مقدمة عن نواس الفتل
Introduction to the Torsion Pendulum
نواس الفتل جسم صلب متجانس (ساق معدنية) معلّق من مركزها بسلك فتل شاقولي ذي ثابت فتل \(\kappa\). عند إدارة الساق زاوية \(\theta\) عن وضع توازنها الأفقي، تنشأ في السلك مزدوجة فتل تقاوم عملية الفتل وتعمل على إعادة الساق إلى وضع توازنها.
A torsion pendulum is a rigid, homogeneous body (a metal rod) suspended from its center by a vertical torsion wire of torsion constant \(\kappa\). When the rod is turned through an angle \(\theta\) from its horizontal equilibrium, the wire develops a restoring torque that opposes the twist and returns the rod to equilibrium.
القانون الأساسي للحركة الدورانية:
The Basic Law of Rotational Motion:
حيث: \(I_T\): عزم عطالة الساق حول محور الدوران. \(\alpha\): التسارع الزاوي. \(\Sigma\Gamma\): محصلة العزوم للقوى المؤثرة.
Where: \(I_T\): the moment of inertia of the rod about the axis of rotation. \(\alpha\): the angular acceleration. \(\Sigma\Gamma\): the net torque of the forces acting.
عزم الإرجاع لمزدوجة الفتل:
The Restoring Torque of the Torsion Couple:
حيث \(\kappa\) هو ثابت فتل السلك، ويقاوم الإزاحة الزاوية \(\theta\) ويعاكسها بالإشارة.
where \(\kappa\) is the wire’s torsion constant, opposing the angular displacement \(\theta\) with the opposite sign.
تعليمات التجربة:
Experiment Instructions:
1. ضبط المعلمات1. Set the parameters
استخدم المنزلقات لضبط معلمات التجربة.Use the sliders to set the experiment’s parameters.
2. بدء المحاكاة2. Start the simulation
اضغط على "بدء التجربة" لبدء المحاكاة.Click "Start Experiment" to begin the simulation.
3. التجارب الإضافية3. Additional experiments
استخدم زرَّي التجربتين 2 و3 لدراسة تأثير تغيير المعلمات.Use the Experiment 2 and 3 buttons to study the effect of changing the parameters.
التجربة التفاعلية (1): دراسة حركة نواس الفتل
Interactive Experiment (1): Studying the Motion of a Torsion Pendulum
في هذه التجربة نحاكي حركة نواس الفتل وندرس تأثير تغيير المعلمات المختلفة على حركته. لاحظ أن ثابت الفتل \(\kappa\) يُحسب هنا مباشرة من طول السلك (\(\kappa\propto1/l\))، بدل أن يكون رقمًا منفصلًا لا علاقة له بالطول.
In this experiment we simulate the motion of a torsion pendulum and study how different parameters affect it. Note that the torsion constant \(\kappa\) is computed directly from the wire length here (\(\kappa\propto1/l\)), instead of being an unrelated free number.
النتائج المحسوبة:
Computed Results:
الاستنتاج من التجربة (1):
Conclusion from Experiment (1):
الدور الخاص لنواس الفتل لا يتعلق بالسعة الزاوية \(\theta_{max}\)، ولكنه يتناسب طرديًا مع الجذر التربيعي لعزم عطالة الجملة، وعكسيًا مع الجذر التربيعي لثابت فتل السلك.
The natural period of the torsion pendulum does not depend on the angular amplitude \(\theta_{max}\), but is directly proportional to the square root of the system’s moment of inertia, and inversely proportional to the square root of the wire’s torsion constant.
التجربة التفاعلية (2): تأثير زيادة عزم العطالة
Interactive Experiment (2): The Effect of Increasing the Moment of Inertia
نثبّت كتلتين نقطيتين متساويتين على طرفي الساق (على بعدين متساويين من محور الدوران) وندرس تأثير ذلك على الدور الخاص، بنفس \(I_T\) وطول السلك المضبوطين في التجربة (1) أعلاه.
We fix two equal point masses at the ends of the rod (equal distances from the axis of rotation) and study the effect on the natural period, using the same \(I_T\) and wire length currently set in Experiment (1) above.
