معادلات الحركة على مستوى أفقي أملس
الحالة 1: قوة شد أفقية
محصلة القوى على المحور الأفقي:
\[ \Sigma F_x = T = ma \]
محصلة القوى على المحور الرأسي:
\[ \Sigma F_y = N - mg = 0 \]
التسارع، السرعة، والإزاحة:
\[ a = \frac{T}{m} \]
\[ v_f = v_0 + at \]
\[ \Delta x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 \]
القوة العمودية (N)
\[ \Sigma F_y = N - mg = 0 \;\Rightarrow\; N = mg \]
الحالة 2: قوة شد مائلة بزاوية θ
محصلة القوى على المحور الأفقي:
\[ \Sigma F_x = T\cos\theta = ma \]
محصلة القوى على المحور الرأسي:
\[ \Sigma F_y = N + T\sin\theta - mg = 0 \]
التسارع، السرعة، والإزاحة:
\[ a = \frac{T\cos\theta}{m} \]
\[ v_f = v_0 + at \]
\[ \Delta x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 \]
القوة العمودية (N)
\[ \Sigma F_y = N + T\sin\theta - mg = 0 \;\Rightarrow\; N = mg - T\sin\theta \]
رموز المتغيرات
- T: قوة الشد (N)
- m: كتلة الجسم (kg)
- a: التسارع (m/s²)
- v₀: السرعة الابتدائية (m/s)
- t: الزمن (s)
- θ: زاوية ميلان القوة (بالدرجات)
- g: تسارع الجاذبية (9.8 m/s²)
تحليل حركة جسم على سطح أفقي خشن
ملاحظات:
\(\mu_s\): معامل الاحتكاك الساكن
\(\mu_s\): معامل الاحتكاك الساكن
\[ \mu_s = \frac{F_s}{N} \;\Rightarrow\; F_s = \mu_s N \]
\(\mu_k\): معامل الاحتكاك الحركي
\[ \mu_k = \frac{F_k}{N} \;\Rightarrow\; F_k = \mu_k N \]
يجب استخدام الوحدات المتوافقة (نيوتن، كجم، م/ث²)
أولًا: قوة الشد أفقية
القوة العمودية:
\[ N = mg \]
شرط الحركة
الجسم يتحرك إذا كانت: \(T > \mu_s N\)، ولا يتحرك إذا كانت: \(T \le \mu_s N\)
في حالة الحركة
\[ \Sigma F_x = T - f_k = T - \mu_k N = ma \]
\[ \Sigma F_y = N - mg = 0 \]
\[ a = \frac{T - \mu_k N}{m} \]
\[ v_f = v_0 + at \]
\[ \Delta x = v_0 t + \frac{1}{2}at^2 \]
ثانيًا: قوة الشد مائلة بزاوية θ
المركبتان الأفقية والعمودية للشد:
\[ T_x = T\cos\theta \qquad T_y = T\sin\theta \]
إذا كانت قوة الشد تميل للأعلى، القوة العمودية: \(N = mg - T_y\)
إذا كانت قوة الشد تميل للأسفل، القوة العمودية: \(N = mg + T_y\)
شرط الحركة
الجسم يتحرك إذا كانت: \(T_x > \mu_s N\)، ولا يتحرك إذا كانت: \(T_x \le \mu_s N\)
في حالة الحركة (الشد يميل للأعلى)
\[ \Sigma F_x = T_x - \mu_k (mg - T_y) = ma \]
\[ a = \frac{T_x - \mu_k (mg - T_y)}{m} \]
في حالة الحركة (الشد يميل للأسفل)
\[ \Sigma F_x = T_x - \mu_k (mg + T_y) = ma \]
\[ a = \frac{T_x - \mu_k (mg + T_y)}{m} \]
محاكاة سحب صندوق على مستوى أفقي
صندوق
الجملة المادية تتحرك بنفس التسارع لأن الخيط لا يمتط، وقوة الشد متساوية على طرفي الخيط. عند دراسة الجسم نحدد القوى المؤثرة عليه ونطبق قانون نيوتن الثاني حتى نحصل على تسارع الجملة.
تحليل قوى السحب مع الاحتكاك
| الحالة | المعادلات | شرط الحركة | تطبيق عملي |
|---|---|---|---|
| قوة شد أفقية (جسم ساكن) | \(F_{s,max} = \mu_s N\) \(\Sigma F_x = T - F_s = 0\) | \(T \le \mu_s mg\) | سحب خزانة ثقيلة |
| قوة شد أفقية (جسم متحرك) | \(F_k = \mu_k N\) \(\Sigma F_x = T - F_k = ma\) | \(T > \mu_s mg\) | جر عربة على أرضية |
| قوة شد مائلة (θ مع الأفقي) | \(T_x = T\cos\theta\) \(T_y = T\sin\theta\) \(N = mg - T_y\) | \(T_x > \mu_s(mg - T_y)\) | سحب صندوق بحبل مائل |
القيم النموذجية لمعامل الاحتكاك
| المقدار | الرمز | قيم نموذجية | وحدة القياس |
|---|---|---|---|
| الكتلة | m | 10 - 100 | كجم |
| معامل الاحتكاك الساكن | μₛ | 0.3 (خشب-خشب) 0.6 (مطاط-أسفلت) | بدون وحدة |
| معامل الاحتكاك الحركي | μₖ | 0.2 (خشب-خشب) 0.4 (مطاط-أسفلت) | بدون وحدة |
| قوة الشد | T | 50 - 500 | نيوتن |
تفسيرات فيزيائية
- الاحتكاك الساكن: يمنع الحركة الأولية حتى الوصول للقوة الحرجة
- الاحتكاك الحركي: يقاوم الحركة بعد بدئها بقيمة ثابتة تقريبًا
- القوة العمودية (N): تتأثر بالمكوّن الرأسي للشد في الحالات المائلة
تطبيقات عملية
- تصميم أنظمة الفرامل في السيارات
- حساب القوة اللازمة لسحب الأثاث
- تحسين أداء الإطارات على الطرق
- تصميم أنظمة النقل بالسيور
لاحظت خطأ؟ أو عندك سؤال عن الدرس؟ اكتبه بالتعليقات وحدد مكانه بالضبط.