تعريف المتجهات ثلاثية الأبعاد
Definition of 3D Vectors
المتجه في الرياضيات هو كمية لها مقدار واتجاه. في الفضاء الثلاثي الأبعاد، يُعبر عن المتجه عادة باستخدام ثلاث مركبات:
A vector in mathematics is a quantity that has magnitude and direction. In three-dimensional space, a vector is usually expressed using three components:
\[ A = A_x\hat{i} + A_y\hat{j} + A_z\hat{k} \]
جمع وطرح المتجهات
Vector Addition and Subtraction
جمع المتجهات
Vector Addition
\[ A + B = (A_x+B_x)\hat{i} + (A_y+B_y)\hat{j} + (A_z+B_z)\hat{k} \]
طرح المتجهات
Vector Subtraction
\[ A - B = (A_x-B_x)\hat{i} + (A_y-B_y)\hat{j} + (A_z-B_z)\hat{k} \]
تطبيقات: الهندسة الميكانيكية
Applications: Mechanical Engineering
- حساب القوى المحصلة في أنظمة الجسور
- Calculating resultant forces in bridge systems
- تحليل الإجهادات في الهياكل المعقدة
- Stress analysis in complex structures
تطبيقات: الرسوميات الحاسوبية
Applications: Computer Graphics
- تحريك النماذج ثلاثية الأبعاد
- Animating 3D models
- حساب الإضاءة والظلال
- Calculating lighting and shadows
الضرب القياسي (Dot Product)
Scalar Product (Dot Product)
التعريف الهندسي
Geometric Definition
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |a||b|\cos\theta \]
حيث θ هي الزاوية بين المتجهين.
where θ is the angle between the vectors.
الصيغة الجبرية
Algebraic Formula
إذا كان \(a=(a_x,a_y,a_z)\) و\(b=(b_x,b_y,b_z)\)، فإن:
If \(a=(a_x,a_y,a_z)\) and \(b=(b_x,b_y,b_z)\), then:
\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z \]
مثال عملي
Practical Example
\[ \vec{A}=(3,-5,2) \qquad \vec{B}=(7,1,-4) \]\[ \vec{A}\cdot\vec{B}=(3\times7)+(-5\times1)+(2\times-4)=21-5-8=8 \]
الخصائص
Properties
- نتيجة عملية الضرب كمية قياسية
- The result of the multiplication is a scalar quantity
- تتبع خاصية التوزيع: \(a\cdot(b+c) = a\cdot b + a\cdot c\)
- Follows the distributive property: \(a\cdot(b+c) = a\cdot b + a\cdot c\)
- إيجابية عندما تكون الزاوية حادة
- Positive when the angle is acute
الضرب الاتجاهي (Cross Product)
Vector Product (Cross Product)
التعريف الهندسي
Geometric Definition
\[ |\vec{a} \times \vec{b}| = |a||b|\sin\theta \]
الاتجاه عمودي على المستوى المحدد بالمتجهين.
The direction is perpendicular to the plane defined by the two vectors.
الصيغة الجبرية
Algebraic Formula
\[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} \]
مثال عملي
Practical Example
\[ \vec{A}=(2,1,-3) \qquad \vec{B}=(4,-1,5) \]\[ \vec{A}\times\vec{B}=(2\hat{i} -22\hat{j} -6\hat{k}) \]
الخصائص
Properties
- النتيجة متجه جديد
- The result is a new vector
- غير تبديلي: \(a \times b = -(b \times a)\)
- Not commutative: \(a \times b = -(b \times a)\)
- مقداره يساوي مساحة متوازي الأضلاع
- Its magnitude equals the area of the parallelogram
الفرق الجوهري بينهما
Fundamental Difference Between Them
| الخاصية | Property | الضرب القياسي | Scalar Product | الضرب الاتجاهي | Vector Product |
|---|
| ناتج العملية | Operation Result | عدد قياسي | Scalar | متجه | Vector |
| الاتجاه | Direction | لا يوجد | None | عمودي على المستوى | Perpendicular to the plane |
| التبادلية | Commutativity | \(a\cdot b = b\cdot a\) | | \(a\times b = -b\times a\) | |
التطبيقات العملية
Practical Applications
الضرب القياسي في الحياة العملية
Scalar Product in Practical Life
- حساب الشغل: الشغل = القوة · الإزاحة
- Work calculation: Work = Force · Displacement
- الرسومات الحاسوبية: حساب الإضاءة باستخدام الزاوية بين متجه الضوء والسطح
- Computer graphics: Calculating lighting using the angle between the light vector and the surface
- الملاحة: تحديد اتجاه الحركة بالنسبة لاتجاه الريح
- Navigation: Determining direction of movement relative to wind direction
الضرب الاتجاهي في الحياة العملية
Vector Product in Practical Life
- عزم الدوران: \(\tau = r \times F\)
- Torque: \(\tau = r \times F\)
- المجالات المغناطيسية: \(F = q(v \times B)\)
- Magnetic fields: \(F = q(v \times B)\)
- الهندسة: حساب المساحات والحجوم
- Geometry: Calculating areas and volumes
تطبيقات متقدمة
Advanced Applications
حساب الزخم الزاوي (الفيزياء الفلكية):
Calculating angular momentum (astrophysics):
\[ L = r \times p \]