تفسّر دور المجال المغناطيسي في جعل الجسيم يدور، والمجال الكهربائي في تسريعه.Explain the role of the magnetic field in making the particle circle and of the electric field in accelerating it.
تستنتج أن تردد السيكلوترون \(f=\dfrac{qB}{2\pi m}\) لا يعتمد على سرعة الجسيم.Show that the cyclotron frequency \(f=\dfrac{qB}{2\pi m}\) does not depend on the particle's speed.
تحسب نصف قطر المدار والطاقة الحركية القصوى عند حافة الجهاز.Calculate the orbit radius and the maximum kinetic energy at the edge of the device.
تفسّر لماذا يجب أن يطابق التردد المتردد تردد السيكلوترون لكي يستمر التسارع.Explain why the RF frequency must match the cyclotron frequency for the acceleration to continue.
🎬 شاهد الفيديو
🎬 Watch the Video
⚡ المعادلات الأساسية
⚡ The Basic Equations
الجسيم المشحون الداخل عموديًا على مجال مغناطيسي منتظم تؤثر فيه قوة لورنتز \(F=qvB\) عموديًا على سرعته، فيتحرك في دائرة. وتتطلب هذه القوة أن تكون عجلة الجسيم المركزية \(\dfrac{mv^2}{r}\) مساوية لها.
A charged particle entering a uniform magnetic field perpendicular to it feels the Lorentz force \(F=qvB\) perpendicular to its velocity, so it moves in a circle. The centripetal requirement \(\dfrac{mv^2}{r}\) must equal this force.
حيث \(R\) نصف قطر الجهاز. وبما أن الجسيم يكتسب \(qV_0\) في كل عبور، فإنه يعبر الفجوة مرتين في كل دورة، فيكتسب \(2qV_0\) في كل دورة كاملة.
where \(R\) is the radius of the device. Since the particle gains \(qV_0\) at each crossing and crosses the gap twice per turn, it gains \(2qV_0\) per full turn.
💡 شرح إضافي: لماذا لا يعتمد التردد على السرعة؟
💡 Extra explanation: why doesn't the frequency depend on speed?
عند زيادة السرعة يكبر نصف القطر بالنسبة نفسها، لأن \(r\propto v\). فالمسافة التي يقطعها الجسيم في الدورة \(2\pi r\) تزيد، والسرعة تزيد بالنسبة نفسها، فيبقى زمن الدورة ثابتًا. هذا ما يسمح بتشغيل الجهاز بتردد كهربائي ثابت وهو يسرّع الجسيم خطوة بعد خطوة.
When the speed increases, the radius increases by the same proportion, since \(r\propto v\). The distance per turn \(2\pi r\) grows as much as the speed does, so the period stays the same. This is what allows the device to run at a fixed electric frequency while the particle speeds up step by step.
💡 شرح إضافي: لماذا يشترط الرنين؟
💡 Extra explanation: why is resonance required?
الفجوة تسرّع الجسيم فقط عندما يكون المجال الكهربائي فيها موجهًا مع حركته. والجسيم يعبر الفجوة كل نصف دورة، لذلك يجب أن يتبدل اتجاه المجال الكهربائي في كل مرة يعبرها بالضبط. هذا يحدث عندما يساوي التردد المتردد تردد السيكلوترون. وإذا اختلف التردد، فإن بعض العبورات تسرّع الجسيم وبعضها تبطئه، فلا يكبر الجسيم.
The gap accelerates the particle only when its electric field points along the motion. The particle crosses the gap every half turn, so the field must reverse exactly at each crossing. This happens when the RF frequency equals the cyclotron frequency. If it does not, some crossings speed the particle up and others slow it down, and the particle does not grow.
