قانون جاوس والمجال الكهربائي

للتواصل: 00971504825082

🎯 نواتج التعلم

بعد دراسة هذا الدرس ستكون قادراً على أن:

تعرّف التدفق الكهربائي وتحسبه: Φ = E·A·cosθ.
تفسّر قانون جاوس وتستنتج العلاقة بين التدفق والشحنة المحاطة: Φ = Q_in / ε₀.
تحدد سطح جاوس المناسب لكل تماثل: كروي أو أسطواني أو مستوٍ.
تحسب المجال حول سلك طويل ولا نهائي باستخدام قانون جاوس.
تحسب المجال لصفيحة غير موصلة وصفيحة موصلة لا نهائيتين.
تحسب المجال داخل كرة مصمتة مشحونة وخارجها.
تستنتج أن المجال داخل الموصل في حالة الاتزان يساوي صفراً.
تستخدم المحاكاة التفاعلية للتحقق من النتائج بنفسك.

0) تذكير: ما هو المجال الكهربائي؟

كل شحنة كهربائية تغيّر الفضاء من حولها، فأي شحنة أخرى توضع فيه تتأثر بقوة. هذا التغيّر هو المجال الكهربائي. لقياسه نضع شحنة اختبار صغيرة موجبة q₀ عند النقطة، ونقيس القوة F عليها:

\[ \vec E = \frac{\vec F}{q_0} \]

وحدته في النظام الدولي N/C، وتكافئها V/m. اتجاه المجال هو اتجاه القوة على الشحنة الموجبة، فيكون اتجاهه عكس القوة على الشحنة السالبة.

حول شحنة نقطية: \(E = \dfrac{k|q|}{r^2}\)، شعاعي، ويتناقص مع مربع المسافة.
خطوط المجال تبدأ من الشحنة الموجبة وتنتهي عند السالبة، ولا تتقاطع، وكثافتها تدل على قوة المجال.
عند وجود عدة شحنات يكون المجال المحصل المجموع الاتجاهي للمجالات الناتجة عن كل شحنة.

شرح إضافي: لماذا نحتاج شحنة اختبار موجبة؟ لأن المجال صفة للمكان نفسه، والشحنة الاختبارية تكشف هذه الصفة. ويجب أن تكون صغيرة حتى لا تغيّر المجال الذي نقيسه. وقانون جاوس يعتمد على هذا المفهوم: التدفق يقيس عدد خطوط المجال التي تخترق سطحاً.

🎯 اضغط هنا تظهر نواتج التعلم

التدفق الكهربائي

التدفق الكهربائي هو عدد خطوط المجال الكهربائي التي تجتاز مساحة سطح ما بشكل عمودي.

من العوامل المؤثرة على التدفق الكهربائي: مساحة السطح، وشدة المجال الكهربائي، والزاوية بين المجال والعمود الخارج من السطح. التدفق كمية قياسية ويُعطى بالعلاقة:

\[\Phi=A\,E\cos\theta\qquad\left(\text{unit: }\frac{N\cdot m^2}{C}\right)\]

[1 ⭐]

أحد وحدات القياس التالية تكافئ وحدة قياس المجال الكهربائي

اختر الإجابة الصحيحة

A\[Kg\cdot m\cdot A^{-1}\cdot s^{-3}\]

B\[Kg\cdot m\cdot A^{-2}\cdot s^{-2}\]

C\[Kg\cdot m\cdot A^{-1}\cdot s^{-2}\]

D\[Kg\cdot m\cdot A^{-1}\cdot s^{-1}\]

📖 اضغط هنا تظهر طريقة الحل

سطح على شكل مربع طول ضلعه \(0.2\;m\) وُضع داخل مجال كهربائي منتظم شدته \(E=500\;N/C\). احسب التدفق في الحالات التالية:

المجال يصنع زاوية 30° مع السطح \[...................\] 📖 اضغط هنا تظهر طريقة الحل	المجال يصنع زاوية 30° مع العمود على السطح \[...................\] 📖 اضغط هنا تظهر طريقة الحل
المجال عمودي على السطح \[...................\] 📖 اضغط هنا تظهر طريقة الحل	المجال يوازي السطح \[...................\] 📖 اضغط هنا تظهر طريقة الحل

مثال محلول

مكعب طول ضلعه \(0.3\;m\) وُضع داخل مجال كهربائي منتظم يتجه نحو محور \(X\) شدته \(E=200\;N/C\). احسب التدفق الذي يجتاز كل سطح والتدفق الكلي.

