Fislab
الرئيسية / الدروس / المجال الكهربائي لموصل أجوف مشحون

⚡ المجال الكهربائي لموصل أجوف مشحون

The Electric Field of a Charged Hollow Conductor
⏱️ 45 دقيقة 📂 الكهرباء الساكنة 🎯 الثالث ثانوي
للتواصل: 00971504825082

الهيكل الكروي المشحون

The Charged Spherical Shell

ليكن لدينا هيكل كروي مشحون نصف قطره \(R\). الشحنة الكلية \(q\) موزّعة بشكل منتظم على سطح الكرة (موصل أجوف).

Consider a charged spherical shell of radius \(R\). The total charge \(q\) is uniformly distributed on the sphere’s surface (a hollow conductor).

قانون جاوس

Gauss's Law

ينص قانون جاوس على أن التدفق الكهربائي عبر أي سطح مغلق يتناسب مع الشحنة الكهربائية المحصورة داخل ذلك السطح:

Gauss’s law states that the electric flux through any closed surface is proportional to the charge enclosed within it:

\[\Phi = \oint E\cdot dA = \frac{q}{\varepsilon_0}\]

اختيار سطح جاوس

Choosing a Gaussian Surface

نختار سطحًا كرويًا (سطح جاوس) يمر بالنقطة المطلوب حساب المجال فيها. بسبب التماثل الكروي، يكون المجال الكهربائي E عموديًا على السطح عند جميع النقاط وله المقدار نفسه.

We choose a spherical (Gaussian) surface passing through the point where we want the field. Due to spherical symmetry, E is perpendicular to the surface everywhere and has the same magnitude.

النقطة خارج الهيكل (r > R)

Point Outside the Shell (r > R)

عندما تكون النقطة خارج الهيكل الكروي (على بعد \(r\) من المركز)، فإن سطح جاوس الكروي الذي نصف قطره \(r\) يحتوي على الشحنة الكلية \(q\):

When the point is outside the shell (at distance \(r\) from the center), the spherical Gaussian surface of radius \(r\) contains the total charge \(q\):

\[\oint E\cdot dA = E\oint dA = E(4\pi r^2) = \frac{q}{\varepsilon_0} \;\;\Rightarrow\;\; E = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\]

هذه النتيجة تشبه مجال شحنة نقطية عند مركز الكرة.

This result resembles the field of a point charge at the sphere’s center.

النقطة داخل الهيكل (r < R)

Point Inside the Shell (r < R)

عندما تكون النقطة داخل الهيكل الكروي (على بعد \(r\) من المركز)، فإن سطح جاوس الكروي الذي نصف قطره \(r\) لا يحتوي على أي شحنة، لأن جميع الشحنات موجودة على السطح الخارجي للهيكل:

When the point is inside the shell (at distance \(r\) from the center), the spherical Gaussian surface of radius \(r\) contains no charge, since all the charge sits on the shell’s outer surface:

\[\oint E\cdot dA = E(4\pi r^2) = 0 \;\;\Rightarrow\;\; E = 0\]

المجال الكهربائي داخل الهيكل الكروي المشحون معدوم.

The electric field inside the charged spherical shell is zero.

ملخّص النتائج

Summary of Results

موقع النقطةPoint Locationالمجال الكهربائي (E)Electric Field (E)التفسيرExplanation
خارج الهيكل (r > R)Outside the shell (r > R)\(E=\dfrac{q}{4\pi r^2\varepsilon_0}\)يشبه مجال شحنة نقطية عند المركزResembles a point charge’s field at the center
على السطح (r = R)On the surface (r = R)\(E=\dfrac{q}{4\pi R^2\varepsilon_0}\)أقصى قيمة للمجالMaximum field value
داخل الهيكل (r < R)Inside the shell (r < R)E = 0لا توجد شحنة داخل السطح الغاوسيNo charge inside the Gaussian surface