🧪 جرّب بنفسك: السيكلوترون
🧪 Try It Yourself: The Cyclotron
🧪 تجربة 2: السيكلوترون: شرط الرنين وطاقة الخروج
🧪 Experiment 2: The Cyclotron: the Resonance Condition and the Exit Energy
بروتون يبدأ من المركز بين الشفرتين؛ في كل مرة يعبر الفجوة يكتسب طاقة \(qV\) إذا كان الجهد في الاتجاه الصحيح، فيزداد نصف قطر مساره حتى يخرج عند \(R\). غيّر نسبة تردد الجهد إلى تردد الدوران \(f_{ac}/f_c\) وراقب ضياع الرنين (عند \(1\) يكون التسارع أعظم).
A proton starts at the centre between the dees; each time it crosses the gap it gains \(qV\) if the voltage has the right direction, so the radius of its path grows until it leaves at \(R\). Change the ratio of the voltage frequency to the rotation frequency \(f_{ac}/f_c\) and watch resonance be lost (at \(1\) the acceleration is greatest).
1
100
0.5
1
تردد الدوران \(f_c\) (MHz)Rotation frequency \(f_c\) (MHz)—
الطاقة الآن (MeV)Energy now (MeV)—
أكبر طاقة \(K_{max}\) (MeV)Greatest energy \(K_{max}\) (MeV)—
عدد مرات عبور الفجوةGap crossings—
✍️ أمثلة محلولة
✍️ Worked Examples
❓ مثال 1Example 1
بروتون (\(q=1.6\times10^{-19}\ \mathrm{C}\)، \(m=1.67\times10^{-27}\ \mathrm{kg}\)) يتحرك بسرعة \(10^6\ \mathrm{m/s}\) عموديًا على مجال \(B=1.0\ \mathrm{T}\). احسب نصف قطر مداره وزمن الدورة وتردد السيكلوترون.
A proton (\(q=1.6\times10^{-19}\ \mathrm{C}\), \(m=1.67\times10^{-27}\ \mathrm{kg}\)) moves at \(10^6\ \mathrm{m/s}\) perpendicular to a field \(B=1.0\ \mathrm{T}\). Find its orbit radius, the period and the cyclotron frequency.
سيكلوترون نصف قطر غرفته \(R=0.5\ \mathrm{m}\) وشدة مجاله \(B=1.0\ \mathrm{T}\). احسب الطاقة الحركية القصوى للبروتون بالميغا إلكترون فولت (\(1\ \mathrm{MeV}=1.6\times10^{-13}\ \mathrm{J}\)).
A cyclotron has dees of radius \(R=0.5\ \mathrm{m}\) and a field \(B=1.0\ \mathrm{T}\). Find the maximum kinetic energy of a proton in MeV (\(1\ \mathrm{MeV}=1.6\times10^{-13}\ \mathrm{J}\)).
✅ \(K_{max}\approx12\ \mathrm{MeV}\) (the proton speed is about \(4.8\times10^{7}\ \mathrm{m/s}\), about \(0.16c\), so the classical formula is a reasonable approximation)
❓ مثال 3Example 3
في المثال السابق، إذا كان جهد الفجوة \(V_0=50\ \mathrm{kV}\)، فكم عبورًا للفجوة يحتاج البروتون ليصل إلى \(12\ \mathrm{MeV}\)، وكم دورة يقطع؟
In the previous example, if the gap voltage is \(V_0=50\ \mathrm{kV}\), how many gap crossings does the proton need to reach \(12\ \mathrm{MeV}\), and how many turns does it make?
الحل
كل عبور يعطي \(qV_0=50\ \mathrm{keV}\)، فعدد العبورات \(\dfrac{12\ \mathrm{MeV}}{50\ \mathrm{keV}}=240\) عبورًا.
كل دورة فيها عبورين، فعدد الدورات \(\dfrac{240}{2}=120\) دورة تقريبًا.
✅ حوالي \(240\) عبورًا و\(120\) دورة
Solution
Each crossing gives \(qV_0=50\ \mathrm{keV}\), so the number of crossings is \(\dfrac{12\ \mathrm{MeV}}{50\ \mathrm{keV}}=240\).
Each turn has two crossings, so the number of turns is \(\dfrac{240}{2}=120\) approximately.