الحل

للمكعب ست أوجه: 1) أمامي، 2) خلفي، 3) علوي، 4) سفلي، 5) جانبي أيمن، 6) جانبي أيسر.

لأن المجال يوازي الأوجه الأربعة الأولى:

\[\Phi_1=\Phi_2=\Phi_3=\Phi_4=0\]

\[\Phi_5=AE\cos0^\circ=(0.3\times0.3)\times200\times\cos0^\circ=18\;\frac{N\cdot m^2}{C}\]

\[\Phi_6=AE\cos180^\circ=(0.3\times0.3)\times200\times\cos180^\circ=-18\;\frac{N\cdot m^2}{C}\]

\[\Phi_{net}=0+0+0+0+18-18=0\]

نتيجة هامة: إذا وُضع جسم في مجال كهربائي منتظم أو غير منتظم فإن التدفق الكلي على الجسم معدوم، لأن عدد الخطوط الداخلة إلى الجسم هو نفسه الخارجة منه.

قانون جاوس (استنتاج القانون من قانون كولوم)

لتكن لدينا شحنة نقطية تولّد حولها مجالًا كهربائيًا، والمطلوب حساب المجال عند نقطة تبعد عنها مسافة \(r\). نختار سطح جاوس يمر بالنقطة المطلوبة بحيث يكون المجال ثابتًا على السطح الجاوسي. ليكن لدينا عنصر مساحة صغير \(dA\) يمر منه مجال شدته \(E\):

فيكون التدفق:

\[d\Phi=dA\,E\cos\theta,\qquad \Phi=\oint dA\,E\cos0^\circ=E\oint dA=E\,A=4\pi r^2\cdot\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\]

\[\Phi=\oint\vec E\cdot d\vec A=\frac{q}{\varepsilon_0}\]

بهذه الطريقة نجد المجال دون الدخول في تعقيدات التكامل.

نتائج من خلال قانون جاوس

المجال الكهربائي داخل موصل معزول دائمًا يساوي صفرًا. عند وضع موصل داخل مجال كهربائي تتأثر شحناته بقوة المجال، فتندفع الشحنات السالبة عكس المجال والموجبة باتجاهه، مما يولّد مجالًا كهربائيًا معاكسًا للمجال المؤثر، فتكون محصلة المجال داخل الموصل معدومة.

التجاويف داخل الموصلات محمية من المجالات. عند شحن أي موصل مهما كان شكله تتأثر الشحنات بقوة تنافر وتتباعد عن بعضها، وأبعد مكان هو السطح الخارجي للموصل، وبذلك لا توجد شحنات داخل الموصل والمجال معدوم.

المجال الناتج عن سلك طويل لا نهائي (بقانون جاوس)

سلك طويل لا نهائي ومشحون بكثافة خطية \(\lambda\). أوجد المجال عند نقطة تبعد \(r\) عن السلك. نختار سطح جاوس يمر بالنقطة بحيث يكون المجال ثابتًا عليه، والأسطوانة تحقق ذلك.

التدفق على قاعدتي الأسطوانة معدوم لأن المجال عمودي على العمود الخارج من السطح، ويبقى التدفق على السطح الجانبي الذي مساحته \(A=2\pi rL\):

\[\Phi=\oint dA\,E\cos0^\circ=\frac{q}{\varepsilon_0}\;\Rightarrow\;E\,(2\pi rL)=\frac{\lambda L}{\varepsilon_0}\]

\[E=\frac{\lambda}{2\pi r\varepsilon_0}=\frac{2k\lambda}{r}\]

[2 ⭐⭐]

سلك طوله لا نهائي؛ حُسب المجال عند نقطة تبعد عن السلك \(0.3\;m\) فكانت قيمة المجال الكهربائي \(2.5\times10^3\;N/C\) والاتجاه موضح على الشكل؛ فإن عدد الإلكترونات المكتسبة أو المفقودة في وحدة الطول يعادل

