🎯 نواتج التعلم
بعد دراسة هذا الدرس ستكون قادراً على أن:
- تذكر نص قانون كيرشوف الأول (قانون التيار) وتفسّره بحفظ الشحنة الكهربائية.
- تطبّق قانون التيار لحساب تيار مجهول عند عقدة، وتحدد اتجاهه.
- تذكر نص قانون كيرشوف الثاني (قانون الجهد) وتفسّره بحفظ الطاقة.
- تطبّق قانون الجهد على حلقة مغلقة لإيجاد جهد أو تيار مجهول.
- تحل دائرة بحلقتين باستخدام القانونين معاً وتتحقق من النتيجة.
- تفسّر الإشارة السالبة للتيار المحسوب.
- تصف مبدأ عمل قنطرة وتستون وتكتب معادلة اتزانها.
- تحسب مقاومة مجهولة باستخدام قنطرة وتستون.
- تذكر العوامل المؤثرة في دقة القنطرة وبعض تطبيقاتها العملية.
1) مقدمة
وضع العالم غوستاف كيرشوف في القرن التاسع عشر قانونين أساسيين لتحليل الدوائر الكهربائية، وهما أساس فهم سلوك التيار والجهد في الدوائر الكهربائية والإلكترونية. وتظهر أهميتهما في الهندسة الكهربائية والإلكترونية، وأنظمة التحكم الآلي، وتصميم أنظمة الطاقة المتجددة.
2) القانون الأول: قانون التيار (KCL)
النص: مجموع التيارات الداخلة إلى نقطة تفرّع يساوي مجموع التيارات الخارجة منها.
\[ \sum I_{in} = \sum I_{out} \]
شرح إضافي: لماذا؟ القانون نتيجة حفظ الشحنة: الشحنات لا تتراكم عند نقطة التفرّع، لذلك ما يدخلها من تيار يجب أن يخرج منها. وإذا خرجت قيمة تيار بإشارة سالبة فهذا يعني أن اتجاهه الحقيقي عكس الاتجاه الذي افترضته.
🧪 تجربة 1: مجموع التيارات الداخلة يساوي مجموع التيارات الخارجة
هذه التجربة تطبّق قانون التيار على عقدة واحدة N: تدخل إليها تياران، ويخرج منها تياران. غيّر القيم وتأمل المجموعين، ثم حاول أن تجعلهما متساويين.
🧪 تجربة 1
مجموع التيارات الداخلة = مجموع الخارجة
الهدف: التحقق من أن مجموع التيارات الداخلة إلى العقدة يساوي مجموع الخارجة منها.
- حرّك I₁ وI₂ (الداخلان) وI₃ (الخارج) وراقب المجموعين.
- أعد الضبط بحيث يكون I₄ = I₁ + I₂ − I₃، ثم تحقق.
- جرّب قيماً تخالف ذلك، ولاحظ الفرق الظاهر في الشريط.
ماذا تلاحظ؟ المجموعان يتساويان دائماً عندما تكون العقدة متوازنة، لأن الشحنات لا تتراكم فيها.
3) القانون الثاني: قانون الجهد (KVL)
النص: مجموع الجهود في أي حلقة مغلقة يساوي صفراً.
\[ \sum V = 0 \quad\Rightarrow\quad \sum \varepsilon = \sum I R \]
شرح إضافي: لماذا يكون المجموع صفراً؟ البطارية ترفع الجهد بمقدار ε، والمقاومات تُنقص الجهد بمقدار IR. وعند الرجوع إلى نقطة البداية يعود الجهد إلى قيمته الأصلية، فيكون المجموع صفراً. وهذا تعبير عن حفظ الطاقة.
🧪 تجربة 2: مجموع الجهود في حلقة مغلقة يساوي صفراً
نسير حول حلقة مغلقة واحدة تحتوي بطاريتين ومقاومات ثلاث، ونجمع التغيّرات في الجهد عند كل عنصر. البطارية ترفع الجهد بمقدار ε، والمقاومة تُنقصه بمقدار IR.
🧪 تجربة 2
مجموع الجهود في حلقة مغلقة معدوم
الهدف: التحقق من أن المجموع الجبري للجهود حول الحلقة المغلقة يساوي صفراً.
- غيّر قيمة ε₁ وε₂ (اجعل ε₂ سالبة لعكس البطارية) وراقب التيار.
- غيّر R₁ وR₂ وR₃ وراقب الهبوط الجهدي عند كل مقاومة.