✅ About \(240\) crossings and \(120\) turns
❓ مثال 4Example 4
ماذا يحدث لتردد السيكلوترون عند استبدال البروتون بالديوتيريوم (كتلته ضعف كتلة البروتون وشحنته نفسها) وبقاء \(B\) كما هو؟
What happens to the cyclotron frequency when the proton is replaced by a deuteron (twice the proton's mass, same charge) with \(B\) unchanged?
الحل
\(f=\dfrac{qB}{2\pi m}\) وبمضاعفة \(m\) يتضاعف الزمن، فيقل التردد إلى النصف.
✅ \(f\approx7.6\ \mathrm{MHz}\) بدلًا من \(15\ \mathrm{MHz}\)
الظن أن المجال المغناطيسي يسرّع الجسيم؛ هو يغيّر الاتجاه فقط ولا يبذل شغلًا، والتسارع يحدث في الفجوة الكهربائية.Thinking the magnetic field speeds up the particle; it only changes the direction and does no work. Acceleration happens in the electric gap.
الظن أن الجسيم يزداد تردده مع السرعة؛ التردد ثابت، والذي يتغير هو نصف القطر.Thinking the frequency rises with speed; the frequency is constant and it is the radius that changes.
نسيان أن الطاقة القصوى تعتمد على \(R\) و\(B\)، لا على \(V_0\)؛ جهد الفجوة يحدد سرعة الكسب، ولا يحدد الطاقة النهائية.Forgetting that the maximum energy depends on \(R\) and \(B\), not on \(V_0\): the gap voltage sets how fast the energy is gained, not the final energy.
نسيان أن الجسيم يعبر الفجوة مرتين في الدورة الواحدة، فيكتسب \(2qV_0\) وليس \(qV_0\).Forgetting that the particle crosses the gap twice per turn, so it gains \(2qV_0\) per turn, not \(qV_0\).
🧠 اختبر نفسك
🧠 Test Yourself
⭐ 1
لماذا لا يعتمد زمن الدورة في السيكلوترون على السرعة؟
Why does the period in a cyclotron not depend on the speed?
Aلأن القوة المغناطيسية تزداد مع السرعةbecause the magnetic force grows with speed
Bلأن نصف القطر والمسافة في الدورة يتناسبان مع السرعة بالنسبة نفسهاbecause the radius and the distance per turn grow in the same proportion as the speed
Cلأن المجال الكهربائي يلغي أثر السرعةbecause the electric field cancels the effect of speed
Dلأن الكتلة تتغير مع السرعة دائمًاbecause the mass always changes with speed
الحل
\(r\propto v\) والمسافة في الدورة \(2\pi r\) تتناسب مع \(v\)، فيبقى زمن الدورة \(\dfrac{2\pi r}{v}\) ثابتًا.
✅ الإجابة B
Solution
\(r\propto v\), so the distance per turn \(2\pi r\) is proportional to \(v\), and the period \(\dfrac{2\pi r}{v}\) stays constant.
✅ Answer B
⭐ 2
لزيادة الطاقة الحركية القصوى لجسيم في سيكلوترون، أي العبارات صحيحة؟
To increase the maximum kinetic energy of a particle in a cyclotron, which statement is correct?
Aزيادة جهد الفجوة فقط تكفي دائمًاincreasing the gap voltage alone is always enough
Bزيادة \(B\) أو \(R\) تزيد الطاقة القصوى، لأن \(K_{max}\propto B^2R^2\)increasing \(B\) or \(R\) raises the maximum energy, because \(K_{max}\propto B^2R^2\)
Cتقليل الكتلة لا يؤثر في الطاقةreducing the mass has no effect on the energy
Dتغيير التردد وحده يغيّر الطاقة القصوى إلى الضعفchanging the frequency alone doubles the maximum energy
الحل
\(K_{max}=\dfrac{q^2B^2R^2}{2m}\): الطاقة تعتمد على \(B\) و\(R\) والكتلة، لا على \(V_0\).
✅ الإجابة B
Solution
\(K_{max}=\dfrac{q^2B^2R^2}{2m}\): the energy depends on \(B\), \(R\) and the mass, not on \(V_0\).