اختر الإجابة الصحيحة

A\(n=2.6\times10^{11}\) فقد إلكترونات

B\(n=3.4\times10^{11}\) فقد إلكترونات

C\(n=2.6\times10^{11}\) اكتسب إلكترونات

D\(n=3.4\times10^{11}\) اكتسب إلكترونات

📖 اضغط هنا تظهر طريقة الحل

المجال الناتج عن صفيحة غير موصلة لا نهائية المساحة

الصفيحة مشحونة بكثافة سطحية \(\sigma\;(C/m^2)\). نختار سطح جاوس أسطوانيًا يمر بالنقطة المطلوبة. في السطح غير الموصل تتوزع الشحنات على كامل السطح.

التدفق على السطح الجانبي للأسطوانة معدوم لأن المجال عمودي على العمود الخارج، ويبقى التدفق على قاعدتي الأسطوانة:

\[\Phi=\oint dA_1E_1\cos0^\circ+\oint dA_2E_2\cos0^\circ+\oint dA_3E_3\cos90^\circ=\frac{q}{\varepsilon_0}\;\Rightarrow\;E(A+A)=\frac{\sigma A}{\varepsilon_0}\]

\[E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\]

المجال الناتج عن صفيحة موصلة لا نهائية المساحة

الصفيحة مشحونة بكثافة \(\sigma\). في السطح الموصل تتوزع الشحنات على السطح الخارجي، ولا مجال داخل الموصل، فيبقى التدفق على القاعدة الخارجية فقط:

\[\Phi=\oint dA_1E_1\cos0^\circ+\oint dA_3E_3\cos90^\circ=\frac{q}{\varepsilon_0}\;\Rightarrow\;E\,A=\frac{\sigma A}{\varepsilon_0}\]

\[E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\]

[3 ⭐]

لوحان موصلان لا نهائيان في الطول شُحنا بكثافة متساوية. أحد الإجابات التالية صحيحة

اختر الإجابة الصحيحة

A\[E_A=E_C=0\;,\;\;E_B=E_D\neq0\]

B\[E_A>E_C\;,\;\;E_B=E_D\]

C\[E_A=E_B=E_C=E_D\]

D\[E_A=E_B\;,\;\;E_D=E_C\]

📖 اضغط هنا تظهر طريقة الحل

التماثل الكروي

هيكل كروي

هيكل كروي مشحون نصف قطره \(R\). المطلوب حساب المجال عند نقطة خارج الهيكل تبعد \(r_2\) عن مركزه. نختار سطحًا كرويًا يمر بالنقطة المطلوبة ونحسب التدفق عليه:

\[\Phi=\oint E\,dA\cos0^\circ=\frac{q}{\varepsilon_0}\;\Rightarrow\;E\,(4\pi r_2^2)=\frac{q}{\varepsilon_0}\;\Rightarrow\;E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r_2^2}=\frac{kq}{r_2^2}\]

أما إذا كانت النقطة داخل الهيكل على بعد \(r_1\) فلا توجد شحنات داخل سطح جاوس:

\[\Phi=E\,(4\pi r_1^2)=0\;\Rightarrow\;E=0\]

كرة مصمتة غير موصلة

كرة مصمتة غير موصلة نصف قطرها \(R\) وشحنتها الكلية \(q_t\). المطلوب حساب المجال خارج الكرة عند بعد \(r\) عن مركزها:

\[E\,(4\pi r^2)=\frac{q_t}{\varepsilon_0}\;\Rightarrow\;E=\frac{kq_t}{r^2}\]

أما داخل الكرة على بعد \(r_s\) فجزء من الشحنة فقط داخل سطح جاوس:

\[E\,(4\pi r_s^2)=\frac{\rho V_s}{\varepsilon_0}=\frac{\rho\,\frac43\pi r_s^3}{\varepsilon_0}\;\Rightarrow\;E=\frac{\rho\,r_s}{3\varepsilon_0}\]