- تحقق من أن مجموع الجهود حول الحلقة يساوي صفراً في كل حالة.
ماذا تلاحظ؟ مهما تغيّرت القيم، المجموع الجبري لارتفاعات البطاريات وهبوطات المقاومات يساوي صفراً، وهذا حفظ للطاقة في الحلقة.
4) خطوات حل مسائل كيرشوف
- حدّد جميع العُقد في الدائرة.
- افترض اتجاهات التيارات.
- طبّق قانون التيار على العُقد.
- حدّد الحلقات المستقلة.
- طبّق قانون الجهد على كل حلقة.
- حلّ نظام المعادلات الناتج، وتحقق من النتيجة.
مثال محلول: بطارية 24 V مع مقاومتين R₁ = 4 Ω وR₂ = 8 Ω على التوالي. أوجد جهد R₂.
\[ R_{eq} = 4 + 8 = 12\ \Omega \quad\Rightarrow\quad I = \frac{24}{12} = 2\ \text{A} \]
\[ V_2 = I R_2 = 2 \times 8 = 16\ \text{V} \]
التحقق بقانون الجهد: \(24 - (2 \times 4) - 16 = 0\) ✓
5) تجربة 3: قانونا كيرشوف في دائرة بحلقتين
الدائرة المدروسة فيها عقدتان P وQ، وحلقتان: اليسرى فيها البطارية ε₁ والمقاومة R₁، واليمنى فيها البطارية ε₂ والمقاومة R₂، والوسطى فيها R₃ تصل بين P وQ. التيارات الثلاثة مجهولة، لذلك نستخدم القانونين معاً.
🧪 تجربة 3
قانونا كيرشوف في دائرة بحلقتين
الهدف: تطبيق قانون التيار وقانون الجهد لإيجاد التيارات الثلاثة، والتحقق من النتائج.
- غيّر ε₁ وε₂ وR₁ وR₂ وR₃ بالمنزلقات.
- لاحظ اتجاه كل تيار: الموجب يسير في اتجاه السهم، والسالب عكسه.
- تحقق من أن I₁ + I₂ = I₃ عند P، ومن قانون الجهد في كل حلقة.
ماذا تلاحظ؟ التيار I₂ قد يكون سالباً، أي أن البطارية اليمنى تُجبر التيار على الخروج من P نحو اليمين. وقانون الجهد يتحقق في الحلقتين دائماً.
اشتقاق الحل بالقانونين
\[ I_3 = \frac{\varepsilon_1/R_1 + \varepsilon_2/R_2}{1 + R_3/R_1 + R_3/R_2} \]
\[ I_1 = \frac{\varepsilon_1 - I_3 R_3}{R_1}, \qquad I_2 = \frac{\varepsilon_2 - I_3 R_3}{R_2} \]
مثال بالقيم الافتراضية (ε₁ = 12 V، ε₂ = 6 V، R₁ = 4 Ω، R₂ = 2 Ω، R₃ = 6 Ω):
\(I_3 = \dfrac{3 + 3}{1 + 1.5 + 3} = \dfrac{6}{5.5} \approx 1.09\) A، \(I_1 = \dfrac{12 - 6.54}{4} \approx 1.36\) A، \(I_2 = \dfrac{6 - 6.54}{2} \approx -0.27\) A.
تحقق: \(I_1 + I_2 = I_3\)، و\(12 = 4(1.36) + 6(1.09)\)، و\(6 = 2(-0.27) + 6(1.09)\).
تجربة 4: التحقق من القانونين في شبكة ثلاثية الفروع
هذه الشبكة أعمق من الدائرة السابقة: ثلاثة فروع بين العقدتين N₁ وN₂، كل فرع فيه بطارية ومقاومة، ويمكن قطع أي فرع. الفرق الكامل بين العقدتين ΔV مجهول، لذلك نجد ΔV أولاً بقانون كيرشوف الأول، ثم نجد التيارات، ثم نتحقق من قانون الجهد في كل حلقة.
🧪 تجربة 4
التحقق من قانوني كيرشوف في شبكة ثلاثية الفروع
الهدف: حساب فرق الجهد ΔV والتيارات الثلاثة، ثم التحقق من قانون التيار عند N₁ وقانون الجهد في كل حلقة.
- غيّر البطاريات والمقاومات وراقب تغيّر ΔV والتيارات.