مقارنة النتائج:
Comparison of Results:
الاستنتاج من التجربة (2):
Conclusion from Experiment (2):
بزيادة عزم عطالة الجملة (بإضافة الكتل)، يزداد الدور الخاص \(T_0\) لنواس الفتل، حيث إن:
By increasing the system’s moment of inertia (adding masses), the natural period \(T_0\) of the torsion pendulum increases, since:
التجربة التفاعلية (3): تأثير تغيير طول سلك الفتل
Interactive Experiment (3): The Effect of Changing the Torsion Wire’s Length
نقصّر طول سلك الفتل الحالي (المضبوط في التجربة 1) إلى نصفه وندرس تأثير ذلك على الدور الخاص، مع تثبيت \(I_T\) وθmax.
We halve the current wire length (as set in Experiment 1) and study the effect on the natural period, keeping \(I_T\) and θmax fixed.
مقارنة النتائج:
Comparison of Results:
الاستنتاج من التجربة (3):
Conclusion from Experiment (3):
بتقصير طول سلك الفتل، ينقص الدور الخاص \(T_0\) لنواس الفتل، لأن ثابت الفتل \(\kappa\) يتناسب عكسيًا مع طول السلك:
By shortening the torsion wire, the natural period \(T_0\) of the torsion pendulum decreases, because the torsion constant \(\kappa\) is inversely proportional to the wire’s length:
الخلاصة والمقارنة مع النواس المرن
Summary and Comparison with the Spring Oscillator
| الخاصيةProperty | النواس المرن (الاهتزازي)The Spring Oscillator (translational) | نواس الفتل (الدوراني)The Torsion Pendulum (rotational) |
|---|---|---|
| طبيعة الحركةNature of motion | حركة جيبية انسحابيةSinusoidal translational motion | حركة جيبية دورانيةSinusoidal rotational motion |
| المطالElongation | إزاحة خطية xLinear displacement x | إزاحة زاوية θAngular displacement θ |
| قوة/عزم الإرجاعRestoring force/torque | F = -k·x | Γ = -κ·θ |
| خاصية العطالةInertial property | الكتلة mMass m | عزم العطالة ITMoment of inertia IT |
| الطاقة الكامنةPotential energy | Ep = ½kx² | Ep = ½κθ² |
| الدورPeriod | T = 2π√(m/k) | T = 2π√(IT/κ) |
ملاحظة هامة:
Important Note:
ثابت فتل السلك يُعطى بالعلاقة \(\kappa=\dfrac{\pi G r^4}{2l}\) حيث: G: معامل القص للمادة، r: نصف قطر السلك، l: طول السلك. وهذا يفسّر لماذا يتناسب ثابت الفتل عكسيًا مع طول السلك (وهو ما اعتمدته التجربة 1 أعلاه لحساب κ من l مباشرة).
The wire’s torsion constant is given by \(\kappa=\dfrac{\pi G r^4}{2l}\), where: G: the material’s shear modulus, r: the wire’s radius, l: the wire’s length. This explains why the torsion constant is inversely proportional to the wire’s length — which is exactly what Experiment 1 above uses to compute κ directly from l.
الأساس النظري
Theoretical Foundation
في تجربة مزدوجة الفتل، ندرس الحركة التوافقية الدورانية لنظام يتكوّن من سلك معدني مربوط من طرفيه، وعند منتصفه تُعلَّق ساق تحتوي على كتل.
In the torsion couple experiment, we study the rotational harmonic motion of a system made of a metal wire fixed at both ends, with a rod carrying masses suspended at its midpoint.
القوى المؤثرة في النظام
Forces Acting on the System
- قوة الثقل (W) المؤثرة في مركز ثقل الساق
- قوة الشد (T) في السلك
- عزم الإرجاع الناتج عن عزم الفتل (τ)
- The weight force (W) acting at the rod’s center of gravity
- The tension force (T) in the wire
- The restoring torque produced by the torsion (τ)
عند إزاحة الساق بزاوية \(\theta\) عن وضع الاتزان، ينشأ في السلك عزم فتل يعمل على إعادة الساق إلى وضع التوازن. هذا العزم يتناسب طرديًا مع زاوية الالتواء \(\theta\) ويعاكسها بالإشارة:
When the rod is displaced by an angle \(\theta\) from equilibrium, a torsional torque develops in the wire, restoring the rod to equilibrium. This torque is directly proportional to the twist angle \(\theta\), opposite in sign:
حيث: τ: عزم الفتل (N·m)، κ: ثابت الفتل للسلك (N·m/rad)، θ: زاوية الالتواء (rad).
where: τ: the torsional torque (N·m), κ: the wire’s torsion constant (N·m/rad), θ: the twist angle (rad).
