حساب المجال الكهربائي للصفائح باستخدام قانون جاوس
Calculating the Electric Field of Plates Using Gauss's Law
المجال الكهربائي لصفيحة لا نهائية باستخدام قانون جاوس
Field of an Infinite Plate Using Gauss's Law
الصفيحة الموصلة
Conducting Plate
تتوزع الشحنات على السطح الخارجي فقط. نختار سطح جاوس أسطوانيًا (pillbox) يمر بالنقطة المطلوب حساب المجال لها.
Charges distribute only on the external surface. We choose a Gaussian cylindrical “pillbox” surface passing through the point where we want the field.
يوضع أحد قاعدتي الأسطوانة داخل الموصل (حيث المجال معدوم في حالة السكون الكهروستاتيكي)، والأخرى خارجه في منطقة الحقل. التدفق على السطح الجانبي معدوم لأن المجال عمودي على متجه العمودي للسطح، فلا يبقى إلا تدفق القاعدة الخارجية الواحدة.
One base of the cylinder is placed inside the conductor (where the field is zero in electrostatic equilibrium), and the other outside in the field region. Flux through the lateral surface is zero since the field is perpendicular to the surface’s normal vector, leaving only the flux through the single outer base.
بتطبيق قانون جاوس:
Applying Gauss’s law:
لصفيحة موصلة:
For a conducting plate:
الصفيحة غير الموصلة
Non-Conducting Plate
تتوزع الشحنات على كامل حجم الصفيحة. باستخدام سطح جاوس أسطواني يمر بالنقطة المطلوبة (بحيث تقع كلتا قاعدتيه خارج الصفيحة الرقيقة):
Charges distribute throughout the entire volume of the plate. Using a Gaussian cylindrical surface through the desired point (with both bases outside the thin sheet):
التدفق على السطح الجانبي للأسطوانة معدوم للسبب نفسه. لكن هنا تسهم القاعدتان معًا في التدفق (لا يوجد "داخل موصل" يُلغي أحدهما)، فيُضاعف المقام.
Flux through the lateral surface is zero for the same reason. But here both bases contribute to the flux (there’s no “inside a conductor” to cancel one), so the denominator doubles.
بتطبيق قانون جاوس:
Applying Gauss’s law:
لصفيحة غير موصلة:
For a non-conducting plate:
الفرق بين الصفيحة الموصلة وغير الموصلة
Difference Between Conducting and Non-Conducting Plates
السبب في اختلاف العلاقة هو طريقة توزيع الشحنة:
- في الصفيحة الموصلة: يقيس δ الشحنة الفعلية على السطح المحدد نفسه الذي يُحسب المجال عنده مباشرة (قاعدة واحدة فقط للأسطوانة تسهم في التدفق).
- في الصفيحة غير الموصلة: δ هي كثافة شحنة الصفيحة الرقيقة نفسها، وتسهم قاعدتا الأسطوانة معًا (على جانبي الصفيحة) في التدفق، فيُضاعف المقام.
The reason for the different relations is how the charge is distributed:
- In a conducting plate: δ measures the actual charge on that specific surface where the field is computed directly (only one base of the cylinder contributes to the flux).
- In a non-conducting plate: δ is the thin sheet’s own charge density, and both bases of the cylinder (on either side of the sheet) contribute to the flux, doubling the denominator.
حساب المجال الكهربائي لصفيحة واحدة
Calculate Electric Field for a Single Plate
| نوع الصفيحةPlate Type | كثافة الشحنة (δ) C/m²Charge Density (δ) C/m² | البعد عن الصفيحة (m)Distance from Plate (m) | المجال الكهربائي (N/C)Electric Field (N/C) | إجراء الحسابCalculate |
|---|---|---|---|---|
| صفيحة موصلةConducting Plate | - | |||
| صفيحة غير موصلةNon-Conducting Plate | - |
حساب المجال الكهربائي لصفيحتين
Calculate Electric Field for Two Plates
| الموقعLocation | كثافة الشحنة للصفيحة 1 (δ₁) C/m²Charge Density Plate 1 (δ₁) C/m² | كثافة الشحنة للصفيحة 2 (δ₂) C/m²Charge Density Plate 2 (δ₂) C/m² | نوع الصفيحة 1Plate 1 Type | نوع الصفيحة 2Plate 2 Type | المجال الكهربائي (N/C)Electric Field (N/C) | إجراء الحسابCalculate |
|---|---|---|---|---|---|---|
| داخل الصفيحتينBetween Plates | - | |||||
| على يمين الصفيحتينRight of Plates | - | |||||
| على يسار الصفيحتينLeft of Plates | - |
طريقة حساب المجال لصفيحتين
Method for Calculating Field for Two Plates
لحساب المجال الناتج عن صفيحتين متماثلتَي الشحنة (نفس الإشارة)، نحسب أولًا مجال كل صفيحة منفردة (\(E_1,E_2\)) حسب نوعها (موصلة: \(\delta/\varepsilon_0\)، أو غير موصلة: \(\delta/2\varepsilon_0\))، ثم نُطبّق مبدأ التراكب:
- بين الصفيحتين: المجالان متعاكسان في الاتجاه (كل منهما يبتعد عن صفيحته نحو الأخرى)، فيُطرحان: \(E=|E_1-E_2|\)
- خارج الصفيحتين (يمينًا أو يسارًا): المجالان في نفس الاتجاه، فيُجمعان: \(E=E_1+E_2\)
حيث ε₀ = 8.854 × 10⁻¹² C²/N·m². (تفترض هذه الحاسبة أن الصفيحتين من نفس إشارة الشحنة؛ لو كانتا متعاكستَي الإشارة، ينعكس الجمع والطرح بين الحالتين — كما في السؤال التعليمي الأول أدناه).