- افتح فرعاً بتحديد المربع، ولاحظ كيف يُعاد توزيع التيارات.
- جرّب قيمة ΔV بالمنزلق، ثم اضغط «اضبط ΔV تلقائياً» وقارن.
ماذا تلاحظ؟ عندما يكون ΔV هو القيمة الصحيحة يتحقق قانون التيار عند N₁ تماماً، وتتحقق معادلات الجهد في كل حلقة. وعند فتح فرع يصبح تياره صفراً.
6) قنطرة وتستون
قنطرة وتستون دائرة تُستخدم لقياس مقاومة مجهولة بدقة. تحتوي على أربع مقاومات وجلفانومتر، وإحدى المقاومات متغيّرة القيمة.
مبدأ العمل: تُغيَّر المقاومة المتغيّرة حتى يقرأ الجلفانومتر صفراً، وعندها نحسب المقاومة المجهولة من معادلة الاتزان:
\[ \frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_x} \quad\Rightarrow\quad R_x = \frac{R_2 R_3}{R_1} \]
شرح إضافي: لماذا يقرأ الجلفانومتر صفراً عند الاتزان؟ عند الاتزان يتساوى الجهد عند النقطتين B وD، فلا يمر تيار في الجلفانومتر. وهذا يعني أن نسبة الجهد على R₁ إلى الجهد على R₂ تساوي نسبة الجهد على R₃ إلى الجهد على Rₓ، وهو ما تعبّر عنه المعادلة.
العوامل المؤثرة في الدقة
- دقة المقاومات المعروفة.
- استقرار مصدر الجهد.
- حساسية الجلفانومتر.
- درجة الحرارة، لأنها تغيّر قيم المقاومات.
7) تجربة 5: قنطرة وتستون
🧪 تجربة 5
قنطرة وتستون
الهدف: إيجاد المقاومة المجهولة Rₓ بتعديل R₃ حتى يصبح الجلفانومتر صفراً.
- حرّك R₃ ببطء وراقب مؤشر الجلفانومتر.
- عندما يصبح المؤشر صفراً تكون القنطرة متزنة.
- احسب Rₓ = R₂R₃/R₁ وقارنها بالقيمة التي تظهر عند الاتزان.
ماذا تلاحظ؟ انحراف المؤشر يدل على فرق الجهد بين B وD، ويتجه نحو الجهة التي تحدد اتجاه تغيير R₃ الصحيح.
8) مسألة محلولة
المعطيات: R₁ = 6 Ω وR₂ = 12 Ω على التوالي، والجهد V = 18 V. أوجد التيار وجهد كل مقاومة.
\[ R_{eq} = 6 + 12 = 18\ \Omega \quad\Rightarrow\quad I = \frac{18}{18} = 1\ \text{A} \]
\[ V_1 = 1 \times 6 = 6\ \text{V}, \qquad V_2 = 1 \times 12 = 12\ \text{V} \]
التحقق: \(18 - 6 - 12 = 0\) ✓
9) تطبيقات عملية
- قياس الانفعال بالمقاييس الانفعالية (Strain Gauges)، فيُعبَّر عن التشوه بتغيّر صغير في المقاومة.
- كشف التغيّرات في درجة الحرارة بالمقاومات الحرارية (Thermistors).
- أنظمة الإنذار بالأبواب والنوافذ.
- قياس الضغط بالمستشعرات الطبية.
مثال عملي: في موازين الحمولة يتشوه المقياس الانفعالي عند وضع وزن، فتتغيّر مقاومته، ويُظهر تغيّر قراءة القنطرة قيمة الوزن.
ملخص الدرس
• قانون التيار (KCL): مجموع التيارات الداخلة إلى عقدة يساوي مجموع الخارجة منها.
• قانون الجهد (KVL): مجموع الجهود حول أي حلقة مغلقة يساوي صفراً.
• الإشارة السالبة للتيار المحسوب تعني أن اتجاهه الحقيقي عكس المفترض.
• قنطرة وتستون متزنة عندما يقرأ الجلفانومتر صفراً، ومعادلتها: R₁/R₂ = R₃/Rₓ.
🎯 Learning Outcomes
After studying this lesson, you will be able to:
- State Kirchhoff’s first law (the current law) and explain it through conservation of electric charge.
- Apply the current law to find an unknown current at a node, and determine its direction.
- State Kirchhoff’s second law (the voltage law) and explain it through conservation of energy.
- Apply the voltage law to a closed loop to find an unknown voltage or current.
