذوف الرأسيThe vertical projectile

💡 المقذوف الرأسي

🎯 نواتج التعلم

🎯 Learning Outcomes

بعد هذه التجربة ستكون قادرًا على أن:

After this experiment you will be able to:

🎬 شاهد الفيديو

🎬 Watch the Video

⬆️ حركة المقذوف الرأسي

⬆️ Vertical Projectile Motion

📘 معادلات المقذوف الرأسي (من الأرض: \(h_0=0\))

📘 Equations of the vertical projectile (from the ground: \(h_0=0\))

💡 شرح إضافي: خصائص الحركة

💡 Extra explanation: properties of the motion

🧪 تجربة 1: أطلق المقذوف الرأسي وراقب الموضع والسرعة والتسارع

🧪 Experiment 1: Launch the vertical projectile and watch position, velocity and acceleration

🧪 تجربة 2: حاسبة التحقق: حلّ المسألة ثم صحّح إجاباتك

🧪 Experiment 2: Checker: solve the problem and check your answers

🛠️ تطبيقات عملية

🛠️ Practical applications

✍️ أمثلة محلولة

✍️ Worked Examples

📚 ملخص

📚 Summary

⚠️ أخطاء شائعة

⚠️ Common mistakes

🔗 محاكيات GeoGebra للاستعانة بها عند اللزوم

🔗 GeoGebra Simulations to Use When Needed