الرموز المستخدمة

Symbols Used

الرمزSymbolالمعنىMeaningالوحدة (SI)Unit (SI)
Eالمجال الكهربائيElectric fieldنيوتن/كولوم (N/C)Newton/Coulomb (N/C)
qالشحنة الكليةTotal chargeكولوم (C)Coulomb (C)
Rنصف قطر الهيكل الكرويRadius of the spherical shellمتر (m)Meter (m)
rالمسافة من مركز الكرةDistance from the sphere’s centerمتر (m)Meter (m)
ε₀سماحية الفراغPermittivity of free spaceكولوم²/نيوتن·متر² (C²/N·m²)Coulomb²/Newton·meter² (C²/N·m²)
Φالتدفق الكهربائيElectric fluxنيوتن·متر²/كولوم (N·m²/C)Newton·meter²/Coulomb (N·m²/C)

المحاكاة التفاعلية

Interactive Simulation

حرّك المنزلقات لتغيير نصف قطر الموصل R والشحنة الكلية Q والبعد عن المركز r، وراقب شدة المجال والرسم البياني والتمثيل المرئي يتحدّثان لحظيًا:

Move the sliders to change the conductor’s radius R, the total charge Q, and the distance from the center r, and watch the field strength, the graph, and the visualization update live:

1.0 m
5.0 μC
1.5 m

نتيجة الحساب:Calculation Result:

شدة المجال الكهربائي:Electric field intensity: 0.0 N/C

الموقع:Location:

التمثيل المرئي للموصل والمجال

Conductor and Field Visualization

العلاقة بين شدة المجال والبعد عن المركز

Field Intensity vs. Distance from Center

رُسمت العلاقة بين المجال الكهربائي والبُعد عن سطح موصل كروي أجوف، فنتج الرسم البياني التالي. فإن الموصل مشحون بشحنة قدرها:The relationship between the field and the distance from the surface of a hollow spherical conductor was plotted, giving the graph below. The conductor is charged with a charge of:
\(q=1.34\times10^{-9}\;C\)
\(q=1.78\times10^{-9}\;C\)
\(q=2.56\times10^{-9}\;C\)
\(q=2.14\times10^{-9}\;C\)
الحلSolution

💡 المحور الأفقي يمثّل البعد عن السطح (وليس عن المركز)، فالمسافة الفعلية عن المركز هي \(r_{center}=R+r_{surface}\).

من الرسم: عند سطح الموصل مباشرة \((r_{surface}=0)\): \(E_0=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0R^2}\approx400\;N/C\)

وعند \(r_{surface}=0.2\;m\) (أي \(r_{center}=R+0.2\)): \(E_1=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0(R+0.2)^2}\approx100\;N/C\)

بقسمة المعادلتين: \(\dfrac{E_0}{E_1}=\left(\dfrac{R+0.2}{R}\right)^2=4\Rightarrow\dfrac{R+0.2}{R}=2\Rightarrow R=0.2\;m\)

وبالتعويض: \(q=4\pi\varepsilon_0R^2E_0=\dfrac{R^2E_0}{k}=\dfrac{(0.2)^2\times400}{8.99\times10^9}\approx1.78\times10^{-9}\;C\)

✅ \(q\approx1.78\times10^{-9}\;C\)

💡 The horizontal axis is the distance from the surface (not from the center), so the actual distance from the center is \(r_{center}=R+r_{surface}\).

From the graph: right at the surface \((r_{surface}=0)\): \(E_0=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0R^2}\approx400\;N/C\)

And at \(r_{surface}=0.2\;m\) (i.e. \(r_{center}=R+0.2\)): \(E_1=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0(R+0.2)^2}\approx100\;N/C\)

Dividing the two equations: \(\dfrac{E_0}{E_1}=\left(\dfrac{R+0.2}{R}\right)^2=4\Rightarrow\dfrac{R+0.2}{R}=2\Rightarrow R=0.2\;m\)

Substituting back: \(q=4\pi\varepsilon_0R^2E_0=\dfrac{R^2E_0}{k}=\dfrac{(0.2)^2\times400}{8.99\times10^9}\approx1.78\times10^{-9}\;C\)

✅ \(q\approx1.78\times10^{-9}\;C\)