Magnetic Field Produced by a Loop at a Point on its Axisالمجال المغناطيسي الناتج عن حلقة عند نقطة على امتداد محورها
1We have a loop carrying current, and we want to calculate the magnetic field at a point on the axis of the loop. We take a small element \(d\vec L\) of the loop, find the field it produces, then integrate over the entire loop.ليكن لدينا حلقة يمر بها تيار، والمطلوب حساب المجال عند نقطة تقع على محور الحلقة. نأخذ عنصرًا صغيرًا \(d\vec L\) من الحلقة، نحسب المجال الناتج عنه، ثم نُجري التكامل على كامل الحلقة.
💡 Note: the angle between \(d\vec L\) and \(\hat r\) is always \(90^\circ\).💡 لاحظ: الزاوية بين \(d\vec L\) و \(\hat r\) تساوي \(90^\circ\) دائمًا.
2According to the Biot-Savart law:حسب قانون بيو-سافار:
\[ dB = \frac{\mu_0I}{4\pi}\frac{dl}{(x^2 + a^2)}\]
3This field has two components at the point:هذا المجال له مركبتان عند النقطة:
💡 Symmetry: for every element \(d\vec L\), an opposite element on the loop produces an equal and opposite \(dB_y\) — so the vertical components cancel, leaving only \(dB_x\).💡 بالتناظر: لكل عنصر \(d\vec L\)، يوجد عنصر مقابل على الحلقة ينتج مركبة \(dB_y\) مساوية له ومعاكسة في الاتجاه — فتُلغى المركبات الرأسية، ويبقى فقط \(dB_x\).
4Integrating \(dB_x\) over the whole loop:بتكامل \(dB_x\) على كامل الحلقة:
"I am Hermann von Helmholtz""أنا العالم هيرمان هيلمهولتز"
Physicist & Pioneer of Electromagnetism (1821–1894)فيزيائي ورائد الكهرومغناطيسية (1821–1894)
The magnetic field produced by a single loop is not uniform — it varies with position. However, many scientific and practical applications require a uniform magnetic field.إن المجال المغناطيسي الناتج عن حلقة واحدة ليس منتظماً — بل يتغير مع الموقع. ومع ذلك، تتطلب العديد من التطبيقات العلمية والعملية مجالاً مغناطيسياً منتظماً.
I discovered that in the region between two identical coaxial coils, the magnetic field becomes uniform. The closer the coils are brought together, the larger the region of uniformity.اكتشفت أن في المنطقة بين ملفين متطابقين ومحوريين، يصبح المجال المغناطيسي منتظماً. وكلما قربنا الملفين من بعضهما، اتسعت منطقة الانتظام.
The optimal separation for maximum uniformity is when the distance between the coils equals their radius (\(d = R\)). This configuration is now known as Helmholtz coils.المسافة المثلى للحصول على أقصى انتظام هي عندما تكون المسافة بين الملفين مساوية لنصف قطرهما (\(d = R\)). يُعرف هذا التكوين الآن باسم ملفات هلمهولتز.
If we bring the loops even closer and increase the number of loops, we get a wider uniform field. This is known as a solenoid.إذا قمنا بتقريب الحلقات أكثر وزدنا عدد الحلقات، سنحصل على مجال منتظم أوسع. وهذا ما يُعرف بالملف اللولبي.
✅Uniform Fieldمجال منتظم
The region between the two coils has a uniform magnetic field, ideal for precise measurements.المنطقة بين الملفين لها مجال مغناطيسي منتظم، مثالي للقياسات الدقيقة.
📐Optimal Separationالمسافة المثلى
Maximum uniformity occurs when the coil separation equals the coil radius (\(d = R\)).أقصى انتظام يحدث عندما تكون المسافة بين الملفين مساوية لنصف القطر (\(d = R\)).
