📐 الإزاحة الزاوية
📐 Angular Displacement
تذكّر أن الإزاحة الخطية هي الموقع النهائي ناقص الموقع الابتدائي. وبالمثل الإزاحة الزاوية لجسم يدور حول محور هي الزاوية النهائية ناقص الزاوية الابتدائية:
Recall that linear displacement is the final position minus the initial position. Likewise the angular displacement of a body rotating about an axis is the final angle minus the initial angle:
\[\Delta x=x_2-x_1\qquad\qquad\Delta\theta=\theta_2-\theta_1\]
تُقاس الزاوية من محور الإسناد (\(\theta=0\)) وتزداد عكس عقارب الساعة.
The angle is measured from the reference axis (\(\theta=0\)) and increases counterclockwise.
وإذا تحرك جسم فقطع قوسًا طوله \(s\) على دائرة نصف قطرها \(r\) فإن الزاوية التي مسحها نصف القطر (بالراديان) هي:
If an object moves along an arc of length \(s\) on a circle of radius \(r\), the angle swept by the radius (in radians) is:
\[\theta=\dfrac{s}{r}\]
💡 إشارة الإزاحة الزاوية
💡 Sign of the Angular Displacement
الإزاحة الزاوية كمية متجهة اتجاهها على محور الدوران بحسب قاعدة اليد اليمنى. نعتمد إشارة موجبة (+) للدوران عكس عقارب الساعة وإشارة سالبة (−) للدوران مع عقارب الساعة.
Angular displacement is a vector along the rotation axis (given by the right-hand rule). We take positive (+) for counterclockwise rotation and negative (−) for clockwise rotation.
يسار: \(\theta>0\) دوران عكس عقارب الساعة. يمين: \(\theta<0\) دوران مع عقارب الساعة.
Left: \(\theta>0\) counterclockwise. Right: \(\theta<0\) clockwise.
الراديان هو الوحدة الأساسية لقياس الزوايا في النظام الدولي: هو الزاوية التي يقابلها قوس طوله يساوي نصف قطر الدائرة، ويساوي \(57.3^\circ\) تقريبًا.
The radian is the SI unit of angle: it is the angle subtended by an arc whose length equals the radius, and it is about \(57.3^\circ\).
زاوية 1 rad = \(57.3^\circ\).
An angle of 1 rad = \(57.3^\circ\).
🔹 تحويل الوحدات
🔹 Unit Conversion
| من الدورات (rev) إلى راديانRevolutions to radians | من الدرجات (°) إلى راديانDegrees to radians |
|---|---|
| \(2\pi\ rad=1\ rev\) | \(\pi\ rad=180^\circ\) |
| مثال:Example: \(2.25\ rev=2.25\times2\pi=14.13\ rad\) | مثال:Example: \(120^\circ=120\times\dfrac{\pi}{180}=2.094\ rad\) |
⚡ السرعة الزاوية
⚡ Angular Velocity
السرعة الزاوية لجسم هي معدل تغيّر موقعه الزاوي مع الزمن:
The angular velocity of a body is the rate of change of its angular position with time:
\[\omega_{avg}=\dfrac{\Delta\theta}{\Delta t}=\dfrac{\theta_2-\theta_1}{t_2-t_1}\qquad(rad/s)\]
تتجه السرعة الزاوية على محور الدوران بحسب قاعدة اليد اليمنى: لُفّ أصابع اليد اليمنى في اتجاه الدوران يشر الإبهام إلى اتجاه \(\vec\omega\). في الدوران عكس عقارب الساعة يكون \(\omega\) موجبًا (اتجاه الإبهام نحو الأعلى)، وفي الدوران مع عقارب الساعة يكون سالبًا.
The angular velocity points along the rotation axis according to the right-hand rule: curl the fingers of your right hand in the direction of rotation and the thumb points along \(\vec\omega\). For counterclockwise rotation \(\omega\) is positive (thumb pointing up) and for clockwise rotation it is negative.
قاعدة اليد اليمنى: الدوران عكس عقارب الساعة (يسار) ومع عقارب الساعة (يمين).
