🎯 نواتج التعلم
🎯 Learning Outcomes
بعد هذه التجربة ستكون قادرًا على أن:
After this experiment you will be able to:
- تطبّق قانون جاوس لحساب المجال داخل كرة مصمتة مشحونة وخارجها.Apply Gauss's law to calculate the field inside and outside a uniformly charged solid sphere.
- تستنتج أن المجال داخل الكرة يتناسب مع r، وخارجها يتناسب مع 1/r².Show that the field inside the sphere is proportional to r, and outside it is proportional to 1/r².
- تحدد قيمة المجال عند سطح الكرة، وتفسر أنه أكبر قيمة له.Find the field at the surface of the sphere, and explain why it is the largest value.
🎬 شاهد الفيديو
🎬 Watch the Video
⚡ قانون جاوس
⚡ Gauss's law
ينص قانون جاوس على أن التدفق الكلي للمجال الكهربائي عبر أي سطح مغلق يساوي الشحنة المحصورة داخله مقسومة على سماحية الفراغ. لذلك نختار سطحًا كرويًا تخيليًا (سطح جاوس) يمر بالنقطة المطلوبة، ونحسب التدفق عبره.
Gauss's law states that the total flux of the electric field through any closed surface equals the enclosed charge divided by the permittivity of free space. So we choose an imaginary spherical surface (the Gaussian surface) that passes through the required point, and calculate the flux through it.
📘 قانون جاوس
📘 Gauss's law
\[\oint\vec E\cdot d\vec A=\dfrac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}\]
حيث \(Q_{\text{enc}}\) الشحنة المحصورة داخل السطح المغلق، و\(\varepsilon_0\) سماحية الفراغ. ولأن المجال متماثل حول المركز، يكون \(E\) ثابتًا على سطح جاوس الكروي، فيصبح التدفق \(E\cdot4\pi r^2\).
where \(Q_{\text{enc}}\) is the charge enclosed by the closed surface, and \(\varepsilon_0\) is the permittivity of free space. Because the field is symmetric about the centre, \(E\) is constant on the spherical Gaussian surface, and the flux becomes \(E\cdot4\pi r^2\).
⚡ المجال داخل الكرة
⚡ The field inside the sphere
عندما يكون \(r When \(r \[E\cdot4\pi r^2=\dfrac{Q}{\varepsilon_0}\dfrac{r^3}{R^3}\quad\Rightarrow\quad E=\dfrac{Q\,r}{4\pi\varepsilon_0R^3}=\dfrac{K\,Q\,r}{R^3}\] حيث \(K=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}=9\times10^9\ \mathrm{N\,m^2/C^2}\). المجال يزداد خطيًا مع r داخل الكرة، ويصل إلى قيمته القصوى عند السطح. where \(K=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}=9\times10^9\ \mathrm{N\,m^2/C^2}\). The field grows linearly with r inside the sphere, and reaches its maximum value at the surface. عندما يكون \(r>R\) تكون الشحنة المحصورة هي الشحنة الكلية \(Q\)، كأنها كلها متمركزة في المركز. When \(r>R\), the enclosed charge is the whole charge \(Q\), as if it were all concentrated at the centre. \[E\cdot4\pi r^2=\dfrac{Q}{\varepsilon_0}\quad\Rightarrow\quad E=\dfrac{K\,Q}{r^2}\] المجال خارج الكرة يتناقص مع مربع البعد، ويكون عند السطح \(E(R)=\dfrac{KQ}{R^2}\)، وهي أكبر قيمة للمجال، وتتطابق مع قيمة المجال الداخلي عند السطح. The field outside falls off with the square of the distance, and at the surface it equals \(E(R)=\dfrac{KQ}{R^2}\), which is the largest value of the field and matches the value inside at the surface. داخل الكرة يزداد المجال مع r لأن الشحنة المحصورة تزداد بسرعة مع الحجم. وخارجها يقل المجال مع r لأن الشحنة المحصورة ثابتة، بينما تتسع مساحة سطح جاوس. لذلك يكون أقصى مجال عند السطح r = R تمامًا. Inside the sphere the field grows with r because the enclosed charge grows quickly with volume. Outside it the field falls with r because the enclosed charge stays fixed while the Gaussian surface grows. So the maximum field is exactly at r = R. غيّر نصف قطر الكرة والشحنة والبعد r، وراقب سطح جاوس والمجال. الرسم البياني يبيّن أن المجال يزداد خطيًا داخل الكرة، ثم يتناقص مع مربع البعد خارجها، وأعلى قيمة عند السطح. Change the sphere's radius, the charge and the distance r, and watch the Gaussian surface and the field. The graph shows that the field grows linearly inside the sphere, then falls with the square of the distance outside it, with the highest value at the surface. كرة مصمتة نصف قطرها \(R=4\ \mathrm{m}\) تحمل شحنة \(Q=1.9\ \mu\mathrm{C}\) بانتظام. احسب المجال عند \(r=2\ \mathrm{m}\) وعند \(r=6\ \mathrm{m}\). A solid sphere of radius \(R=4\ \mathrm{m}\) carries a uniformly distributed charge \(Q=1.9\ \mu\mathrm{C}\). Find the field at \(r=2\ \mathrm{m}\) and at \(r=6\ \mathrm{m}\). في المثال السابق، احسب المجال عند سطح الكرة \(r=R\). هل يتطابق مع المجال الداخلي والخارجي عند السطح؟ In the previous example, find the field at the surface \(r=R\). Does it match the inside and outside values at the surface? إذا ضوعف نصف قطر الكرة مع بقاء الشحنة ثابتة، فكيف يتغير المجال عند نقطة خارجها؟ If the radius of the sphere is doubled with the charge fixed, how does the field change at a point outside it? كيف يتغير المجال داخل كرة مصمتة مشحونة بانتظام عند زيادة r؟ How does the field inside a uniformly charged solid sphere change as r increases? أين يكون المجال الكهربائي للكرة المصمتة المشحونة أكبر ما يمكن؟ Where is the electric field of a charged solid sphere largest? اضغط «تشغيل» لتعمل المحاكاة هنا داخل الدرس؛ ويمكن للطالب الرجوع إليها لتجربة الفكرة بطريقة أخرى. Press “Run” to run the simulation right here inside the lesson; the student can use it to try the idea in another way.📘 داخل الكرة (r < R)
📘 Inside the sphere (r < R)
⚡ المجال خارج الكرة
⚡ The field outside the sphere
📘 خارج الكرة (r > R)
📘 Outside the sphere (r > R)
💡 شرح إضافي: لماذا يكون المجال أكبر عند السطح؟
💡 Extra explanation: why is the field largest at the surface?
🧪 التجربة التفاعلية: المجال داخل الكرة وخارجها
🧪 Interactive Experiment: The Field Inside and Outside the Sphere
⚪ المجال داخل كرة مصمتة وخارجها
⚪ The field inside and outside a solid sphere
✍️ أمثلة محلولة
✍️ Worked Examples
📚 ملخص
📚 Summary
الحالةCase الشحنة المحصورةEnclosed charge المجالField داخل الكرة r < RInside r < R \(Q\,r^3/R^3\) \(E=KQr/R^3\) عند السطح r = RAt the surface r = R \(Q\) \(E=KQ/R^2\) (الأكبر) خارج الكرة r > ROutside r > R \(Q\) \(E=KQ/r^2\) ⚠️ أخطاء شائعة
⚠️ Common mistakes
🧠 اختبر نفسك
🧠 Test Yourself
🔗 محاكاة GeoGebra للاستعانة بها عند اللزوم
🔗 GeoGebra Simulation to Use When Needed