🔄From Coils to Solenoidsمن الملفات إلى الملفات اللولبية
Increasing the number of loops creates a wider uniform field — the basis of the solenoid.زيادة عدد الحلقات يخلق مجالاً منتظماً أوسع — أساس الملف اللولبي.
⚡Practical Applicationsتطبيقات عملية
Used in experiments, MRI machines, particle accelerators, and magnetic field sensors.تُستخدم في التجارب، أجهزة الرنين المغناطيسي، مسرعات الجسيمات، ومستشعرات المجال المغناطيسي.
🧪 Interactive Simulation — Magnetic field of coaxial circular coils🧪 محاكاة تفاعلية — المجال المغناطيسي الناتج عن حلقات دائرية محورية
0.50
Position:الموقع:(0.0, 0.0)
Field |B|:شدة المجال |B|:0.0000
Direction:الاتجاه:0°
Field linesخطوط المجال
Coilsالحلقات
Field vectorمتجه المجال
🖱️Move the cursorحرّك المؤشرover the canvas to see the field value and direction at each pointعلى الرسم البياني لرؤية قيمة واتجاه المجال عند كل نقطة
In this simulation, when a charged particle is launched at a constant speed and perpendicular to a uniform field, the particle will follow a circular path. Launch the particle at the center of a Helmholtz coil, perpendicular to the field, and observe the circular trajectory. This confirms the uniform field at the center of the Helmholtz coil. And do not forget to make the angle between the field and the velocity 90° by setting the launch angle to 0.0 in the direction of the axis.في هذه المحاكاة عند قذف جسيم مشحون بسرعة ثابتة وبشكل عمودي على مجال منتظم سوف يتخذ الجسيم مسار دائري. اقذف جسيم في مركز ملف هلمهولتز وبشكل عمودي وراقب المسار الدائري. هذا يؤكد المجال المنتظم في مركز هلمهولتز. ولا تنسى أن تجعل الزاوية بين المجال والسرعة 90 درجة من خلال جعل زاوية القذف 0.0 باتجاه محور.
Useful Information: Calculating the Magnetic Field of a Solenoid Using Ampere's Lawمعلومات مفيدة: حساب مقدار المجال المغناطيسي لملف لولبي باستخدام قانون أمبير
We have an ideal solenoid carrying a direct current. Using the right-hand rule, we determine the direction of the field. To calculate the field, we choose a closed surface, preferably a rectangle or square for convenience.ليكن لدينا ملف لولبي مثالي ويمر به تيار مستمر. من خلال قاعدة القبضة نحدد اتجاه المجال. ولحساب المجال نختار سطح مغلق، الأفضل أن يكون على شكل مربع أو مستطيل للسهولة.
Applying Ampere's law:بتطبيق قانون أمبير:
\[\oint \vec B \cdot d\vec l = \mu_0I_\text{enc} \]
There are four surfaces to consider:يوجد أربع أسطح أمامك:
Apply the following simulation to derive the value of the field for a solenoid. (Every 5 turns have a length of 1 mm. The current is the sum of the enclosed currents - multiply the number of turns by the current intensity used.)طبق المحاكاة التالية لاستنتاج قيمة المجال لملف لولبي. (كل خمس لفات طولها 1 ميلي متر، التيار هو مجموع التيارات المحصورة - أضرب عدد اللفات بشدة التيار المستخدمة.)
\[\oint \vec B \cdot d\vec l = 0 + 0 + BL + 0 = BL\]
Useful Information: Calculating the Magnetic Field of a Toroidمعلومات مفيدة: حساب مقدار المجال المغناطيسي لملف حلقي
When the solenoid is bent until its ends meet, it is called a toroid. The toroid is considered ideal (no field outside the toroid - the field is only between the turns).عند ثني الملف اللولبي حتى يلتقي طرفاه يُدعى ملفاً حلقيّاً. إن الملف الحلقي يعتبر مثالياً (لا يوجد مجال خارج الملف، المجال فقط بين الحلقات).