Right-hand rule: counterclockwise (left) and clockwise (right) rotation.
📜 العلاقة بين السرعة الخطية والزاوية
📜 Linear and Angular Speed
نقطة تبعد \(r\) عن محور الدوران تقطع قوسًا \(s=r\theta\) فتكون سرعتها الخطية (المماسية):
A point at a distance \(r\) from the axis moves along an arc \(s=r\theta\), so its linear (tangential) speed is:
\[v=r\,\omega\]
جميع نقاط الجسم الصلب تدور بالسرعة الزاوية نفسها، أما السرعة الخطية فتزداد بالابتعاد عن المحور. وعندما يكون \(r\) بالمتر و\(\omega\) بـ rad/s تكون \(v\) بـ m/s.
All points of a rigid body share the same angular velocity, but the linear speed grows with distance from the axis. With \(r\) in meters and \(\omega\) in rad/s, \(v\) is in m/s.
🧪 تجربة 1: قياس السرعة الزاوية
🧪 Experiment 1: Measuring Angular Velocity
اختر السرعة الزاوية ونصف القطر وابدأ الدوران. اضغط «سجّل» مرة لتسجيل \((t_1,\theta_1)\) ومرة ثانية لتسجيل \((t_2,\theta_2)\) ثم احسب \(\omega=\dfrac{\theta_2-\theta_1}{t_2-t_1}\) وقارنها بالقيمة المضبوطة. غيّر الإشارة لترى الدوران مع عقارب الساعة.
Choose the angular velocity and the radius and start the rotation. Press “Record” once to record \((t_1,\theta_1)\) and again to record \((t_2,\theta_2)\), then compute \(\omega=\dfrac{\theta_2-\theta_1}{t_2-t_1}\) and compare it with the set value. Change the sign to see clockwise rotation.
| \(t_1\) (s) | \(\theta_1\) (rad) | \(t_2\) (s) | \(\theta_2\) (rad) | \(\omega=\Delta\theta/\Delta t\) (rad/s) | الاتجاهDirection |
|---|---|---|---|---|---|
| — | — | — | — | — | — |
جسم يتحرك حركة دورانية منتظمة ويُتمّ دورة واحدة كل ثانية. ما سرعته الزاوية بوحدة rad/s؟
An object moves in uniform rotation and completes one revolution every second. What is its angular velocity in rad/s?
مروحة تدور بسرعة زاوية قدرها \(60\pi\ rad/s\). ما الزاوية التي تقطعها إحدى شفراتها خلال \(3\ s\)؟
A fan rotates with an angular velocity of \(60\pi\ rad/s\). What angle does one of its blades sweep in \(3\ s\)?
مروحة تدور في مسار دائري منتظم نصف قطره \(60\ cm\)، وتقطع ثلاث دورات خلال \(2\ s\). ما سرعتها الخطية بوحدة m/s؟
A fan rotates in a uniform circular path of radius \(60\ cm\), completing three revolutions in \(2\ s\). What is its linear speed in m/s?
📈 التسارع الزاوي (العجلة الزاوية)
📈 Angular Acceleration
التسارع الزاوي المتوسط هو معدل تغيّر السرعة الزاوية مع الزمن:
The average angular acceleration is the rate of change of the angular velocity with time:
\[\alpha_{avg}=\dfrac{\omega_2-\omega_1}{t_2-t_1}\qquad(rad/s^2)\]
📜 العلاقات المهمة
📜 Key Relations
التسارع الخطي المماسي لنقطة تبعد \(r\) عن المحور:
The tangential linear acceleration of a point at a distance \(r\) from the axis:
\[a_t=r\,\alpha\]
وعندما يكون التسارع الزاوي ثابتًا تنطبق معادلات الحركة الدورانية (تناظر معادلات الحركة الخطية):
When the angular acceleration is constant, the rotational kinematic equations apply (analogous to the linear ones):
\[\omega=\omega_0+\alpha t\qquad\theta=\omega_0t+\tfrac12\alpha t^2\qquad\omega^2=\omega_0^2+2\alpha\theta\]
وللنقطة نفسها تسارع مركزي \(a_c=\omega^2r\) باتجاه المحور (يغيّر اتجاه السرعة)، بينما يغيّر \(a_t\) مقدارها.