معادلة الحركة
The Equation of Motion
بتطبيق القانون الأساسي للديناميكية الدورانية:
Applying the fundamental law of rotational dynamics:
حيث: I: عزم القصور الذاتي للنظام (kg·m²)، α: التسارع الزاوي (rad/s²). بالتعويض عن عزم الفتل:
where: I: the system’s moment of inertia (kg·m²), α: the angular acceleration (rad/s²). Substituting the torsional torque:
هذه معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية تمثل حركة توافقية بسيطة، وحلها يكون على الشكل:
This is a second-order differential equation describing simple harmonic motion, whose solution has the form:
حيث: θmax: السعة الزاوية القصوى (rad)، ω0: النبض الخاص بالحركة (rad/s)، φ: الطور الابتدائي (rad).
where: θmax: the maximum angular amplitude (rad), ω0: the natural angular frequency of the motion (rad/s), φ: the initial phase (rad).
النبض والدورة الزمنية
The Angular Frequency and Period
من حل المعادلة التفاضلية نستنتج أن:
From solving the differential equation, we find:
حيث T0 هي الدورة الزمنية للحركة (s).
where T0 is the period of the motion (s).
| الرمزSymbol | المعنىMeaning | الوحدةUnit |
|---|---|---|
| θ | الزاوية الالتوائيةThe twist angle | راديان (rad)radian (rad) |
| κ | ثابت الفتلThe torsion constant | N·m/rad |
| I | عزم القصور الذاتيThe moment of inertia | kg·m² |
| T0 | الدورة الزمنيةThe period | ثانية (s)second (s) |
| ω0 | النبض الخاصThe natural angular frequency | rad/s |
نواس الفتل — أسئلة وتمارين تفاعلية
Torsion Pendulum — Interactive Questions and Exercises
أسئلة اختيار من متعدد مع تفاعل فوري للأجوبة الصحيحة والخاطئة.
Multiple-choice questions with instant feedback for correct and incorrect answers.
أولًا: اختر الإجابة الصحيحة فيما يأتي
Part One: Choose the Correct Answer
في هذه الحالة، \(\theta(t)\) يتبع حركة توافقية بسيطة لكن بتردد متغيّر. المعادلة تكون تقريبًا:
حيث \(\omega(t)=\sqrt{\kappa/(2mr(t)^2)}\)، مع العلم أن \(r(t)\) يزداد تدريجيًا مع الزمن (الكتلتان تبتعدان عن محور الدوران).
لذلك نرى موجة جيبية بسعة ثابتة، لكن الفترة تزداد تدريجيًا مع الزمن لأن \(\omega(t)\) يتناقص مع زيادة \(r(t)\).
Here, \(\theta(t)\) follows a simple harmonic motion but with a time-varying frequency. Approximately:
where \(\omega(t)=\sqrt{\kappa/(2mr(t)^2)}\), and \(r(t)\) gradually increases with time (the two masses move away from the axis).
So we see a sinusoidal wave with constant amplitude, but whose period gradually increases with time, because \(\omega(t)\) decreases as \(r(t)\) increases.
دور نواس الفتل يُعطى بالعلاقة \(T=2\pi\sqrt{I/\kappa}\)، حيث \(I\) عزم القصور الذاتي و\(\kappa\) ثابت الفتل.
إذا كانت الساعة متأخرة فهذا يعني أن دور النواس أكبر من المطلوب، ولجعلها أسرع (تقليل الدور) يجب تقليل \(I\) أو زيادة \(\kappa\).
زيادة طول السلك تقلّل \(\kappa\) (لأنه يتناسب عكسيًا مع الطول)، فيزداد الدور أكثر — خطأ.
زيادة كتلة القرص مع بقاء قطره تزيد \(I\) (لأن \(I\propto m\))، فيزداد الدور — خطأ.
إنقاص طول السلك يزيد \(\kappa\)، وبالتالي يقلّل الدور، فيصحح التأخير — صحيح.
زيادة قطر القرص مع بقاء كتلته تزيد \(I\) (لأن \(I\propto r^2\))، فيزداد الدور — خطأ.
The torsion pendulum period is \(T=2\pi\sqrt{I/\kappa}\), where \(I\) is the moment of inertia and \(\kappa\) the torsion constant.