Applying Ampere's law to calculate the field inside the toroid, we choose a loop of radius \(r\):بتطبيق قانون أمبير لحساب المجال داخل الملف نختار حلقة نصف قطرها \(r\):
\[\oint \vec B \cdot d\vec l = \mu_0I_\text{enc} \]
\[\oint \vec B \cdot d\vec l = B\oint dl = B(2\pi\,r) = 2\pi\,r\,B\]
\[B = \frac{\mu_0NI}{2\pi\,r} \]
\[1 \star\]
The relationship between the magnetic field produced by a current-carrying wire and the distance from the wire's axis is shown in the figure. The value of the field at a distance of \(12\;mm\) from the center of the wire is:تم رسم العلاقة بين المجال الناتج من سلك يمر به تيار والبعد عن محور السلك كما في الشكل. فإن قيمة المجال على بعد \(12\;mm\) من مركز السلك يعادل:
Choose the correct answer:اختر الإجابة الصحيحة:
A
\[ B= 2.5× 10^{-3} \;\;T \]
B
\[ B= 2.4 × 10^{-3} \;\;T \]
C
\[ B= 2.3 × 10^{-3} \;\;T \]
D
\[ B= 2.2 × 10^{-3} \;\;T \]
✅ Solution:✅ الحل:
💡 Concept: From the graph, the magnetic field inside a current-carrying wire increases linearly with distance from the center. At \(r = 12\;mm\), the field is read directly from the graph.💡 المفهوم: من الرسم البياني، المجال المغناطيسي داخل سلك يمر به تيار يزداد خطياً مع البعد عن المركز. عند \(r = 12\;mm\)، تُقرأ قيمة المجال مباشرة من الرسم البياني.
1Read from the graph: At \(r = 12\;mm = 0.012\;m\), the magnetic field is \(B = 2.4 \times 10^{-3}\;T\).القراءة من الرسم البياني: عند \(r = 12\;mm = 0.012\;m\)، المجال المغناطيسي هو \(B = 2.4 \times 10^{-3}\;T\).
Two circular coils (Helmholtz coils) each has 80 turns and carries a current of \(5\;A\). If the radius of each coil is \(0.08\;m\) and they are separated by a distance of \(0.16\;m\), the magnitude of the magnetic field at the midpoint between them is:ملفان دائريان (هلمهولتز) عدد لفات كل ملف 80 لفة ويسري في كل لفة تيار شدته \(5\;A\). إذا كان نصف قطر الملف الواحد \(0.08\;m\) ويبعدان عن بعضهما مسافة قدرها \(0.16\;m\)، فإن مقدار المجال المغناطيسي في منتصف المسافة بينهما يعادل:
Choose the correct answer:اختر الإجابة الصحيحة:
A
\[ B= 2.2× 10^{-3} \;\;T \]
B
\[ B= 5.6 × 10^{-4} \;\;T \]
C
\[ B= 4.4 × 10^{-4} \;\;T \]
D
\[ B= 5.5 × 10^{-3} \;\;T \]
✅ Solution:✅ الحل:
💡 Concept: For Helmholtz coils, the magnetic field at the midpoint is given by: \[B = \frac{8\mu_0 N I}{\sqrt{125}\,R}\] where \(N\) is the number of turns, \(I\) is the current, and \(R\) is the radius.💡 المفهوم: لملفات هلمهولتز، المجال المغناطيسي في المنتصف يعطى بالعلاقة: \[B = \frac{8\mu_0 N I}{\sqrt{125}\,R}\] حيث \(N\) هو عدد اللفات، \(I\) هو التيار، و \(R\) هو نصف القطر.
المصدر:Source:vascak.cz لاحظت خطأ؟ أو عندك سؤال؟ اكتبه في التعليقات وحدد مكانه بالضبط.Spotted a mistake, or have a question? Leave a comment and point to exactly where.