The same point also has a centripetal acceleration \(a_c=\omega^2r\) toward the axis (it changes the direction of velocity), whereas \(a_t\) changes its magnitude.
🧪 تجربة 2: التسارع الزاوي
🧪 Experiment 2: Angular Acceleration
اضبط \(\alpha\) و\(\omega_0\) ونصف القطر وابدأ المحاكاة، وراقب الرسم البياني لـ \(\omega\) مع الزمن (ميله هو \(\alpha\)). اضغط «سجّل» لتسجيل \(\omega_1\) ثم \(\omega_2\) واحسب \(\alpha=\dfrac{\omega_2-\omega_1}{\Delta t}\). يمكنك تغيير \(\alpha\) أثناء الدوران.
Set \(\alpha\), \(\omega_0\) and the radius and start the simulation, and watch the graph of \(\omega\) against time (its slope is \(\alpha\)). Press “Record” to record \(\omega_1\) then \(\omega_2\) and compute \(\alpha=\dfrac{\omega_2-\omega_1}{\Delta t}\). You may change \(\alpha\) while it spins.
| \(\Delta t\) (s) | \(\omega_1\) (rad/s) | \(\omega_2\) (rad/s) | \(\alpha_{avg}\) (rad/s²) |
|---|---|---|---|
| — | — | — | — |
دولاب سيارة يدور بسرعة \(10\ rad/s\)، غيّر سرعته فأصبحت \(15\ rad/s\) خلال \(10\ s\). ما تسارعه الزاوي؟
A car wheel rotates at \(10\ rad/s\) and changes its speed to \(15\ rad/s\) in \(10\ s\). What is its angular acceleration?
🔧 عزم القوة (Torque)
🔧 Torque
عزم القوة مقياس لقدرة القوة على إحداث حركة دورانية لجسم حول محور دوران. يعتمد على مقدار القوة وعلى بُعد نقطة تأثيرها عن المحور وعلى اتجاهها:
The torque of a force measures its ability to produce rotational motion of a body about an axis. It depends on the magnitude of the force, on the distance of its point of application from the axis, and on its direction:
📜 قانون عزم القوة
📜 The Torque Law
\[\vec\tau=\vec r\times\vec F\qquad\Rightarrow\qquad\tau=r\,F\sin\theta\qquad(N\cdot m)\]
- \(r\): المسافة من محور الدوران إلى نقطة تأثير القوة.\(r\): the distance from the axis of rotation to the point where the force acts.
- \(F\): مقدار القوة (N).\(F\): the magnitude of the force (N).
- \(\theta\): الزاوية بين متجه الموضع \(\vec r\) واتجاه القوة. والمقدار \(r\sin\theta\) هو ذراع القوة (البعد العمودي بين المحور وخط عمل القوة).\(\theta\): the angle between the position vector \(\vec r\) and the direction of the force. The quantity \(r\sin\theta\) is the lever arm (the perpendicular distance from the axis to the line of action of the force).
اتجاه \(\vec\tau=\vec r\times\vec F\) يُحدَّد بقاعدة اليد اليمنى؛ عزم عكس عقارب الساعة موجب ومع عقارب الساعة سالب.
The direction of \(\vec\tau=\vec r\times\vec F\) follows the right-hand rule; a counterclockwise torque is positive and a clockwise torque is negative.
🧪 تجربة 3: عزم القوة
🧪 Experiment 3: Torque
قضيب يدور حول محوره في طرفه الأيسر. غيّر مقدار القوة وبُعد نقطة تأثيرها \(r\) والزاوية \(\theta\) بين القوة والقضيب، ولاحظ ذراع القوة \(r\sin\theta\) والعزم \(\tau=rF\sin\theta\) واتجاهه. جرّب \(\theta=0^\circ\) و\(90^\circ\) و\(180^\circ\).