If the clock is lagging, its period is too large; to speed it up (decrease the period), \(I\) must decrease, or \(\kappa\) must increase.
Increasing the wire length decreases \(\kappa\) (inversely proportional to length), which increases the period further — wrong.
Increasing the disk’s mass at constant diameter increases \(I\) (\(I\propto m\)), increasing the period — wrong.
Decreasing the wire length increases \(\kappa\), decreasing the period and correcting the lag — correct.
Increasing the disk’s diameter at constant mass increases \(I\) (\(I\propto r^2\)), increasing the period — wrong.
من الرسم البياني نلاحظ أن: المنحنى يبدأ من الصفر عند \(t=0\)، وهو دالة جيبية، وقيمته العظمى \(\omega_0=\pi^2/8\)، والدور من الرسم \(T=4\;s\) فيكون \(\omega=2\pi/T=2\pi/4=\pi/2\).
المنحنى يبدأ من الصفر ويتّجه نحو السالب، إذًا \(\omega(t)=-\omega_0\sin(\omega t)\):
From the graph: the curve starts at zero at \(t=0\), is sinusoidal, has maximum value \(\omega_0=\pi^2/8\), and its period is \(T=4\;s\), giving \(\omega=2\pi/T=2\pi/4=\pi/2\).
The curve starts at zero and initially goes negative, so \(\omega(t)=-\omega_0\sin(\omega t)\):
ثانيًا: أجب عن الأسئلة الآتية
Part Two: Answer the Following Questions
لنفرض أن لدينا نواس فتل مكوّن من قرص معلّق بسلك فتل. عند إزاحة القرص بزاوية \(\theta\) عن وضع التوازن:
الطاقة الكامنة الالتوائية المخزّنة في سلك الفتل: \(U=\tfrac12\kappa\theta^2\)
الطاقة الحركية الدورانية للقرص: \(K=\tfrac12I\omega^2=\tfrac12I(d\theta/dt)^2\)
حيث \(\kappa\) ثابت الفتل، \(I\) عزم عطالة القرص. بمبدأ حفظ الطاقة الميكانيكية (بإهمال الاحتكاك):
بأخذ مشتق الطاقة بالنسبة للزمن:
بقسمة المعادلة على \(d\theta/dt\) (عندما لا تساوي الصفر):
هذه معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية، حلها العام هو:
حيث \(\omega=\sqrt{\kappa/I}\) هو التردد الزاوي، \(\theta_0\) السعة، \(\varphi\) ثابت الطور.
وهذا يثبت أن حركة نواس الفتل هي حركة دورانية جيبية (توافقية بسيطة).
Consider a torsion pendulum: a disk hung from a torsion wire. When displaced by angle \(\theta\) from equilibrium:
Torsional potential energy stored in the wire: \(U=\tfrac12\kappa\theta^2\)
Rotational kinetic energy of the disk: \(K=\tfrac12I\omega^2=\tfrac12I(d\theta/dt)^2\)
where \(\kappa\) is the torsion constant, \(I\) the disk’s moment of inertia. By conservation of mechanical energy (neglecting friction):
Differentiating the energy with respect to time:
Dividing by \(d\theta/dt\) (when nonzero):
This is a second-order differential equation whose general solution is:
where \(\omega=\sqrt{\kappa/I}\) is the angular frequency, \(\theta_0\) the amplitude, and \(\varphi\) the phase constant.
This proves that the motion of the torsion pendulum is sinusoidal (simple harmonic) rotational motion.
دور نواس الفتل: \(T=2\pi\sqrt{I/\kappa}\)، حيث \(I\) عزم عطالة الساق و\(\kappa\) ثابت الفتل. ثابت الفتل للسلك يتناسب عكسيًا مع طوله: \(\kappa=C/l\) حيث \(C\) ثابت يعتمد على مادة السلك ونصف قطره.
بما أن الساقين متماثلتان، فإن عزم العطالة \(I\) هو نفسه في الحالتين. إذًا:
نسبة الدورين:
بما أن \(T_2=2T_1\):
أي أن سلك الفتل الثاني أطول أربع مرات من الأول.
Torsion pendulum period: \(T=2\pi\sqrt{I/\kappa}\), where \(I\) is the rod’s moment of inertia and \(\kappa\) the torsion constant. The wire’s torsion constant is inversely proportional to its length: \(\kappa=C/l\), where \(C\) depends on the wire’s material and radius.