ويمكن إيجاد المجال داخل الكرة بطريقة أخرى: بما أن الشحنة موزعة بانتظام، فإن نسبة الشحنة داخل سطح جاوس إلى الشحنة الكلية تساوي نسبة الحجمين:

\[\frac{q_s}{q_t}=\frac{\frac43\pi r_s^3}{\frac43\pi R^3}=\frac{r_s^3}{R^3}\;\Rightarrow\;q_s=\frac{q_t\,r_s^3}{R^3}\]

\[E\,(4\pi r_s^2)=\frac{q_t r_s^3}{\varepsilon_0R^3}\;\Rightarrow\;E=\frac{q_t\,r_s}{4\pi\varepsilon_0R^3}=\frac{k\,q_t\,r_s}{R^3}\]

ملخص: المجال داخل الكرة المصمتة وخارجها

داخل الكرة (r < R)	خارج الكرة (r > R)
\[E=\frac{k\,q_t\,r}{R^3}\]\[E\propto r\]	\[E=\frac{k\,q_t}{r^2}\]\[E\propto \frac{1}{r^2}\]

حيث \(r\) هو البعد عن مركز الكرة المصمتة. وعند رسم العلاقة بين المجال والبعد عن المركز نحصل على الخط البياني التالي:

[4 ⭐⭐⭐]

رُسمت العلاقة بين المجال والبعد عن مركز كرة مشحونة مصمتة غير موصلة فكان الخط البياني التالي؛ فإن مقدار المجال عند نقطة تبعد \(0.15\;m\) عن مركز الكرة يعادل

اختر الإجابة الصحيحة

A\[E=2800\;N/C\]

B\[E=3000\;N/C\]

C\[E=2700\;N/C\]

D\[E=2900\;N/C\]

📖 اضغط هنا تظهر طريقة الحل

🎯 Learning Outcomes

After studying this lesson, you will be able to:

Define the electric flux and calculate it: Φ = E·A·cosθ.
State Gauss’s law and derive the relation between flux and enclosed charge: Φ = Q_in / ε₀.
Choose a suitable Gaussian surface for each symmetry: spherical, cylindrical or planar.
Calculate the field around an infinitely long line of charge using Gauss’s law.
Calculate the field of non-conducting and conducting infinite sheets.
Calculate the field inside and outside a uniformly charged solid sphere.
Conclude that the field inside a conductor at equilibrium is zero.
Use the interactive simulations to check the results yourself.

0) Reminder: what is the electric field?

Every electric charge changes the space around it, so any other charge placed there feels a force. This change is the electric field. To measure it, we place a small positive test charge q₀ at the point and measure the force F on it:

\[ \vec E = \frac{\vec F}{q_0} \]

Its SI unit is N/C, equivalent to V/m. The field points in the direction of the force on a positive charge, so it is opposite to the force on a negative charge.

Around a point charge: \(E = \dfrac{k|q|}{r^2}\), radial, falling with the square of the distance.
Field lines start on positive charges and end on negative ones, never cross, and their density shows the field strength.
For several charges, the net field is the vector sum of the fields produced by each charge.

Extra explanation: why a positive test charge? Because the field is a property of the place, and the test charge reveals it. It must be small so that it does not disturb the field being measured. Gauss’s law uses the same idea: the flux counts the field lines crossing a surface.

Gauss’s Law and the Electric Field

🎯 Click here to view the learning outcomes

Electric Flux

Electric flux is the number of electric field lines passing perpendicularly through a surface area.

Factors affecting the flux: the surface area, the field strength, and the angle between the field and the normal (outward perpendicular) to the surface. Flux is a scalar quantity given by:

\[\Phi=A\,E\cos\theta\qquad\left(\text{unit: }\frac{N\cdot m^2}{C}\right)\]

[1 ⭐]

Which of the following units is equivalent to the unit of the electric field?