A rod pivots about its left end. Change the force magnitude, the distance \(r\) of its point of application and the angle \(\theta\) between the force and the rod, and notice the lever arm \(r\sin\theta\) and the torque \(\tau=rF\sin\theta\) with its direction. Try \(\theta=0^\circ\), \(90^\circ\) and \(180^\circ\).
أثّرت قوتان متساويتان في مفتاح ربط كما في الشكل: القوة \(F_A\) على بعد \(1\ m\) من المحور والقوة \(F_B\) على بعد \(2\ m\)، وكلتاهما عمودية على المفتاح. أي الإجابات التالية صحيحة؟
Two equal forces act on a wrench as shown: \(F_A\) at \(1\ m\) from the axis and \(F_B\) at \(2\ m\), both perpendicular to the wrench. Which answer is correct?
⚖️ محصلة العزوم
⚖️ Net Torque
قد تؤثر في الجسم قوى عدة من نقاط مختلفة؛ وعزم الدوران الكلي هو المجموع الجبري لعزوم القوى (الموجب لعكس عقارب الساعة والسالب لمع عقاربها):
Several forces may act on a body at different points; the net torque is the algebraic sum of the individual torques (positive counterclockwise, negative clockwise):
\[\tau_{net}=\sum\tau_i\]
أوجد محصلة العزم المؤثر في جسم قابل للدوران حول محور في مركزه، تؤثر فيه قوتان: \(F_1=F_2=50\ N\)، \(r_1=30\ cm\)، \(r_2=50\ cm\)، \(\theta_1=90^\circ\)، \(\theta_2=60^\circ\) (الأولى عكس عقارب الساعة والثانية مع عقاربها).
Find the net torque on a body free to rotate about an axis at its center, acted on by two forces: \(F_1=F_2=50\ N\), \(r_1=30\ cm\), \(r_2=50\ cm\), \(\theta_1=90^\circ\), \(\theta_2=60^\circ\) (the first counterclockwise, the second clockwise).
⚠️ متى ينعدم العزم؟
⚠️ When Is the Torque Zero?
أي قوة تمر بمحور الدوران أو يوازي خط عملها محور الدوران (أي \(\theta=0^\circ\) أو \(180^\circ\)) يكون عزمها صفرًا لأن ذراعها \(r\sin\theta=0\). وكذلك القوة المؤثرة على المحور نفسه. إذا كان \(\tau_{net}=0\) فالجسم في حالة اتزان دوراني.
Any force that passes through the axis of rotation, or whose line of action is along the radius (\(\theta=0^\circ\) or \(180^\circ\)), has zero torque because its lever arm \(r\sin\theta=0\); so does a force acting at the axis itself. If \(\tau_{net}=0\) the body is in rotational equilibrium.
القوة الأفقية \(F\) تمر بمحور الدوران (\(\theta=0\)) فعزمها صفر، أما القوة الرأسية فلها عزم.
The horizontal force \(F\) passes through the pivot (\(\theta=0\)) so its torque is zero; the vertical force does have a torque.
🧪 تجربة 4: محصلة العزوم والاتزان (الأرجوحة)
🧪 Experiment 4: Net Torque and Balance (the Seesaw)
كتلتان على جانبي محور أرجوحة. عزم كل منهما \(\tau=mgr\) (\(g=9.8\ m/s^2\))، وعزم الكتلة اليسرى موجب (عكس عقارب الساعة) واليمنى سالب. حرّك المنزلقات حتى تتزن الأرجوحة (\(\tau_{net}=0\)).
Two masses on either side of a seesaw pivot. Each has torque \(\tau=mgr\) (\(g=9.8\ m/s^2\)); the left mass gives a positive (counterclockwise) torque and the right one a negative torque. Move the sliders until the seesaw balances (\(\tau_{net}=0\)).