Since the rods are identical, \(I\) is the same in both cases:
Ratio of periods:
Since \(T_2=2T_1\):
That is, the second torsion wire is four times as long as the first.
ثالثًا: حل المسائل الآتية
Part Three: Solve the Following Problems
(في جميع المسائل: g = 10 m/s²، π = 3.14، π² = 9.87)
(In all problems: g = 10 m/s², π = 3.14, π² = 9.87)
المسألة الأولى:
Problem One:
المطلوب:
- احسب الدور الخاص للنواس.
- استنتج التابع الزمني للمطال الزاوي انطلاقًا من شكله العام.
- احسب الطاقة الكامنة في وضع مطاله الزاوي \(\theta=\pi/8\;rad\) ثم احسب الطاقة الحركية عندئذ.
Required:
- Find the natural period of the pendulum.
- Derive the elongation function starting from its general form.
- Find the potential energy at \(\theta=\pi/8\;rad\), then the kinetic energy at that instant.
1) الدور الخاص: عزم عطالة القرص \(I=\tfrac12mr^2=\tfrac12\times2\times(0.04)^2=1.6\times10^{-3}\;kg.m^2\)
\(\omega=\sqrt{\kappa/I}=\sqrt{1.6\times10^{-3}/1.6\times10^{-3}}=1\;rad/s\)
\(T_0=2\pi/\omega=2\pi\approx6.28\;s\)
2) التابع الزمني: الشكل العام \(\theta(t)=\theta_0\cos(\omega t+\varphi)\). الشروط الابتدائية: \(\theta(0)=\pi/4\) و\(\dot\theta(0)=0\)، فتعطي \(\varphi=0\).
3) الطاقة عند θ=π/8: \(U=\tfrac12\kappa\theta^2=\tfrac12\times1.6\times10^{-3}\times(\pi/8)^2\approx1.23\times10^{-4}\;J\)
الطاقة الكلية: \(E=\tfrac12\kappa\theta_0^2=\tfrac12\times1.6\times10^{-3}\times(\pi/4)^2\approx4.93\times10^{-4}\;J\)
الطاقة الحركية: \(K=E-U\approx4.93\times10^{-4}-1.23\times10^{-4}\approx3.70\times10^{-4}\;J\)
1) Natural period: the disk’s moment of inertia \(I=\tfrac12mr^2=\tfrac12\times2\times(0.04)^2=1.6\times10^{-3}\;kg.m^2\)
\(\omega=\sqrt{\kappa/I}=\sqrt{1.6\times10^{-3}/1.6\times10^{-3}}=1\;rad/s\)
\(T_0=2\pi/\omega=2\pi\approx6.28\;s\)
2) Elongation function: general form \(\theta(t)=\theta_0\cos(\omega t+\varphi)\). Initial conditions: \(\theta(0)=\pi/4\) and \(\dot\theta(0)=0\), giving \(\varphi=0\).
3) Energy at θ=π/8: \(U=\tfrac12\kappa\theta^2=\tfrac12\times1.6\times10^{-3}\times(\pi/8)^2\approx1.23\times10^{-4}\;J\)
Total energy: \(E=\tfrac12\kappa\theta_0^2=\tfrac12\times1.6\times10^{-3}\times(\pi/4)^2\approx4.93\times10^{-4}\;J\)
Kinetic energy: \(K=E-U\approx4.93\times10^{-4}-1.23\times10^{-4}\approx3.70\times10^{-4}\;J\)
المسألة الثانية:
Problem Two:
المطلوب:
- استنتج التابع الزمني للمطال الزاوي انطلاقًا من شكله العام.
- احسب قيمة السرعة الزاوية للساق لحظة مرورها الأول بوضع التوازن.
- احسب طول الساق.
Required:
- Derive the elongation function starting from its general form.
- Find the angular velocity of the rod the first time it passes through equilibrium.
- Find the length of the rod.
