💧 معادلتا الاستمرارية وبرنولي

بعد هذه التجربة ستكون قادرًا على أن:

After this experiment you will be able to:

1. تطبّق معادلة الاستمرارية \(A_1v_1=A_2v_2=Q\) لحساب سرعة المائع عند مقطع ضيق أو واسع.Apply the continuity equation \(A_1v_1=A_2v_2=Q\) to calculate the fluid speed in a narrow or wide section.
2. تطبّق معادلة برنولي \(P+\tfrac12\rho v^2+\rho gh=\text{ثابت}\) بين نقطتين على الأنبوب.Apply Bernoulli’s equation \(P+\tfrac12\rho v^2+\rho gh=\text{constant}\) between two points on a pipe.
3. تحسب فرق الضغط بين نقطتين في أنبوب أفقي، وتفسّر أن الضغط يقل حيث تزداد السرعة (تأثير فنتوري).Calculate the pressure difference between two points in a horizontal pipe, and explain that the pressure drops where the speed increases (Venturi effect).
4. تحسب الضغط في أنبوب متغير الارتفاع، وتميّز بين أثر السرعة وأثر الارتفاع في الضغط.Calculate the pressure in a pipe of varying height, and distinguish between the effect of speed and the effect of height on the pressure.

💡 شرح إضافي: لماذا يرتفع الماء في الأنبوب الضيق؟

💡 Extra explanation: why does the water rise in a narrow tube?

في المقطع الضيق تزداد السرعة، فيقل الضغط فيه عن الضغط في المقطع الواسع. هذا الفرق في الضغط يسمح للهواء أو للسائل المحيط بأن يدفع السائل إلى الأعلى في الأنبوب الجانبي الموصول بالمقطع الضيق، وهذا مبدأ عمل مضخة الرذاذ وأنبوب فنتوري.

In the narrow section the speed increases, so the pressure there is lower than in the wide section. This pressure difference lets the surrounding air or fluid push the liquid up a side tube connected to the narrow section. This is the principle of the spray pump and the Venturi tube.

خطوات التجربة

Steps of the experiment

1. توقّع أولًا: عند ضيق الأنبوب إلى نصف القطر، هل تزداد السرعة أم تقل؟ وهل يزداد الضغط أم يقل؟Predict first: when the pipe narrows, does the speed increase or decrease? Does the pressure increase or decrease?
2. تحقّق من الاستمرارية: احسب \(v_1\) و\(v_2\) من \(A_1v_1=A_2v_2\)، ثم قارنها بقيم التجربة.Check continuity: calculate \(v_1\) and \(v_2\) from \(A_1v_1=A_2v_2\), then compare them with the experiment.
3. ارفع الجزء الضيق ولاحظ أن الضغط عند النقطة 2 يتأثر بالارتفاع وبالسرعة معًا، وأن مجموع الثلاثة ثابت.Raise the narrow part and notice that the pressure at point 2 depends on both the height and the speed, while the total stays constant.
4. تحقّق من برنولي: الطاقة الكلية عند النقطتين متساوية في الجدول أسفل التجربة.Check Bernoulli: the total energy at the two points is equal in the table below the experiment.

المثال 1: أنبوب أفقي، \(D_1=4\,\mathrm{cm}\)، \(D_2=2\,\mathrm{cm}\)، \(Q=2\,\mathrm{L/s}\)، \(P_1=150\,\mathrm{kPa}\)

Example 1: horizontal pipe, \(D_1=4\,\mathrm{cm}\), \(D_2=2\,\mathrm{cm}\), \(Q=2\,\mathrm{L/s}\), \(P_1=150\,\mathrm{kPa}\)

1. التدفق: \(Q=2\,\mathrm{L/s}=2\times10^{-3}\,\mathrm{m^3/s}\)Flow rate: \(Q=2\,\mathrm{L/s}=2\times10^{-3}\,\mathrm{m^3/s}\)
2. المساحتان: \(A_1=\pi(0.02)^2\approx1.257\times10^{-3}\,\mathrm{m^2}\)، \(A_2=\pi(0.01)^2\approx3.14\times10^{-4}\,\mathrm{m^2}\)Areas: \(A_1=\pi(0.02)^2\approx1.257\times10^{-3}\,\mathrm{m^2}\), \(A_2=\pi(0.01)^2\approx3.14\times10^{-4}\,\mathrm{m^2}\)
3. السرعتان: \(v_1=\dfrac{Q}{A_1}\approx1.59\,\mathrm{m/s}\)، \(v_2=\dfrac{Q}{A_2}\approx6.37\,\mathrm{m/s}\)Speeds: \(v_1=\dfrac{Q}{A_1}\approx1.59\,\mathrm{m/s}\), \(v_2=\dfrac{Q}{A_2}\approx6.37\,\mathrm{m/s}\)
4. برنولي (أفقي): \(P_2=P_1+\tfrac12\rho(v_1^2-v_2^2)=150000+500(2.53-40.53)\approx131\,\mathrm{kPa}\)Bernoulli (horizontal): \(P_2=P_1+\tfrac12\rho(v_1^2-v_2^2)=150000+500(2.53-40.53)\approx131\,\mathrm{kPa}\)
5. إذا رُفع الجزء الضيق \(2\,\mathrm{m}\): \(P_2=131-\rho gh/1000=131-19.6\approx111\,\mathrm{kPa}\)If the narrow part is raised by \(2\,\mathrm{m}\): \(P_2=131-\rho gh/1000=131-19.6\approx111\,\mathrm{kPa}\)

المثال 2: ماء يجري بسرعة \(2\,\mathrm{m/s}\) في أنبوب أفقي وضغطه \(200\,\mathrm{kPa}\)، ثم ضاق الأنبوب فصارت السرعة \(4\,\mathrm{m/s}\)

Example 2: water flows at \(2\,\mathrm{m/s}\) in a horizontal pipe at \(200\,\mathrm{kPa}\); the pipe narrows and the speed becomes \(4\,\mathrm{m/s}\)

1. \(P_2=P_1+\tfrac12\rho(v_1^2-v_2^2)=200000+500(4-16)=194000\,\mathrm{Pa}\approx194\,\mathrm{kPa}\)\(P_2=P_1+\tfrac12\rho(v_1^2-v_2^2)=200000+500(4-16)=194000\,\mathrm{Pa}\approx194\,\mathrm{kPa}\)
2. الضغط قلّ لأن السرعة زادت.The pressure decreased because the speed increased.

⚠️ أخطاء شائعة

⚠️ Common mistakes

• الخلط بين نسبة الأقطار ونسبة المساحات؛ المساحة تتناسب مع مربع القطر.Mixing up the ratio of diameters with the ratio of areas; the area is proportional to the square of the diameter.
• استخدام الوحدات غير الصحيحة: الضغط بالباسكال، والتدفق بالمتر المكعب في الثانية.Using wrong units: pressure in pascals and flow rate in cubic metres per second.
• نسيان حد \(\rho gh\) عند تغيّر الارتفاع.Forgetting the \(\rho gh\) term when the height changes.
• الظن أن الضغط يزيد حيث تزداد السرعة؛ الضغط يقل حيث تزداد السرعة في الأنبوب الأفقي.Thinking the pressure increases where the speed increases; in a horizontal pipe it decreases.