✍️ تدرّب: احسب \(\tau_{net}\) في كل صف (\(g=9.8\ m/s^2\))✍️ Practice: compute \(\tau_{net}\) in each row (\(g=9.8\ m/s^2\))
| \(m_1\) (kg), \(r_1\) (m) | \(m_2\) (kg), \(r_2\) (m) | \(\tau_{net}\) (N·m) | |
|---|---|---|---|
| 5, 10 | 8, 6 | ||
| 7, 3 | 9, 3 | ||
| 3, 8 | 8, 3 | ||
| 5, 10 | 2, 2 |
⚖️ حاسبة محصلة العزوم لعدة قوى⚖️ Net-Torque Calculator for Several Forces
| \(F\) (N) | \(r\) (m) | \(\theta\) (°) | الاتجاهDirection |
|---|---|---|---|
📝 ملخص الدرس
📝 Lesson Summary
- \(\Delta\theta=\theta_2-\theta_1\) و\(\theta=\dfrac{s}{r}\)؛ \(2\pi\ rad=360^\circ=1\ rev\).\(\Delta\theta=\theta_2-\theta_1\) and \(\theta=\dfrac{s}{r}\); \(2\pi\ rad=360^\circ=1\ rev\).
- \(\omega=\dfrac{\Delta\theta}{\Delta t}\) و\(v=r\omega\): موجبة عكس عقارب الساعة وسالبة معها.\(\omega=\dfrac{\Delta\theta}{\Delta t}\) and \(v=r\omega\): positive counterclockwise, negative clockwise.
- \(\alpha=\dfrac{\Delta\omega}{\Delta t}\) و\(a_t=r\alpha\)؛ مع \(\alpha\) ثابت: \(\omega=\omega_0+\alpha t\)، \(\theta=\omega_0t+\tfrac12\alpha t^2\).\(\alpha=\dfrac{\Delta\omega}{\Delta t}\) and \(a_t=r\alpha\); for constant \(\alpha\): \(\omega=\omega_0+\alpha t\), \(\theta=\omega_0t+\tfrac12\alpha t^2\).
- \(\tau=rF\sin\theta\) بوحدة N·m، و\(\tau_{net}=\sum\tau_i\) بإشارة (+) عكس عقارب الساعة و(−) معها.\(\tau=rF\sin\theta\) in N·m, and \(\tau_{net}=\sum\tau_i\) with (+) counterclockwise and (−) clockwise.
- ينعدم عزم القوة إذا مرّ خط عملها بالمحور، وعند \(\tau_{net}=0\) يتزن الجسم دورانيًا.A force has zero torque if its line of action passes through the axis, and when \(\tau_{net}=0\) the body is in rotational equilibrium.
🧪 اختبر نفسك: امتحان من 20 سؤالاً
🧪 Test Yourself: a 20-Question Exam
أنهِ الدرس بالاختبار التفاعلي التالي؛ أسئلته بمستوى متوسط وعالٍ وتجمع بين الفهم والحساب.
Finish with the interactive exam below; its questions are of medium and high difficulty and mix understanding with calculation.
اختبار الحركة الدورانية Rotational Motion Quiz
20 سؤالاً - الإزاحة والسرعة والتسارع الزاوي، وعزم القوة ومحصلة العزوم 20 Questions - Angular Displacement, Velocity and Acceleration, Torque and Net Torque
• عدد الأسئلة: 20 سؤالاً
• مدة الاختبار: 30 دقيقة
• لا يمكنك تغيير إجاباتك أو إعادة الاختبار إلا بعد 24 ساعة من التسليم.
• تأكد من إجاباتك قبل التسليم! 📌 Important Instructions:
• Number of questions: 20 questions
• Quiz duration: 30 minutes
• You cannot change your answers or retake the quiz for 24 hours after submission.
• Make sure of your answers before submitting!
🔗 محاكيات GeoGebra للاستعانة بها عند اللزوم
🔗 GeoGebra Simulations to Use When Needed
اضغط «تشغيل» لتعمل المحاكاة هنا داخل الدرس؛ ويمكن للطالب الرجوع إليها لتجربة الفكرة بطريقة أخرى.
Press “Run” to run the simulation right here inside the lesson; the student can use it to try the idea in another way.