1) التابع الزمني: \(\omega=2\pi/T_0=2\pi/2.5=0.8\pi\approx2.513\;rad/s\)
2) السرعة الزاوية عند التوازن: \(\omega_{max}=\theta_0\omega=(\pi/3)\times0.8\pi\approx2.632\;rad/s\). عند المرور الأول تكون بالاتجاه السالب: \(\omega=-2.632\;rad/s\)
3) طول الساق: \(I=\kappa/\omega^2=1.6\times10^{-3}/(0.8\pi)^2\approx2.533\times10^{-4}\;kg.m^2\)
ومن \(I=2m(l/2)^2=0.0625\,l^2\): \(l^2=I/0.0625\approx4.053\times10^{-3}\Rightarrow l\approx0.0637\;m=6.37\;cm\)
1) Elongation function: \(\omega=2\pi/T_0=2\pi/2.5=0.8\pi\approx2.513\;rad/s\)
2) Angular velocity at equilibrium: \(\omega_{max}=\theta_0\omega=(\pi/3)\times0.8\pi\approx2.632\;rad/s\). On the first crossing it is negative: \(\omega=-2.632\;rad/s\)
3) Length of the rod: \(I=\kappa/\omega^2=1.6\times10^{-3}/(0.8\pi)^2\approx2.533\times10^{-4}\;kg.m^2\)
From \(I=2m(l/2)^2=0.0625\,l^2\): \(l^2=I/0.0625\approx4.053\times10^{-3}\Rightarrow l\approx0.0637\;m=6.37\;cm\)
المسألة الثالثة:
Problem Three:
المطلوب:
- استنتج التابع الزمني للمطال الزاوي انطلاقًا من شكله العام.
- احسب قيمة السرعة الزاوية للساق لحظة مرورها الثاني بوضع التوازن.
- احسب قيمة التسارع الزاوي للساق عندما تصنع زاوية 30° مع وضع توازنها.
- إذا ثبَّتنا بالطرفين \(a,b\) كتلتين نقطيتين \(m_1=m_2=75\;g\)، استنتج قيمة الدور الخاص الجديد للجملة، ثم احسب قيمة ثابت فتل السلك.
Required:
- Derive the elongation function starting from its general form.
- Find the rod’s angular velocity the second time it passes through equilibrium.
- Find the rod’s angular acceleration when it makes a 30° angle with equilibrium.
- If two point masses \(m_1=m_2=75\;g\) are fixed at ends \(a,b\), find the new natural period of the system, then find the wire’s torsion constant.
1) \(\omega=2\pi/T_0=2\pi\;rad/s\)
2) المرور الثاني بالتوازن: \(\cos(2\pi t)=0\) عند \(t_1=1/4\;s\) (الأول)، \(t_2=3/4\;s\) (الثاني). عندها \(\sin(2\pi t_2)=\sin(3\pi/2)=-1\)، فتكون \(\omega=-(2\pi^2/3)\times(-1)=2\pi^2/3\approx6.58\;rad/s\)
3) التسارع عند θ=-30°=-π/6: \(\alpha=-\omega^2\theta=-(2\pi)^2\times(-\pi/6)=2\pi^3/3\approx20.67\;rad/s^2\)
4) بعد إضافة الكتلتين: \(I_m=m(l/2)^2=0.075\times(0.2)^2=3\times10^{-3}\;kg.m^2\) لكل كتلة
\(I_{total}=I+2I_m=2\times10^{-3}+6\times10^{-3}=8\times10^{-3}\;kg.m^2\)
\(\kappa=\omega_{original}^2\times I=(2\pi)^2\times2\times10^{-3}\approx7.90\times10^{-2}\;N.m/rad\)
\(\omega_{new}=\sqrt{\kappa/I_{total}}=\sqrt{7.90\times10^{-2}/8\times10^{-3}}\approx\pi\;rad/s\;\Rightarrow\;T_{new}=2\pi/\omega_{new}\approx2\;s\)
1) \(\omega=2\pi/T_0=2\pi\;rad/s\)
2) Second crossing of equilibrium: \(\cos(2\pi t)=0\) at \(t_1=1/4\;s\) (first), \(t_2=3/4\;s\) (second). There \(\sin(2\pi t_2)=\sin(3\pi/2)=-1\), so \(\omega=-(2\pi^2/3)\times(-1)=2\pi^2/3\approx6.58\;rad/s\)
3) Acceleration at θ=-30°=-π/6: \(\alpha=-\omega^2\theta=-(2\pi)^2\times(-\pi/6)=2\pi^3/3\approx20.67\;rad/s^2\)
4) After adding the two masses: \(I_m=m(l/2)^2=0.075\times(0.2)^2=3\times10^{-3}\;kg.m^2\) for each mass
\(I_{total}=I+2I_m=2\times10^{-3}+6\times10^{-3}=8\times10^{-3}\;kg.m^2\)
\(\kappa=\omega_{original}^2\times I=(2\pi)^2\times2\times10^{-3}\approx7.90\times10^{-2}\;N.m/rad\)
\(\omega_{new}=\sqrt{\kappa/I_{total}}=\sqrt{7.90\times10^{-2}/8\times10^{-3}}\approx\pi\;rad/s\;\Rightarrow\;T_{new}=2\pi/\omega_{new}\approx2\;s\)
تفكير ناقد
Critical Thinking
تفكير ناقد (1): نواس الفتل مع الكؤوس المائية
Critical Thinking (1): The Torsion Pendulum with Water Cups
عند فتح الصمامين، ينساب الماء من الكأسين. بما أنهما متماثلان ويحويان نفس الكمية من الماء ويقعان على طرفي قطر القرص، فإن توزيع الكتلة يبقى متماثلًا بالنسبة لمحور الدوران، وينساب الماء بشكل متناظر من الكأسين.
