تحسب تردد الرنين \(f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\) لدائرة RLC متوالية.Calculate the resonance frequency \(f_0=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\) of a series RLC circuit.
تبيّن أنه عند الرنين تتساوى \(X_L\) و\(X_C\) فتكون المفاعلة الكلية صفرًا، والمعاوقة \(Z=R\)، وفرق الطور صفرًا.Show that at resonance \(X_L\) and \(X_C\) are equal, so the net reactance is zero, the impedance is \(Z=R\), and the phase difference is zero.
تحسب التيار عند الرنين \(I=\dfrac{V}{R}\)، وتبيّن أنه أكبر ما يمكن.Calculate the current at resonance \(I=\dfrac{V}{R}\), and show that it is at its largest.
تفسّر لماذا يكون الجهد على الملف والمكثف أكبر من جهد المصدر عند الرنين، وتحسب عامل الجودة \(Q=\dfrac{X_L}{R}\).Explain why the voltage on the coil and on the capacitor can be larger than the source voltage at resonance, and calculate the quality factor \(Q=\dfrac{X_L}{R}\).
تتحقق من أن القدرة المتوسطة عند الرنين تساوي \(P=\dfrac{V^2}{R}\)، وأن الجهد والتيار في طور واحد.Check that the average power at resonance is \(P=\dfrac{V^2}{R}\), and that the voltage and the current are in phase.
💡 فكرة التجربة
💡 The Idea of the Experiment
في الدائرة المتوالية يعاكس الملف والمكثف بعضهما: \(X_L\) تزداد بزيادة التردد، و\(X_C\) تقل بزيادة التردد. عند تردد معين تتساوى المفاعلتان، فيلغي أحدهما الآخر، ولا يبقى في الدائرة إلا المقاومة. هذا هو الرنين، ويكون عنده التيار أكبر ما يمكن والجهد على المقاومة مساويًا لجهد المصدر.
In a series circuit the coil and the capacitor oppose each other: \(X_L\) increases with frequency, while \(X_C\) decreases with frequency. At one particular frequency the two reactances become equal and cancel each other, leaving only the resistance. This is resonance; the current is then at its largest and the voltage on the resistor equals the source voltage.
حيث \(Q\) عامل الجودة، وهو يبين مدى حدة الرنين: كلما كانت المقاومة أصغر كان الرنين أحد وقمة التيار أعلى. ولأن \(V_L\) و\(V_C\) متعاكسان في الاتجاه فإنهما يلغيان بعضهما في المحصلة، لذلك لا يظهر أثرهما على جهد المصدر، رغم أن كل منهما قد يتجاوز \(V\) بعدة أضعاف.
where \(Q\) is the quality factor, which shows how sharp the resonance is: the smaller the resistance, the sharper the resonance and the higher the current peak. Since \(V_L\) and \(V_C\) are opposite in direction, they cancel in the total, so they do not appear in the source voltage, even though each of them can be several times larger than \(V\).
💡 شرح إضافي: لماذا يكون التيار أكبر ما يمكن؟
💡 Extra explanation: why is the current largest?
المعاوقة \(Z=\sqrt{R^2+X^2}\)، وعند الرنين \(X=0\) فتصبح \(Z\) أصغر قيمة ممكنة وهي \(R\). ولأن التيار \(I=V/Z\)، فهو أكبر قيمة ممكنة عند الرنين. وعند الترددات الأعلى أو الأقل تزداد \(|X|\) فتقل \(I\).
The impedance is \(Z=\sqrt{R^2+X^2}\). At resonance \(X=0\), so \(Z\) takes its smallest possible value, \(R\). Since \(I=V/Z\), the current is largest at resonance. At frequencies above or below resonance, \(|X|\) grows and the current falls.
📝 خطوات حساب الرنين
📝 Steps to calculate the resonance
حوّل \(L\) إلى هنري و\(C\) إلى فاراد (\(1\,\mu\mathrm{F}=10^{-6}\,\mathrm{F}\)).Convert \(L\) to henries and \(C\) to farads (\(1\,\mu\mathrm{F}=10^{-6}\,\mathrm{F}\)).
عند \(f_0\) احسب \(X_L=X_C\)، ثم \(I=V/R\)، ثم \(V_L=IX_L\) و\(V_C=IX_C\).At \(f_0\) calculate \(X_L=X_C\), then \(I=V/R\), then \(V_L=IX_L\) and \(V_C=IX_C\).
🧪 التجربة: دائرة RLC في حالة رنين
🧪 The Experiment: Series RLC Circuit at Resonance
في التجربة التفاعلية أدناه دائرة RLC متوالية. اضغط زر «اضبط الرنين» ليضبط التردد تلقائيًا على \(f_0\)، ثم اتبع الخطوات:
In the interactive experiment below there is a series RLC circuit. Press the “Tune to resonance” button to set the frequency automatically to \(f_0\), then follow the steps:
خطوات التجربة
Steps of the experiment
توقّع أولًا: احسب \(f_0\) ثم \(I\) عنده قبل تغيير أي قيمة.Predict first: calculate \(f_0\) and then \(I\) at resonance before changing any value.
اضبط الرنين ولاحظ أن \(X=0\)، و\(\varphi=0\)، وأن إبرتي \(V_L\) و\(V_C\) متعاكستان ومتساويتان.Tune to resonance and notice that \(X=0\), \(\varphi=0\), and that the needles of \(V_L\) and \(V_C\) are equal and opposite.
غيّر التردد قليلًا عن \(f_0\) في الاتجاهين: لاحظ أن التيار يقل والجهد يتحول عن الطور.Change the frequency slightly above and below \(f_0\): notice that the current drops and the phase moves away from zero.
