قانون جاوس (استنتاج القانون من خلال قانون كولوم)
ليكن لدينا شحنة نقطية تولد حولها مجال كهربائي، والمطلوب حساب المجال عند نقطة تبعد عن الشحنة مسافة قدرها \(r\). نختار سطح جاوس يمر بالنقطة المطلوب حساب المجال لها بحيث يكون المجال ثابتًا على السطح الجاوسي.
لنفرض أن لدينا عنصر مساحة صغير \(dA\) يمر منه مجال كهربائي شدته \(E\):
\[ d\Phi = dA \cdot E \cdot \cos(\theta) \]
\[ \Phi = \oint dA \cdot E \cdot \cos(0) = E \oint dA = E \cdot A = 4\pi r^2 \cdot \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \]
\[ \Phi = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q}{\varepsilon_0} \]
بهذه الطريقة نكون قد وجدنا المجال دون الدخول في تعقيدات التكامل.
حيث:
- \(\Phi_E\): التدفق الكهربائي
- \(E\): المجال الكهربائي
- \(Q_{int}\): الشحنة داخل السطح
- \(\varepsilon_0\): سماحية الفراغ
نتائج من خلال قانون جاوس
المجال الكهربائي داخل موصل معزول يساوي الصفر دائمًا.
عند وضع موصل داخل مجال كهربائي، تتأثر شحنات الموصل بقوة المجال، فتندفع الشحنات السالبة عكس اتجاه المجال والشحنات الموجبة باتجاهه، مما يؤدي إلى تكوّن مجال كهربائي معاكس للمجال المؤثر، فتكون محصلة المجال داخل الموصل معدومة.
حساب المجال الكهربائي لكرة مشحونة بشكل منتظم
1. داخل الكرة \((r < R)\)
الشحنة المحصورة:
\[ Q_{int} = \frac{Q \times r^3}{R^3} \]
المجال الكهربائي:
\[ E = \frac{k \times Q \times r}{R^3} \]
حيث \(k = 1/(4\pi\varepsilon_0)\)
2. على سطح الكرة \((r = R)\)
\[ E = \frac{k \times Q}{R^2} \]
3. خارج الكرة \((r > R)\)
\[ E = \frac{k \times Q}{r^2} \]
التطبيقات العملية
- تصميم المكثفات الكروية في الدوائر الإلكترونية
- حساب المجال الكهربائي للنجوم والكواكب (في الفيزياء الفلكية)
- أنظمة العزل الكهربائي في المختبرات
- مولد فان دي جراف (يستخدم كرة معدنية لتخزين الشحنات)
مثال حسابي
إذا كانت شحنة الكرة \(Q = 2 \times 10^{-6} \; C\) ونصف قطرها \(R = 0.5 \; m\):
المجال عند \(r = 0.3 \; m\):
\[ E = 8.99 \times 10^9 \times \frac{2 \times 10^{-6} \times 0.3}{(0.5)^3} \approx 43152 \; N/C \]
المجال على السطح:
\[ E = 8.99 \times 10^9 \times \frac{2 \times 10^{-6}}{(0.5)^2} \approx 71920 \; N/C \]
المجال عند \(r = 1 \; m\):
\[ E = 8.99 \times 10^9 \times \frac{2 \times 10^{-6}}{(1)^2} = 17980 \; N/C \]
حاسبة المجال الكهربائي لكرة مشحونة
المجال الكهربائي لسلك مشحون محدود الطول
المعادلات الأساسية
\[ \lambda = \frac{Q}{L} \]
المجال الكهربائي عند نقطة \(P\) على بعد \(r\) من السلك:
\[ E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{\lambda}{r} [\sin\theta_1 + \sin\theta_2] \]
الاشتقاق الرياضي
1. تقسيم السلك إلى عناصر صغيرة \((dx)\)
2. حساب المجال من كل عنصر باستخدام قانون كولوم
3. التكامل على طول السلك:
\[ \int dE = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{dx}{(r^2 + x^2)^{3/2}} \]
التطبيقات العملية
- تصميم الأسلاك الكهربائية الآمنة
- أنظمة الحماية من المجالات الكهرومغناطيسية
- المجسّات الكهربائية الدقيقة
- تطبيقات في الفيزياء الطبية (مثل أجهزة تخطيط القلب)
مثال حسابي
سلك طوله 2m يحمل شحنة 4μC:
\(\lambda = 4\mu C / 2m = 2\mu C/m\)
إذا كانت \(\theta_1 = \theta_2 = 45°\)، \(r = 50cm\):
\[ E = (9 \times 10^9) \times \frac{2 \times 10^{-6}}{0.5} \times [\sin 45 + \sin 45] \approx 50.9 \; kN/C \]
ملاحظة هامة: عندما \(L \to \infty\) (سلك لانهائي):
\[ E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} \]
محاكاة المجال الكهربائي الناتج عن سلك
Gauss's Law (Derivation from Coulomb's Law)
Consider a point charge that generates an electric field around it. We want to calculate the field at a point at distance \(r\) from the charge. We choose a Gaussian surface passing through that point, such that the field is constant on the Gaussian surface.