Choose the correct answer

A\[Kg\cdot m\cdot A^{-1}\cdot s^{-3}\]

B\[Kg\cdot m\cdot A^{-2}\cdot s^{-2}\]

C\[Kg\cdot m\cdot A^{-1}\cdot s^{-2}\]

D\[Kg\cdot m\cdot A^{-1}\cdot s^{-1}\]

📖 Click to show the solution

A square surface of side \(0.2\;m\) is placed in a uniform electric field of strength \(E=500\;N/C\). Find the flux in each case:

The field makes 30° with the surface \[...................\] 📖 Click to view the solution	The field makes 30° with the normal to the surface \[...................\] 📖 Click to view the solution
The field is perpendicular to the surface \[...................\] 📖 Click to view the solution	The field is parallel to the surface \[...................\] 📖 Click to view the solution

Solved Example

A cube of side \(0.3\;m\) is placed in a uniform electric field directed along the \(X\) axis, of strength \(E=200\;N/C\). Find the flux through each face and the total flux.

Solution

The cube has six faces: 1) front, 2) back, 3) top, 4) bottom, 5) right side, 6) left side.

The field is parallel to the first four faces:

\[\Phi_1=\Phi_2=\Phi_3=\Phi_4=0\]

\[\Phi_5=AE\cos0^\circ=(0.3\times0.3)\times200\times\cos0^\circ=18\;\frac{N\cdot m^2}{C}\]

\[\Phi_6=AE\cos180^\circ=(0.3\times0.3)\times200\times\cos180^\circ=-18\;\frac{N\cdot m^2}{C}\]

\[\Phi_{net}=0+0+0+0+18-18=0\]

Key result: when a body is placed in a uniform or non-uniform electric field, the net flux through it is zero, because the number of field lines entering the body equals the number leaving it.

Gauss’s Law (Derived from Coulomb’s Law)

A point charge produces an electric field; we want the field at a point a distance \(r\) away. Choose a Gaussian surface through that point so that the field is constant on the surface. Consider a small area element \(dA\) through which a field of strength \(E\) passes:

The flux is then:

\[d\Phi=dA\,E\cos\theta,\qquad \Phi=\oint dA\,E\cos0^\circ=E\oint dA=E\,A=4\pi r^2\cdot\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\]

\[\Phi=\oint\vec E\cdot d\vec A=\frac{q}{\varepsilon_0}\]

In this way we find the field without the complications of integration.

Results from Gauss’s Law

The electric field inside an isolated conductor is always zero. When a conductor is placed in an electric field, its charges respond: negative charges move opposite to the field and positive charges along it. This creates an opposing field, so the net field inside the conductor is zero.

Cavities inside conductors are shielded from fields. When any conductor, whatever its shape, is charged, the charges repel and move as far apart as possible — to the outer surface. So there is no charge inside the conductor and the field there is zero.

Field of an Infinitely Long Wire (Using Gauss’s Law)

An infinitely long wire carries a linear charge density \(\lambda\). Find the field at a point a distance \(r\) from the wire. Choose a Gaussian surface through the point on which the field is constant — a cylinder does this.

The flux through the two bases of the cylinder is zero because the field is perpendicular to the outward normal there. Only the lateral surface, of area \(A=2\pi rL\), contributes:

\[\Phi=\oint dA\,E\cos0^\circ=\frac{q}{\varepsilon_0}\;\Rightarrow\;E\,(2\pi rL)=\frac{\lambda L}{\varepsilon_0}\]

\[E=\frac{\lambda}{2\pi r\varepsilon_0}=\frac{2k\lambda}{r}\]

[2 ⭐⭐]

For an infinitely long wire, the field at a point \(0.3\;m\) from the wire is \(2.5\times10^3\;N/C\), with direction as shown. The number of electrons gained or lost per unit length is

Choose the correct answer

A\(n=2.6\times10^{11}\) lost electrons

B\(n=3.4\times10^{11}\) lost electrons

C\(n=2.6\times10^{11}\) gained electrons

D\(n=3.4\times10^{11}\) gained electrons

📖 Click to show the solution

Field of an Infinite Non-Conducting Sheet

The sheet carries a surface charge density \(\sigma\;(C/m^2)\). Choose a cylindrical Gaussian surface through the point. In a non-conducting sheet the charge is spread throughout the sheet.