- Solve a two-loop circuit using both laws together and verify the result.
- Explain the negative sign of a calculated current.
- Describe how the Wheatstone bridge works and write its balance equation.
- Calculate an unknown resistance using the Wheatstone bridge.
- Identify the factors affecting the accuracy of the bridge and some of its practical applications.
1) Introduction
In the nineteenth century, Gustav Kirchhoff formulated two fundamental laws for analyzing electrical circuits. They are the cornerstone for understanding how current and voltage behave in electrical and electronic circuits, and they are used in electrical and electronics engineering, automatic control systems and renewable energy design.
2) Kirchhoff’s First Law: The Current Law (KCL)
Statement: The sum of currents entering a junction equals the sum of currents leaving it.
\[ \sum I_{in} = \sum I_{out} \]
Extra explanation: why? The law follows from charge conservation: charge does not accumulate at a junction, so the current entering must leave. A negative value for a calculated current means its real direction is opposite to the one you assumed.
🧪 Experiment 1: The Sum of Entering Currents Equals the Sum of Leaving Currents
This experiment applies the current law to a single node N: two currents enter it and two leave it. Change the values, watch both sums, and try to make them equal.
🧪 Experiment 1
Sum of entering currents = sum of leaving currents
Goal: verify that the sum of currents entering the node equals the sum leaving it.
- Move I₁ and I₂ (entering) and I₃ (leaving) and watch the two sums.
- Set I₄ = I₁ + I₂ − I₃ and check.
- Try values that break the rule and note the difference shown.
What do you notice? The two sums are equal whenever the node is balanced, because charge does not accumulate in it.
3) Kirchhoff’s Second Law: The Voltage Law (KVL)
Statement: The sum of voltages around any closed loop is zero.
\[ \sum V = 0 \quad\Rightarrow\quad \sum \varepsilon = \sum I R \]
Extra explanation: why is the sum zero? A battery raises the potential by ε, and resistors reduce it by IR. Returning to the starting point, the potential is back to its original value, so the sum is zero. This expresses energy conservation.
🧪 Experiment 2: The Sum of Voltages Around a Closed Loop Is Zero
We walk around one closed loop containing two batteries and three resistors, and add the potential changes at each element. A battery raises the potential by ε, and a resistor lowers it by IR.
🧪 Experiment 2
The sum of voltages around a closed loop is zero
Goal: verify that the algebraic sum of voltages around the closed loop is zero.
- Change ε₁ and ε₂ (make ε₂ negative to reverse the battery) and watch the current.
- Change R₁, R₂ and R₃ and watch the voltage drop across each resistor.
- Check that the sum of voltages around the loop is zero in every case.
What do you notice? No matter how the values change, the algebraic sum of battery rises and resistor drops is zero, which is energy conservation around the loop.
4) Steps for Solving Kirchhoff Problems
- Identify all the nodes in the circuit.
- Assume directions for the currents.
- Apply the current law at the nodes.
- Identify the independent loops.
- Apply the voltage law to each loop.
- Solve the resulting system of equations and check the result.
Worked example: A 24 V battery with two series resistors R₁ = 4 Ω and R₂ = 8 Ω. Find the voltage across R₂.
\[ R_{eq} = 4 + 8 = 12\ \Omega \quad\Rightarrow\quad I = \frac{24}{12} = 2\ \text{A} \]
\[ V_2 = I R_2 = 2 \times 8 = 16\ \text{V} \]
Check with the voltage law: \(24 - (2 \times 4) - 16 = 0\) ✓
5) Experiment 3: Kirchhoff’s Laws in a Two-Loop Circuit
The circuit has two nodes, P and Q, and two loops: the left loop has battery ε₁ and resistor R₁, the right loop has battery ε₂ and resistor R₂, and the middle branch R₃ connects P and Q. The three currents are unknown, so we use both laws together.
🧪 Experiment 3
Kirchhoff’s laws in a two-loop circuit
Goal: apply the current law and the voltage law to find the three currents, then verify the results.
- Change ε₁, ε₂, R₁, R₂ and R₃ with the sliders.
- Note each current’s direction: a positive current follows the arrow, a negative one opposes it.
- Check that I₁ + I₂ = I₃ at P, and check the voltage law in each loop.
What do you notice? I₂ can be negative: the right battery forces current out of P toward the right. The voltage law holds in both loops at all times.