Assume a small area element \(dA\) through which an electric field of intensity \(E\) passes:
\[ d\Phi = dA \cdot E \cdot \cos(\theta) \]
\[ \Phi = \oint dA \cdot E \cdot \cos(0) = E \oint dA = E \cdot A = 4\pi r^2 \cdot \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \]
\[ \Phi = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{q}{\varepsilon_0} \]
In this way, we find the field without complicated integration.
Where:
- \(\Phi_E\): electric flux
- \(E\): electric field
- \(Q_{int}\): charge enclosed by the surface
- \(\varepsilon_0\): permittivity of free space
Results from Gauss's Law
The electric field inside an isolated conductor is always zero.
When a conductor is placed in an electric field, its charges are affected by the field force: negative charges move opposite the field and positive charges move along it, creating an opposing internal field — so the net field inside the conductor is zero.
Electric Field of a Uniformly Charged Sphere
1. Inside the sphere \((r < R)\)
Enclosed charge:
\[ Q_{int} = \frac{Q \times r^3}{R^3} \]
Electric field:
\[ E = \frac{k \times Q \times r}{R^3} \]
where \(k = 1/(4\pi\varepsilon_0)\)
2. On the surface of the sphere \((r = R)\)
\[ E = \frac{k \times Q}{R^2} \]
3. Outside the sphere \((r > R)\)
\[ E = \frac{k \times Q}{r^2} \]
Practical Applications
- Design of spherical capacitors in electronic circuits
- Calculating electric fields of stars and planets (astrophysics)
- Electrical insulation systems in laboratories
- Van de Graaff generator (uses a metal sphere to store charge)
Numerical Example
If the sphere's charge is \(Q = 2 \times 10^{-6} \; C\) and radius \(R = 0.5 \; m\):
Field at \(r = 0.3 \; m\):
\[ E = 8.99 \times 10^9 \times \frac{2 \times 10^{-6} \times 0.3}{(0.5)^3} \approx 43152 \; N/C \]
Field on the surface:
\[ E = 8.99 \times 10^9 \times \frac{2 \times 10^{-6}}{(0.5)^2} \approx 71920 \; N/C \]
Field at \(r = 1 \; m\):
\[ E = 8.99 \times 10^9 \times \frac{2 \times 10^{-6}}{(1)^2} = 17980 \; N/C \]
Charged Sphere Electric Field Calculator
🖥️ Field Calculation Simulator
Electric Field of a Finite Charged Wire
Basic Equations
\[ \lambda = \frac{Q}{L} \]
Electric field at point \(P\) at distance \(r\) from the wire:
\[ E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \cdot \frac{\lambda}{r} [\sin\theta_1 + \sin\theta_2] \]
Mathematical Derivation
1. Divide the wire into small elements \((dx)\)
2. Calculate the field from each element using Coulomb's law
3. Integrate along the wire length:
\[ \int dE = \frac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0} \int \frac{dx}{(r^2 + x^2)^{3/2}} \]
Practical Applications
- Design of safe electrical wires
- Electromagnetic field protection systems
- Microelectric sensors
- Medical physics applications (e.g., ECG devices)
Numerical Example
A wire of length 2m carries a charge of 4μC:
\(\lambda = 4\mu C / 2m = 2\mu C/m\)
If \(\theta_1 = \theta_2 = 45°\), \(r = 50cm\):
\[ E = (9 \times 10^9) \times \frac{2 \times 10^{-6}}{0.5} \times [\sin 45 + \sin 45] \approx 50.9 \; kN/C \]
Important note: when \(L \to \infty\) (infinite wire):
\[ E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} \]
Electric Field of a Wire Simulation