The flux through the lateral surface is zero because the field is perpendicular to the outward normal; only the two bases contribute:

\[\Phi=\oint dA_1E_1\cos0^\circ+\oint dA_2E_2\cos0^\circ+\oint dA_3E_3\cos90^\circ=\frac{q}{\varepsilon_0}\;\Rightarrow\;E(A+A)=\frac{\sigma A}{\varepsilon_0}\]

\[E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\]

Field of an Infinite Conducting Sheet

The sheet carries density \(\sigma\). In a conductor the charge lies on the outer surface and the field inside is zero, so only the outer base contributes:

\[\Phi=\oint dA_1E_1\cos0^\circ+\oint dA_3E_3\cos90^\circ=\frac{q}{\varepsilon_0}\;\Rightarrow\;E\,A=\frac{\sigma A}{\varepsilon_0}\]

\[E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\]

[3 ⭐]

Two infinite conducting plates are charged with equal charge densities. One of the following answers is correct

Choose the correct answer

A\[E_A=E_C=0\;,\;\;E_B=E_D\neq0\]

B\[E_A>E_C\;,\;\;E_B=E_D\]

C\[E_A=E_B=E_C=E_D\]

D\[E_A=E_B\;,\;\;E_D=E_C\]

📖 Click to show the solution

Spherical Symmetry

Spherical Shell

A charged spherical shell of radius \(R\). Find the field at a point outside the shell, a distance \(r_2\) from its center. Choose a spherical surface through the point and compute the flux through it:

\[\Phi=\oint E\,dA\cos0^\circ=\frac{q}{\varepsilon_0}\;\Rightarrow\;E\,(4\pi r_2^2)=\frac{q}{\varepsilon_0}\;\Rightarrow\;E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r_2^2}=\frac{kq}{r_2^2}\]

If the point is inside the shell at a distance \(r_1\), there is no charge inside the Gaussian surface:

\[\Phi=E\,(4\pi r_1^2)=0\;\Rightarrow\;E=0\]

Solid Non-Conducting Sphere

A solid non-conducting sphere of radius \(R\) and total charge \(q_t\). Find the field outside the sphere at a distance \(r\) from its center:

\[E\,(4\pi r^2)=\frac{q_t}{\varepsilon_0}\;\Rightarrow\;E=\frac{kq_t}{r^2}\]

Inside the sphere, at a distance \(r_s\), only part of the charge is inside the Gaussian surface:

\[E\,(4\pi r_s^2)=\frac{\rho V_s}{\varepsilon_0}=\frac{\rho\,\frac43\pi r_s^3}{\varepsilon_0}\;\Rightarrow\;E=\frac{\rho\,r_s}{3\varepsilon_0}\]

The field inside can also be found another way: since the charge is uniformly distributed, the ratio of the enclosed charge to the total charge equals the ratio of the volumes:

\[\frac{q_s}{q_t}=\frac{\frac43\pi r_s^3}{\frac43\pi R^3}=\frac{r_s^3}{R^3}\;\Rightarrow\;q_s=\frac{q_t\,r_s^3}{R^3}\]

\[E\,(4\pi r_s^2)=\frac{q_t r_s^3}{\varepsilon_0R^3}\;\Rightarrow\;E=\frac{q_t\,r_s}{4\pi\varepsilon_0R^3}=\frac{k\,q_t\,r_s}{R^3}\]

Summary: Field Inside and Outside a Solid Sphere

Inside (r < R)	Outside (r > R)
\[E=\frac{k\,q_t\,r}{R^3}\]\[E\propto r\]	\[E=\frac{k\,q_t}{r^2}\]\[E\propto \frac{1}{r^2}\]

where \(r\) is the distance from the center of the solid sphere. Plotting the field against the distance from the center gives the following graph:

[4 ⭐⭐⭐]

The field is plotted against distance from the center of a charged solid non-conducting sphere, giving the graph below. The field at a point \(0.15\;m\) from the center is

Choose the correct answer

A\[E=2800\;N/C\]

B\[E=3000\;N/C\]

C\[E=2700\;N/C\]

D\[E=2900\;N/C\]

📖 Click to show the solution

لاحظت خطأ؟ أو عندك سؤال عن الدرس؟ اكتبه بالتعليقات وحدد مكانه بالضبط. / Noticed an error? Write it in the comments and specify where.

⚡ قانون جاوس والمجال الكهربائي (الصف 12 المتقدم)

🎯 نواتج التعلم

0) تذكير: ما هو المجال الكهربائي؟