إذًا عزم العطالة \(I\) للنظام يبقى ثابتًا خلال عملية الانسياب. وبما أن \(\omega=\sqrt{\kappa/I}\) يعتمد على \(\kappa\) و\(I\) فقط، وكلاهما ثابت، فإن \(\omega\) يبقى ثابتًا.
لكن الطاقة الميكانيكية للنظام تنقص بسبب فقدان الماء (الذي يحمل معه طاقة حركية عندما ينساب). الطاقة الكلية \(E=\tfrac12\kappa\theta_{max}^2\)، وعندما تنقص \(E\) تنقص السعة \(\theta_{max}\) بينما يبقى \(\omega\) ثابتًا.
السرعة الزاوية العظمى \(\omega_{max}=\theta_{max}\times\omega\)، وبما أن \(\theta_{max}\) تنقص و\(\omega\) ثابت، فإن السرعة الزاوية العظمى تنقص.
When both valves open, water flows out of the two cups. Since the cups are identical, hold equal amounts of water, and sit at opposite ends of a diameter, the mass distribution stays symmetric about the axis, and water drains symmetrically from both.
So the system’s moment of inertia \(I\) stays constant throughout the draining. Since \(\omega=\sqrt{\kappa/I}\) depends only on \(\kappa\) and \(I\), both constant, \(\omega\) stays constant.
But the system’s mechanical energy decreases because the escaping water carries kinetic energy with it. The total energy is \(E=\tfrac12\kappa\theta_{max}^2\); as \(E\) decreases, the amplitude \(\theta_{max}\) decreases while \(\omega\) stays fixed.
The maximum angular velocity is \(\omega_{max}=\theta_{max}\times\omega\); since \(\theta_{max}\) decreases and \(\omega\) is constant, the maximum angular velocity decreases.
تفكير ناقد (2): مقارنة نواسي الفتل
Critical Thinking (2): Comparing Two Torsion Pendulums
الدور: \(T=2\pi\sqrt{I/\kappa}\). بما أن سلك الفتل واحد في الحالتين فإن \(\kappa\) متساوٍ.
عزم عطالة النواس الأول (كتلة نقطية على بعد \(r\)): \(I_1=mr^2\)
عزم عطالة النواس الثاني (كتلة نقطية على بعد \(R=2r\)): \(I_2=mR^2=m(2r)^2=4mr^2=4I_1\)
نسبة الدورين: \(T_2/T_1=\sqrt{I_2/I_1}=\sqrt4=2\)، إذًا \(T_2=2T_1\).
الخلاصة: نواس الفتل الثاني (الكتلة على بعد \(2r\)) له دور أكبر بمرتين من نواس الفتل الأول.
Period: \(T=2\pi\sqrt{I/\kappa}\). Since both use the same wire, \(\kappa\) is equal in both cases.
Moment of inertia of pendulum 1 (point mass at distance \(r\)): \(I_1=mr^2\)
Moment of inertia of pendulum 2 (point mass at distance \(R=2r\)): \(I_2=mR^2=m(2r)^2=4mr^2=4I_1\)
Ratio of periods: \(T_2/T_1=\sqrt{I_2/I_1}=\sqrt4=2\), so \(T_2=2T_1\).
Conclusion: the second torsion pendulum (mass at distance \(2r\)) has a period twice as large as the first.