غيّر المقاومة عند الرنين: لاحظ أن \(f_0\) لا تتغير، لكن قمة التيار تزداد عند المقاومة الصغيرة.Change the resistance at resonance: notice that \(f_0\) does not change, but the current peak increases for a small resistance.
🧪 تجربة تفاعلية: دائرة RLC في حالة رنين
🧪 Interactive Experiment: Series RLC Circuit at Resonance
أغلق المفتاح بالزر أو بالنقر عليه في الرسم. زر «اضبط الرنين» يضع التردد على \(f_0\) مباشرة. مخطط المتجهات يجمع الجهود: عند الرنين يكون \(V_L\) و\(V_C\) متساويين ومتعاكسين، فتصبح المحصلة \(V_R\) أفقية. ولاحظ أن \(V_L\) قد يتجاوز جهد المصدر.
Close the switch with the button or by clicking it in the drawing. The “Tune to resonance” button sets the frequency directly to \(f_0\). The phasor diagram adds the voltages: at resonance \(V_L\) and \(V_C\) are equal and opposite, so the resultant is the horizontal \(V_R\). Notice that \(V_L\) can exceed the source voltage.
عند \(f_0\): \(X_L=2\pi(79.6)(0.2)\approx 100.0\,\Omega\)، و\(X_C=\dfrac{1}{2\pi(79.6)(20\times10^{-6})}\approx 100.0\,\Omega\)، فـ \(X=0\)At \(f_0\): \(X_L=2\pi(79.6)(0.2)\approx 100.0\,\Omega\), and \(X_C=\dfrac{1}{2\pi(79.6)(20\times10^{-6})}\approx 100.0\,\Omega\), so \(X=0\)
المعاوقة: \(Z=R=30\,\Omega\)، والتيار: \(I=\dfrac{100}{30}\approx 3.33\,\mathrm{A}\)Impedance: \(Z=R=30\,\Omega\), and current: \(I=\dfrac{100}{30}\approx 3.33\,\mathrm{A}\)
الجهود المفردة: \(V_R=100\,\mathrm{V}\)، \(V_L=V_C=IX_L\approx 333.3\,\mathrm{V}\)، وهما متعاكسان فيلغيان بعضهماSeparate voltages: \(V_R=100\,\mathrm{V}\), \(V_L=V_C=IX_L\approx 333.3\,\mathrm{V}\), which are opposite and cancel each other
عامل الجودة: \(Q=\dfrac{X_L}{R}=\dfrac{100}{30}\approx 3.33\)، وهو يفسر أن \(V_L=V_C=Q\,V\)Quality factor: \(Q=\dfrac{X_L}{R}=\dfrac{100}{30}\approx 3.33\), which explains that \(V_L=V_C=Q\,V\)
القدرة المتوسطة: \(P=\dfrac{V^2}{R}=\dfrac{100^2}{30}\approx 333\,\mathrm{W}\)، و\(\varphi=0\)Average power: \(P=\dfrac{V^2}{R}=\dfrac{100^2}{30}\approx 333\,\mathrm{W}\), and \(\varphi=0\)
🧠 اختبر نفسك
🧠 Test Yourself
سؤال 1Question 1
دائرة RLC متوالية فيها \(L=0.1\,\mathrm{H}\) و\(C=100\,\mu\mathrm{F}\). احسب تردد الرنين.A series RLC circuit has \(L=0.1\,\mathrm{H}\) and \(C=100\,\mu\mathrm{F}\). Calculate the resonance frequency.
دائرة RLC في حالة رنين، \(V=120\,\mathrm{V}\)، \(R=20\,\Omega\)، \(X_L=X_C=60\,\Omega\). احسب \(I\)، و\(V_L\)، و\(P\).A series RLC circuit is at resonance, with \(V=120\,\mathrm{V}\), \(R=20\,\Omega\), \(X_L=X_C=60\,\Omega\). Calculate \(I\), \(V_L\) and \(P\).
الحلSolution
عند الرنين \(Z=R=20\,\Omega\)، فـ \(I=\dfrac{120}{20}=6\,\mathrm{A}\)At resonance \(Z=R=20\,\Omega\), so \(I=\dfrac{120}{20}=6\,\mathrm{A}\)
\(V_L=IX_L=6\times60=360\,\mathrm{V}\)، و\(P=\dfrac{V^2}{R}=\dfrac{120^2}{20}=720\,\mathrm{W}\)\(V_L=IX_L=6\times60=360\,\mathrm{V}\), and \(P=\dfrac{V^2}{R}=\dfrac{120^2}{20}=720\,\mathrm{W}\)
الظن أن الجهد على الملف أو المكثف عند الرنين صفر؛ الصحيح أنهما متساويان ومتعاكسان وقد يكونان أكبر بكثير من \(V\).Thinking the voltage on the coil or the capacitor is zero at resonance; they are equal and opposite and can be much larger than \(V\).
استخدام \(2\pi fC\) بدل \(\dfrac{1}{2\pi fC}\) عند حساب \(f_0\).Using \(2\pi fC\) instead of \(\dfrac{1}{2\pi fC}\) when calculating \(f_0\).
نسيان تحويل الميكروفاراد إلى فاراد قبل حساب \(f_0\).Forgetting to convert microfarads to farads before calculating \(f_0\).
الظن أن التيار صفر عند الرنين؛ التيار أكبر ما يمكن لأن المعاوقة أصغر ما يمكن.Thinking the current is zero at resonance; it is largest because the impedance is smallest.