Deriving the solution with the two laws
\[ I_3 = \frac{\varepsilon_1/R_1 + \varepsilon_2/R_2}{1 + R_3/R_1 + R_3/R_2} \]
\[ I_1 = \frac{\varepsilon_1 - I_3 R_3}{R_1}, \qquad I_2 = \frac{\varepsilon_2 - I_3 R_3}{R_2} \]
Example with the default values (ε₁ = 12 V, ε₂ = 6 V, R₁ = 4 Ω, R₂ = 2 Ω, R₃ = 6 Ω):
\(I_3 = \dfrac{3 + 3}{1 + 1.5 + 3} = \dfrac{6}{5.5} \approx 1.09\) A, \(I_1 = \dfrac{12 - 6.54}{4} \approx 1.36\) A, \(I_2 = \dfrac{6 - 6.54}{2} \approx -0.27\) A.
Check: \(I_1 + I_2 = I_3\), \(12 = 4(1.36) + 6(1.09)\), and \(6 = 2(-0.27) + 6(1.09)\).
Experiment 4: Verifying Both Laws in a Three-Branch Network
This network is deeper than the previous circuit: three branches connect nodes N₁ and N₂, each with a battery and a resistor, and any branch can be cut. The voltage ΔV between the nodes is unknown, so we first find ΔV with Kirchhoff’s first law, then the currents, then verify the voltage law in each loop.
🧪 Experiment 4
Verifying Kirchhoff’s laws in a three-branch network
Goal: compute the voltage ΔV and the three currents, then verify the current law at N₁ and the voltage law in each loop.
- Change the batteries and resistors and watch ΔV and the currents change.
- Open a branch by ticking its box, and observe how the currents redistribute.
- Try a value of ΔV with the slider, then press “Set ΔV automatically” and compare.
What do you notice? When ΔV is correct, the current law at N₁ holds exactly and the voltage equations hold in each loop. An open branch carries zero current.
6) The Wheatstone Bridge
The Wheatstone bridge is a circuit used to measure an unknown resistance precisely. It has four resistors and a galvanometer, and one of the resistors is variable.
Operating principle: The variable resistor is adjusted until the galvanometer reads zero. Then the unknown resistance follows from the balance equation:
\[ \frac{R_1}{R_2} = \frac{R_3}{R_x} \quad\Rightarrow\quad R_x = \frac{R_2 R_3}{R_1} \]
Extra explanation: why does the galvanometer read zero at balance? At balance the potentials at B and D are equal, so no current flows through the galvanometer. The voltage ratio across R₁ and R₂ then equals the ratio across R₃ and Rₓ, which the equation expresses.
Factors affecting accuracy
- Precision of the known resistors.
- Stability of the voltage source.
- Sensitivity of the galvanometer.
- Temperature, which changes resistance values.
7) Experiment 5: The Wheatstone Bridge
🧪 Experiment 5
The Wheatstone bridge
Goal: find the unknown resistance Rₓ by adjusting R₃ until the galvanometer reads zero.
- Move R₃ slowly and watch the galvanometer needle.
- When the needle reads zero, the bridge is balanced.
- Compute Rₓ = R₂R₃/R₁ and compare it with the value shown at balance.
What do you notice? The needle deflection shows the potential difference between B and D, and points in the direction in which R₃ must change.
8) Worked Problem
Given: R₁ = 6 Ω and R₂ = 12 Ω in series, V = 18 V. Find the current and the voltage across each resistor.
\[ R_{eq} = 6 + 12 = 18\ \Omega \quad\Rightarrow\quad I = \frac{18}{18} = 1\ \text{A} \]
\[ V_1 = 1 \times 6 = 6\ \text{V}, \qquad V_2 = 1 \times 12 = 12\ \text{V} \]
Check: \(18 - 6 - 12 = 0\) ✓
9) Practical Applications
- Measuring strain with strain gauges, where deformation appears as a small change in resistance.
- Detecting temperature changes with thermistors.
- Door and window alarm systems.
- Pressure measurement in medical sensors.
Practical example: In load scales, placing a weight deforms the strain gauge and changes its resistance; the bridge reading then shows the weight.
Lesson summary
• Current law (KCL): the sum of currents entering a node equals the sum leaving it.
• Voltage law (KVL): the sum of voltages around any closed loop is zero.
• A negative calculated current means its real direction is opposite to the assumed one.
• The Wheatstone bridge is balanced when the galvanometer reads zero, with R₁/R₂ = R₃/Rₓ.