To calculate the field from two like-charged plates, we first compute each plate’s own field (\(E_1,E_2\)) based on its type (conducting: \(\delta/\varepsilon_0\), or non-conducting: \(\delta/2\varepsilon_0\)), then apply superposition:
- Between the plates: the two fields point in opposite directions (each points away from its own plate, toward the other), so they subtract: \(E=|E_1-E_2|\)
- Outside the plates (right or left): the two fields point the same way, so they add: \(E=E_1+E_2\)
Where ε₀ = 8.854 × 10⁻¹² C²/N·m². (This calculator assumes like-signed plates; for oppositely-signed plates, the add/subtract roles swap between the two cases — as in the first educational question below.)
💡 لصفيحتين متعاكستَي الإشارة ومتساويتَي المقدار (شكل مكثف مستوٍ): تُلغي المجالان بعضهما خارج الصفيحتين (النقطتان A وC، حيث يكون المجالان متعاكسي الاتجاه ومتساويَي المقدار)، بينما يتوافق المجالان (نفس الاتجاه) بين الصفيحتين (النقطتان B وD)، فتُجمعان.
✅ \(E_A=E_C=0\)، \(E_B=E_D\neq0\)
💡 For two equal-magnitude, opposite-sign plates (a parallel-plate-capacitor arrangement): the fields cancel outside both plates (points A and C, where the two fields point opposite directions with equal magnitude), while they align (same direction) between the plates (points B and D), so they add there.
✅ \(E_A=E_C=0\), \(E_B=E_D\neq0\)
💡 النقطة \(A\) تقع خارج كلتا الصفيحتين (على يمين الصفيحة اليمنى). بما أن الشحنتين متماثلتان، فإن المجالين الفرديين يتّجهان في نفس الجهة عند A (كل منهما يبتعد عن صفيحته)، فيُجمعان:
\(E_{total}=E_1+E_2=\dfrac{\delta}{2\varepsilon_0}+\dfrac{\delta}{2\varepsilon_0}=\dfrac{\delta}{\varepsilon_0}\)
\(\delta=E_{total}\times\varepsilon_0=1\times10^3\times8.854\times10^{-12}\approx8.85\times10^{-9}\;C/m^2\)
✅ \(\delta\approx8.85\times10^{-9}\;C/m^2\)
💡 Point \(A\) lies outside both plates (to the right of the right plate). Since the two charges are identical, each plate’s individual field points the same way at A (each points away from its own plate), so they add:
\(E_{total}=E_1+E_2=\dfrac{\delta}{2\varepsilon_0}+\dfrac{\delta}{2\varepsilon_0}=\dfrac{\delta}{\varepsilon_0}\)
\(\delta=E_{total}\times\varepsilon_0=1\times10^3\times8.854\times10^{-12}\approx8.85\times10^{-9}\;C/m^2\)
✅ \(\delta\approx8.85\times10^{-9}\;C/m^2\)
⚡ اختبار المجال الكهربائي للصفائح — قانون جاوس
⚡ Electric Field of Plates — Gauss's Law Quiz
15 سؤالًا (نظرية وحسابية) حول الصفائح الموصلة وغير الموصلة، بحدّ زمني 20 دقيقة. النتيجة تُعرض لك مباشرة على هذا الجهاز فقط ولا تُرسَل لأي مكان.
15 questions (theory and calculations) on conducting and non-conducting plates, with a 20-minute time limit. The result is shown to you on this device only and is not sent anywhere.
📌 المفاهيم الأساسية:
- الصفيحة الموصلة: المجال الكهربائي = δ/ε₀
- الصفيحة غير الموصلة: المجال الكهربائي = δ/2ε₀
- قانون جاوس: Φ = ∮E·dA = Qinside/ε₀
- ثابت السماحية: ε₀ = 8.854 × 10⁻¹² C²/N·m²
📌 Key Concepts:
- Conducting plate: E = δ/ε₀
- Non-conducting plate: E = δ/2ε₀
- Gauss's law: Φ = ∮E·dA = Qinside/ε₀
- Permittivity constant: ε₀ = 8.854 × 10⁻¹² C²/N·m²